Радиоизмерения. Метрология и радиоизмерения
 Скачать 3.68 Mb.
|
|
Состоятельная оценка – это оценка, которая при увеличении числа наблюдений стремится к истинному значению оцениваемого параметра. Несмещённая оценка – оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра. Эффективная оценка – оценка, имеющая наименьшую дисперсию по сравнению с любой другой оценкой данного параметра. Методы нахождения оценок параметров распределений, а по ним ре- зультатов измерений и их погрешностей зависят от вида функции распре- деления и от тех соглашений по обработке результатов измерений, кото- рые нормируются в рамках законодательной метрологии в нормативной документации. 2.2.6.1. Оценка истинного значения измеряемой величины при нормальном законе распределения погрешностей На основе методов теории вероятностей и математической статисти- ки удается уточнить значение полученного результата измерений и оце- нить его случайную погрешность, т. е. меру приближения результата изме- рения к истинному значению измеряемой величины. Применение того или иного показателя точности обусловливается назначением измерений и характером использования их результатов. Раздел 1. Теоретические основы метрологии 90 Пусть проведено n наблюдений измеряемой величины X и получены результаты x 1 , x 2 , …, x n , каждый из которых содержит постоянную систе- матическую погрешность s и случайную погрешность Если в качестве оценки измеряемой величины принято среднеариф- метическое полученных значений, то 1 1 1 1 n n S S i i X X X n n (2.35) Отдельные значения случайной погрешности могут иметь разные знаки, поэтому при суммировании некоторые значения будут взаимно компенсироваться. Можно показать, что дисперсия третьего слагаемого, являющегося случайной погрешностью результата измерений Х , умень- шается при увеличении n. Следовательно, многократные наблюдения це- лесообразно применять тогда, когда доминирует случайная погрешность и ее уменьшение может существенно уменьшить общую погрешность. Принцип максимального правдоподобия. Пусть результаты x i на- блюдений измеряемой величины подчинены закону распределения p (x i ; X; ), где X – математическое ожидание, – СКО. Вероятность появления ре- зультата измерений p i (x i ) = p (x i ; X; ) x , (2.36) где x – малый интервал. Вероятность появления совокупности независимых результатов x 1 , x 2 , …, x n определяется как произведение вероятностей: 1 2 1 1 , , ..., ; ; σ . n n n n i i i i i P x x x p x x p x X (2.37) Параметры X и до измерений неизвестны, поэтому их можно рас- сматривать как переменные. Метод максимального правдоподобия заклю- чается в подборе таких значений X и , при которых вероятность появле- ния результатов измерений максимальна. Полученные оценки называют оценками максимального правдопо- добия. Их отыскивают по максимуму функции правдоподобия 1 2 1 , , ..., ; ; σ ; ; σ n i i L x x x X p x X , (2.38) которая отличается от вероятности Р(x 1 , x 2 , …, x n ) множителем x n , не влияющим на решение. Глава 2. Основы теории погрешностей 91 Рассмотрим пример, поясняющий метод максимального правдоподо- бия. На рис. 2.10 показаны результаты x i наблюдений. Если выбранное ма- тематическое ожидание X сильно сдвинуто от центра области, в которой расположены экспериментальные точки (точка 1 на рис. 2.10), то вероят- ности р i (x i ), отображенные столбиками со штриховкой с наклоном вправо, будут малы. Очевидно, что в данном случае вероятность Р(x 1 , x 2 , …, x n ) также мала. Рис. 2.10. Пример применения метода максимального правдоподобия Если уменьшить математическое ожидание и дисперсию (точка 2 на рис. 2.10), то вероятности р i (x i ), отображённые столбиками со штриховкой с наклоном влево, возрастут и соответственно увеличится функция прав- доподобия. Изменять X и следует до тех пор, пока не будет достигнут максимум функции правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия зависят от закона распреде- ления погрешностей. Для нормального закона 2 2 1 exp 2σ 2 σ i i x X p x (2.39) Функция правдоподобия 2 1 2 2 1 1 1 , , ..., ; ; exp 2 2 n n n i i L x x x X x X (2.40) x P (x) X x 1 x 2 x i x n 2 1 0 Раздел 1. Теоретические основы метрологии 92 Если функция правдоподобия содержит сомножители с показатель- ными функциями, удобнее пользоваться логарифмической функцией прав- доподобия: 2 1 2 2 1 1 ln , , ..., ; ; ln ln 2 2 2 n n i i n L x x x X x X n . (2.41) В данном случае функция правдоподобия дифференцируема, а ее производные непрерывны в точках x i . Поэтому оценки максимального правдоподобия находят, решая следующую систему уравнений: 2 2 1 1 0 n i X X i L x X X , 2 3 1 1 0 n i X X i L n x X (2.42) В результате получают 1 1 n i i X x n , 2 1 1 n i i x X n (2.43) Полученные оценки максимального правдоподобия Х называют то- чечными оценками результата измерений. Пусть результаты наблюдений подчинены нормальному закону, ста- тистически независимы и не содержат систематических погрешностей. Оценка максимального правдоподобия (точку 1 на рис. 2.10) несме- щённая, поскольку 1 1 n i i n X M X x X n n (2.44) Определение её таким образом можно рассматривать как косвенные измерения, поэтому СКО оценки 2 2 1 X n n n (2.45) Глава 2. Основы теории погрешностей 93 Рис. 2.11. График распределения плотности вероятности результатов наблюдений р(x i ) и результатов измерений p X Оценка X подчиняется нормальному закону распределения при лю- бых n, поскольку композиция нормальных законов при любом числе сла- гаемых дает нормальный закон. Плотности вероятности р(x i ) и p X пока- заны на рис. 2.11. Использовать в дальнейшем закон распределения p X для отыска- ния доверительного интервала нельзя, так как значение σ, а следовательно, и X обычно неизвестны. Вместо σ при анализе используют ее оценку максимального правдоподобия (точка 2 на рис. 2.10). Определим, является ли эта оценка несмещённой. Для этого найдем математическое ожидание и после преобразований получим 1 n n . (2.46) Следовательно, оценка максимального правдоподобия X при ко- нечном n является смещённой. При n [(n–1) / n] 1 и σ, откуда следует асимптотическая несмещённость оценки. При расчетах используют несмещённую оценку 2 1 1 1 1 n i i n S x X n n (2.47) Подставив полученную оценку в формулу (2.46), получим оценку СКО среднеарифметического: 2 1 1 1 n i X i S S x X n n n , (2.48) которая является случайной величиной. p x p X p (x i ) Раздел 1. Теоретические основы метрологии 94 2.2.6.2. Эффективная оценка истинного значения измеряемой величины при распределениях, отличающихся от нормального Если распределение нельзя считать нормальным, то необходимо вначале определить эксцесс распределения, по которому решают, к какой группе относится данное распределение. Статистическая оценка эксцесса распределения определяется в соответствии с выражением 4 4 1 1 n i i E x X n , (2.49) где Е – эксцесс распределения; X – среднее арифметическое результатов измерений x 1 , x 2 , …, x n ; – оценка среднеквадратического отклонения результатов изме- рений. В зависимости от значения эксцесса e-распределения делятся на плосковершинные, островершинные и близкие к нормальному закону рас- пределения. 1. Островершинные законы распределения – это распределения, для которых значение эксцесса Е > 4. В качестве эффективной для островершинных законов распределе- ния рекомендуется медианная оценка, определяемая как 50%-ный кван- тиль. Квантильная оценка задается вероятностью р(X < x 1 ) = β, (2.50) где X – значение случайной величины; x 1 – квантильная оценка; β – величина квантили, представляющая собой вероятность того, что значение случайной величины X не превысит значения x 1 Часто значение квантили β выражают в процентах. Значение кванти- ли β представляет собой площадь, ограниченную кривой плотности веро- ятности f (x) в интервале значений x от до x 1 (рис. 2.12). Медианная оценка представляет собой 50%-ный квантиль, т. е. ста- тистика, которая делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» членов ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % – зна- чения признака не меньше, чем медиана. Фактически медианная оценка может быть представлена как значение, слева и справа от которого нахо- дится одинаковое число измерений. Значения x 1 , x 2 , …, x n в данном случае составлены в вариационный ряд, т. е. упорядочены в порядке возрастания своих значений. Глава 2. Основы теории погрешностей 95 а б Рис. 2.12. Квантильная (а) и медианная (б) оценки 2. Законы распределения, близкие к нормальному, – это законы, для которых выполняется условие 2,5 ≤ Е ≤ 4. Для данных распределений, в число которых входит и нормальное распределение, эффективной оценкой является среднее арифметическое наблюдаемых значений. 3. Плосковершинные законы распределения – законы с равномер- ным распределением. Для данных законов распределения выполняется ус- ловие Е < 2,5 и эффективной оценкой является центр рассеяния, опреде- ляемый по формуле max min 2 x x X (2.51) 2.2.7. Оценка среднеквадратической погрешности Выясним, как на основании полученной в эксперименте группы ре- зультатов наблюдений оценить истинное значение, т. е. найти результат измерений, и как оценить его точность, т. е. меру его приближения к ис- тинному значению. Эта задача является частным случаем оценок параметровфункции распределения случайной величины на основании выборки – ряда значе- ний, принимаемых этой величиной в n независимых опытах. Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных дан- ных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения ис- ходной случайной величины, в том числе и от самого оцениваемого пара- метра, и от числа опытов n. На практике не всегда удаётся удовлетворить одновременно требо- ваниямсостоятельности, несмещённости и эффективности оценки, поэто- му выбору оценки должен предшествовать её критический анализ. 0 f (x) x x 1 = µe → β = 50 % β-процентная квантиль f (x) x 0 x 1 Раздел 1. Теоретические основы метрологии 96 Получаемая в результате наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов наблюдений состоит из ряда результатов отдельных наблюдений (ряда наблюдений) х 1 , х 2 , ..., х n , где n – число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одним и тем же распределением, совпадающим с распределением F(x). Поэтому М [х i ] = М [х]; D [X i ] = D [x]; i = l, 2,..., n. В этих условиях в качестве оценки истинного значения измеряемой величины естественно принять среднее арифметическое полученных ре- зультатов наблюдений: 1 1 n i i x x n Среднее арифметическое представляет собой лишь оценку матема- тического ожидания результата измерения и может стать оценкой истин- ного значения измеряемой величины только после исключения системати- ческих погрешностей. Будучи вычисленным на основе ограниченного чис- ла опытов, среднее арифметическое само является случайной величиной. Вычислим его математическое ожидание: 1 1 1 1 1 1 n n n i i i i i M x M x M x M x M x n n n (2.52) Это значит, что среднее арифметическое является несмещённой оценкой истинного значения. Однако несмещёнными будут и все другие оценки, являющиеся линейными функциями результатов наблюдений: 1 n i i i x a x , (2.53) где 1 1 n i i a Покажем, что среди всех определённых таким образом оценок сред- нее арифметическое имеет наименьшую дисперсию. Для этого вычислим дисперсию x : 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i i i D x D a x a D x D x a (2.54) Глава 2. Основы теории погрешностей 97 Однако квадратичная форма 2 1 n i i a достигает минимума, если все а i одинаковы и равны 1/n. Тогда из оценки x получаем среднее арифметиче- ское х, имеющее, таким образом, дисперсию 2 1 1 1 n i D x D x D x n n , (2.55) которая меньше дисперсии любой другой линейной оценки. При некото- рых определенных видах распределения результатов наблюдений, напри- мер, при нормальном распределении, среднее арифметическое является, кроме того, и эффективной оценкой истинного значения. Таким образом, дисперсия среднего арифметического оказывается в n раз меньше дисперсии результатов наблюдений, или, в терминах СКО, x S S n , т. е. СКО среднего арифметического в n раз меньше СКО результата на- блюдений. По мере увеличения числа наблюдений x S стремится к нулю. Это означает, что среднее арифметическое ряда наблюдений сходит- ся по вероятности к математическому ожиданию и является его состоя- тельнойоценкой. Из этого, конечно, не следует, что среднее арифметиче- ское ближе к истинному значению, чем результат каждого отдельного на- блюдения. Напротив, некоторые из результатов наблюдений могут быть ближе к x, но, к сожалению, мы не можем выбрать эти результаты из числа других результатов ряда. Именно поэтому приходится прибегать к опреде- лению среднего арифметического. Логическим следствием оценки истинного значения измеряемой ве- личины средним арифметическим ряда наблюдений является оценка фак- тических значений случайных погрешностей случайными отклонениями результатов наблюдений от среднего арифметического: V i = x i – x (2.56) По мере увеличения числа наблюдений распределение случайных отклонений результатов наблюдений асимптотически сводится к распре- делению случайных погрешностей. В качестве точечной оценки дисперсии случайной погрешности естественно выбрать величину 2 2 2 1 1 1 1 1 n n x i i i i S V x x n n (2.57) Раздел 1. Теоретические основы метрологии 98 Эта оценка состоятельна, однако она немного смещена, поскольку её математическое ожидание 2 2 1 1 x x n M S S n (2.58) Поэтому точечную оценку дисперсии принято определять следующим об- разом: 2 2 1 1 1 1 n x i i S x x n , 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) n x x i i S S x x n n n , (2.59) М [x] – t p · x S ; М [x] + t p · x S , p x x p x x P M x t S x M x t p S P x t S M x xt p S , а оценку СКО результатов наблюдений – по выражению 2 2 1 1 1 n i i S x x n (2.60) Эта оценка характеризует сходимость результатов отдельных на- блюдений, т. е. степень их концентрации относительно среднего арифме- тического. Последнее, являясь случайной величиной, имеет дисперсию, в n раз меньшую дисперсии случайной погрешности. Поэтому в качестве точечной оценки дисперсии среднего арифметического принимается вы- ражение 2 2 2 1 1 1 1 n x x i i S S x x n n n , (2.61) где x S – СКО результатов наблюдений. 2.2.8. Доверительная погрешность |