Радиоизмерения. Метрология и радиоизмерения
 Скачать 3.68 Mb.
|
|
2.2.14.2. Проверка нормальности распределения по составному критерию d При малых объемах выборки 10 ≤ n < 50 для проверки согласия опыт- ного распределения с нормальным применяется составной критерий d . Составной критерий d рекомендован ГОСТ 8.207–76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результа- тов наблюдений. Основные положения». При проверке задаются уровнем значимости q I (α I )(для критерия I) и q II (α II ) (для критерия II). Уровень зна- чимости составного критерия должен удовлетворять условию q ≤ q I + q II (α ≤ α I + α II ). (2.91) Гипотеза о согласованности опытного распределения с теоретиче- ским нормальным проверяется следующим образом. 1. Проверяем выполнение критерия I. Для этого определяем значение d по формуле ц.р 1 1 n i i d x X nS , (2.92) Раздел 1. Теоретические основы метрологии 120 где S* (σ*) – смещенная оценка СКО результата наблюдений, найденная по формуле 2 ц.р 1 1 n i i S x X n (2.93) Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие 1 1 1 I I 2 2 q q d d d , (2.94) где , 1 1 1 I I 2 2 q q d d – квантили распределения d . 2. Выполняем проверку по критерию II. Гипотеза о нормальности распределения подтверждается, если не более m разностей ц.р i x X пре- взошли значения 2 p Z S Несмещённая оценка СКО результата наблюдений определяется по известной формуле (2.47). Верхнюю квантиль интегральной функции нормированного распреде- ления Лапласа Z p / 2, отвечающую вероятности p / 2, находят по табл. 2.10. Таблица 2.10 Квантили Z p / 2 интегральной функции Лапласа P 0,9 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 Z p / 2 1,65 1,96 2,06 2,17 2,33 2,58 Таблица 2.11 Значения m и P, соответствующие различным n и q n m P при уровне значимости q, равном 0,01 0,02 0,05 10 11–14 15–20 21–22 23 23–27 28–32 33–35 36–49 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0,98 0,99 0,99 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,98 0,98 0,99 0,97 0,98 0,98 0,98 0,98 0,99 0,96 0,97 0,98 0,96 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98 Глава 2. Основы теории погрешностей 121 Далее задаются уровнем значимости q 2 и для известного n из табл. 2.11 находят значения P и m. Результирующий уровень значимости составного критерия q ≤ q 1 + q 2 (2.95) Если окажется, что хотя бы один из критериев не выполняется, то считают, что распределение исследуемой совокупности результатов изме- рений не соответствует нормальному закону. Таблица 2.12 Квантили распределения статистики d n d 0,01 d 0,05 d 0,10 d 0,90 d 0,95 d 0,99 11 16 21 26 31 36 41 46 51 0,9359 0,9137 0,9001 0,8901 0,8827 0,8769 0,8722 0,8682 0,8648 0,9073 0,8884 0,8768 0,8625 0,8625 0,8578 0,8540 0,8508 0,8481 0,8899 0,8733 0,8631 0,8570 0,8511 0,8468 0,8436 0,8409 0,8385 0,7409 0,7452 0,7495 0,7530 07559 0,7583 0,7604 0,7621 0,7636 0,7153 0,7236 0,7304 0,7360 0,7404 0,7440 0,7470 0,7496 0,7518 0,6675 0,6829 0,6950 0,7040 0,7110 0,7167 0,7216 0,7256 0,7291 2.2.14.3. Критерий Колмогорова В качестве меры расхождения теоретического и статистического распределений А.Н. Колмогоров предположил максимальное значение мо- дуля разности статистической функции распределения F * (x) и соответст- вующей теоретической функции распределения F(x): D = max F x F x (2.96) На рис. 2.16 приведено значение D, определенное по графику функ- ций F * (x) и F (x). Основанием для выбора в качестве меры расхождения величины D является простота ее вычисления. Вместе с тем она имеет достаточно про- стой закон распределения. А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы ни бы- ла F (x), при неограниченном возрастании числа измерений n вероятность неравенства D n стремится к пределу: 2 2 2 1 1 k k k k P e (2.97) Раздел 1. Теоретические основы метрологии 122 Рис. 2.16. К определению меры расхождения по критерию Колмогорова Значения вероятности P (λ)приведены в табл. 2.13. Таблица 2.13 Критериальные значения статистики А.Н. Колмогорова λ Р(λ) λ Р (λ) λ Р (λ) 0,0 0,3 0,4 0,5 0,6 1,000 1,000 0,997 0,964 0,864 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 0,711 0,544 0,393 0,270 0,178 1,2 1,3 1,4 0,112 0,068 0,040 Критерий Колмогорова своей простотой выгодно отличается от рас- смотренного ранее критерия Пирсона χ 2 , поэтому его весьма охотно при- меняют на практике. Однако критерий Колмогорова можно использовать только в том случае, если гипотетическое распределение F (x) полностью известно зара- нее из каких-либо теоретических предпосылок, т. е. когда известен не только вид F (x), но и входящие в неё числовые параметры. Такой случай сравнительно редко встречается на практике. Обычно известен только вид закона распределения, а входящие в нее числовые параметры определяются по статистическому распределению. При использовании критерия χ 2 это обстоятельство учитывается соответст- вующим уменьшением числа степеней свободы S-распределения. В критерии Колмогорова такого согласования не предусматривается. Если все же применять критерий Колмогорова в тех случаях, когда параметры теоретического распределения выбираются по статистическим данным, критерий дает заведомо завышенные значения вероятности P (λ), поэтому имеется риск принять как правдоподобную гипотезу, в действи- тельности плохо согласующуюся с экспериментальными данными. Управляющее устройство F(x) X 0 D F(x) Управляющее устройство F * (x) Глава 2. Основы теории погрешностей 123 2.2.15. Погрешности косвенных измерений 2.2.15.1. Систематические погрешности косвенных измерений Пусть измеряемая величина Y определяется выражением Y = φ (А 1 , А 2 , ..., А k , ..., А m ). (2.98) В результате прямых измерений найдены числовые значения аргу- ментов А 1 , А 2 , ..., А m и их систематические погрешности 1 2 , , ..., m sA sA sA Предположим, что случайные погрешности при прямых измерениях аргументов отсутствуют или пренебрежимо малы. Если аргументы А 1 , А 2 , ..., А m получают конечные, сравнительно ма- лые приращения 1 2 , , ..., m sA sA sA , то измеряемая величина Y получит приращение sy , т. е. 1 2 1 2 , , ..., m sy sA sA m sA Y A A A (2.99) Разложив правую часть данного выражения в ряд Тейлора и удержав производные первого порядка, получим 1 1 2 1 , , ..., / sy m sA Y А A A A 2 2 / / m sA m sA A A (2.100) Тогда систематическую погрешность результата косвенного измере- ния вычисляют по формуле 1 / k m sy k sA k A (2.101) Выражение применяется на практике, когда известны числовые зна- чения и знаки систематических погрешностей аргументов. Однако систематические погрешности, а следовательно, и поправки всегда известны с конечной точностью, поэтому в исправленном результа- те появляется специфическая составляющая – неисключённая системати- ческая погрешность, которая может ограничивать точность измерений, особенно при проведении измерений с многократными наблюдениями. Если погрешность прибора нормируют её допустимым пределом, а случайная погрешность пренебрежимо мала, то такой прибор можно ха- рактеризовать неисключённой систематической погрешностью, предель- ное значение которой равно допустимому пределу инструментальной по- грешности. Раздел 1. Теоретические основы метрологии 124 В этом случае граница неисключённой систематической погрешно- сти результата косвенного измерения вычисляется по формуле 1 / k m sy k sA k A (2.102) Этот способ дает сильно завышенную оценку. Другой способ осно- ван на предположении, что погрешности sAk случайны, статически незави- симы и подчиняются равномерному закону с границами sAk . Для таких погрешностей СКО составляет / 3 sAk . СКО результата косвенных изме- рений: 2 2 1 / 3 m sAk k k A (2.103) Если число аргументов велико, то в силу центральной предельной теоремы погрешность измерений Y можно считать распределенной по нормальному закону. Тогда границы погрешности при доверительной ве- роятности Р д = 0,95: 2 2 2 2 1 1 1,96 / 3 1,1 m m sy sAk sAk k k k k A A ; (2.104) при доверительной вероятности Р д = 0,99: 2 2 2 2 1 1 2,42 / 3 1,4 m m sy sAk sAk k k k k A A . (2.105) Первый способ применяется при количестве аргументов меньше 4, второй – если количество аргументов больше или равно 4. 2.2.15.2. Систематические погрешности косвенных измерений Вычисление погрешности косвенных измерений методом статисти- ческого моделирования базируется на использовании значений случайных величин с заданным распределением вероятностей (метод Монте-Карло). Сущность метода статистического моделирования состоит в построении алгоритма, имитирующего поведение измеряемой величины, и реализации этого алгоритма на ЭВМ. В результате статистического моделирования получается серия частных значений искомых величин косвенных измере- ний. Эти значения обрабатываются и классифицируются методами мате- Глава 2. Основы теории погрешностей 125 матической статистики, что позволяет получить сведения о погрешности косвенных измерений. Если количество реализаций N достаточно велико, то результаты моделирования приобретают статистическую устойчивость и могут быть приняты в качестве оценок искомых погрешностей. Теоретической основой метода статистического моделирования яв- ляются предельные теоремы теории вероятностей. Принципиальное значе- ние предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое каче- ство статистических оценок погрешности косвенных измерений при весь- ма большом числе реализаций. Практически приемлемые количественные оценки погрешностей могут быть получены уже при сравнительно не- больших значениях N. Предположим, что требуется вычислить неизвестную величину m. Это может быть, например, математическое ожидание некоторой случай- ной величины ξ, т. е. M(ξ) = m. Пусть при этом среднее СКО случайной ве- личины ξ равно σ. Рассмотрим N независимых случайных величин ξ 1 , ξ 2 , …, ξ N , распре- деления которых совпадают с распределением ξ. Если N достаточно велико, то, согласно центральной предельной теореме, распределение величины 1 1 N i i N будет приблизительно нормальным с параметрами m и N При этом имеет место приближённое равенство 0 1 1 2 N j j N P m N , (2.106) где Ф 0 – функция Лапласа. Это чрезвычайно важное для метода Монте-Карло соотношение. Оно даёт метод расчёта m и оценку погрешности. В самом деле, из выражения (2.106) видно, что среднее арифметическое значение случайной величины ξ будет приближённо равно m. С большой вероятностью ошибка такого приближения не превосходит величины N 3 . Очевидно, эта ошибка стре- мится к нулю при увеличении N. Уже при числе реализаций N ≥ 20 это ра- венство даёт хорошее приближение. Если доверительная вероятность 0 2 N P , то для обеспече- ния точности ε количество реализаций должно быть равно величине 0 2 1 2 P N . Например, при Р = 0,99 имеем 2 2,6 N . Конечно, N Раздел 1. Теоретические основы метрологии 126 зависит от СКО случайной величины ξ, которое иногда заменяется соот- ветствующим выборочным значением. В общем случае при косвенном измерении Y = (А 1 , А 2 , ..., А n , ..., А m ) величина Y рассматривается как функция m случайных аргументов, опре- деляемых на основании результатов прямых измерений. Результаты пря- мых измерений аргументов А 1 , А 2 , ..., А m , содержащие случайные погреш- ности, являются случайными величинами. Это обстоятельство позволяет на основе теории вероятностей находить оценки результата косвенного измерения и его показателей точности по оценкам результатов прямых из- мерений аргументов и их показателям точности. Рассмотрим методику оценивания случайной погрешности результа- та косвенного измерения. Пусть проведено n наблюдений всех аргументов и получено n групп наблюдений: 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 i n i n m m mi mn а a a a a a a a A а a a a (2.107) Выражение (2.107) называют матрицей наблюдений (данных). В результате обработки матрицы наблюдений (2.107) вычисляют: средние арифметические значения каждого аргумента: 1 2 , , ... , , ..., i m А А А А , (2.108) где 1 1 n i ik k А a n ; средние квадратические отклонения результатов наблюдений каж- дого аргумента: 1 2 , , ... , , ..., A A Ak Am S S S S (2.109) где 2 1 1 1 n i Ai ik k S A A n ; средние квадратические отклонения результатов прямых измере- ний аргументов: 1 2 , , ... , , ..., A A Ai Am S S S S (2.110) где Ai Ai S S n ; Глава 2. Основы теории погрешностей 127 в качестве оценки результата косвенного измерения принимают значение 1 2 ( , , ... , , ..., ) i m Y А А А А (2.111) Для случая зависимых случайных погрешностей аргументов оценка СКО результата косвенного измерения определяется формулой (2.110), а для случая независимых случайных погрешностей аргументов (коэффи- циент корреляции равен нулю) формула (2.110) упрощается: 2 2 2 1 i m Y А i i S S A (2.112) Зная оценку Y S , можно оценить доверительную погрешность ре- зультата косвенных измерений: Y Y tS , (2.113) где t – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятно- стью Р и законом распределения результата косвенного измерения Y. Закон распределения результата косвенного измерения Y можно счи- тать нормальным, если результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению или средние арифметические значения аргументов 1 2 , , ..., , ..., i m А А А А получены путем обработки достаточно большого числа наблюдений (n > 30). В этом случае коэффициент t выбирают по таблице Лапласа при заданной доверительной вероятности. Если же n 30, то в ка- честве коэффициента t используется t S , определяемый из таблицы табули- рованных значений распределения Стьюдента (см. табл. 2.3, с. 106). |