Радиоизмерения. Метрология и радиоизмерения
 Скачать 3.68 Mb.
|
|
2.2.15.3. Суммирование составляющих погрешности измерения Суммирование погрешностей применяется при решении следующих задач: оценивании погрешности измерительной установки на основе по- грешностей средств измерений, входящих в её состав; определении результирующей погрешности, обусловленной ком- плексным воздействием нескольких влияющих величин; оценивании погрешности косвенного измерения; вычислении пределов допускаемых погрешностей средств изме- рений; нахождении суммарной погрешности по известным значениям систематической и случайной составляющих погрешностей. Раздел 1. Теоретические основы метрологии 128 При суммировании погрешностей применяются три основных способа. 1. Способ арифметического суммирования погрешностей. Суммарная погрешность вычисляется по формуле 1 m k k , (2.114) где ∑ – суммарная относительная погрешность; k – k-я суммируемая относительная погрешность; m – количество суммируемых погрешностей. Суммирование по данному способу приводит к завышенному по сравнению с действительным значению суммарной погрешности, которое тем больше, чем больше число суммируемых погрешностей m. Поэтому на практике способ применяется при условии m < 3. 2. Способ геометрического суммирования погрешностей. Суммарная погрешность вычисляется по формуле 2 1 m k k (2.115) Суммирование по данному способу приводит к заниженному по сравнению с действительным значению суммарной погрешности. Поэтому на практике в формулу (2.115) вводится поправочный множитель K > 1 (K = 1,1 при Р = 0,95 и K = 1,4 при Р = 0,99): 2 1 m k k K (2.116) Рекомендуется применять этот способ при m > 3. 3. Способ моментов. Суммарная погрешность вычисляется по одной из формул для оцен- ки погрешности косвенного измерения, когда установлен вид зависимости и вычислены или известны погрешности прямых измерений аргументов. Данный способ позволяет получить более точное по сравнению с указанными выше способами значение суммарной погрешности: 2 2 1 1 q x x S q tS S Если 2 2 1 q x S S , то полученное выражение можно упростить, восполь- зовавшись разложением в степенной ряд: Глава 2. Основы теории погрешностей 129 q > 0,5 2 2 q x S S Суммирование систематической и случайной составляющих по- грешности производится при определении границ погрешности результата измерения. В зависимости от соотношения суммарной неисключённой система- тической и случайной составляющих погрешности установлено три спосо- ба определения границ погрешности результата измерения. 1. Если отношение суммарной неисключённой систематической по- грешности к оценке среднего квадратического отклонения результата из- мерения меньше 0,8, т. е. x S < 0,8, (2.117) то неисключёнными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности резуль- тата измерения равна (доверительной погрешности): ∆ ∑ = t x S , где t – коэффициент Стьюдента или Лапласа, который в зависимости от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений n находят по таблицам. 2. Если x S > 0,8, (2.118) то случайной составляющей погрешности по сравнению с систематической пренебрегают и принимают, что ∆ ∑ = Θ ∑ Примечание: погрешность, возникающая из-за пренебрежения од- ной из составляющих погрешности результата измерения при выполнении указанных неравенств, не превышает 15 %. 3. Если неравенства не выполняются, т. е. 0,8 < x S < 8, (2.119) то границу погрешности результата измерения находят путём построения композиции распределений случайных и неисключённых систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины. Границу погрешности результата измерения вычисляют по формуле (без учета знака) ∆ ∑ = K , (2.120) Раздел 1. Теоретические основы метрологии 130 где K – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисклю- ченной систематической погрешностей; – оценка суммарного СКО результата измерения. Коэффициент K вычисляют по эмпирической формуле: 2 1 3 N i x i K S (2.121) Оценку суммарного СКО результата измерения вычисляют по фор- муле: 2 2 1 3 N i x i S S (2.122) Раздельное представление границ систематической погрешности и СКО результата измерения целесообразно в тех случаях, когда получен- ный результат используется как промежуточный при нахождении других данных или когда он подвергается анализу или сопоставлению с другими результатами. Суммарная погрешность по формулам (2.120)–(2.122) представляет- ся в случае, если результат измерения является окончательным и требует- ся лишь оценить границы зоны той неопределённости, с которой он уста- новлен. 2.2.16. Вычисление погрешности косвенных измерений методом статистического моделирования Методы обработки результатов косвенных измерений изложены в Методических указаниях РД 50-555-85 «Измерения косвенные. Опреде- ление результатов измерений и оценивание их погрешностей». Основные этапы обработки результатов косвенных измерений сле- дующие. 1. Искомое значение величины Y находят на основании результатов измерений аргументов x 1 , …, x i , …, x m , связанных с искомой величиной не- линейной зависимостью Y = f (x 1 , …, x i , …, x m ). Вид функции f должен быть известен из теоретических предпосылок или установлен эксперименталь- но. Погрешность неизвестной величины Y зависит от погрешностей изме- рения аргументов. 2. Оценку СКО случайной погрешности S (Y) вычисляют по формуле Глава 2. Основы теории погрешностей 131 2 2 1 m i i i S Y df dx S x , где x i – результат измерения а i -го аргумента; S(x i ) – оценка СКО результа- та измерения x i -го аргумента. 3. Доверительные границы случайной погрешности при условии, что распределение погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, определяют по формуле: ε = t q · S (Y). 4. Границу неисключённой систематической погрешности (НСП) ре- зультата измерения вычисляют по формуле 2 2 1 m i i i df k dx , где k – поправочный коэффициент для принятой доверительной вероятно- сти и числа m составляющих НСП, для Р = 0,95 коэффициент k = 1,1. 5. Погрешность результата измерения вычисляют в зависимости от соотношения границ НСП и случайной погрешности. При 0,8 < S Y < 8 доверительную границу результата косвенного измерения вычисляют по формуле ∆ = K [ε + Θ], где K – коэффициент, зависящий от отношения S Y и доверительной вероятности (значения K приведены в указанных РД). 6. Результат измерений вычисляют по приведённой выше формуле. Если предполагается исследование и сопоставление результатов измере- ний или анализ погрешностей, то результат измерения и его погрешность представляют в виде , S (Y), n, Θ. Если границы погрешности результата измерения симметричны, то результат измерения и его погрешность представляют в виде . 7. При неизвестных распределениях погрешностей измерений аргумен- тов и при наличии корреляции между ними результат косвенного измерения и его погрешность определяются методом приведения, основанном на приве- дении ряда отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду пря- мых измерений. Подробно этот метод описан в упомянутых выше РД. Раздел 1. Теоретические основы метрологии 132 2.3. Представление результатов измерений по ГОСТ 8011–72 Результат измерения имеет ценность лишь тогда, когда можно оце- нить его интервал неопределенности, т. е. степень достоверности. Поэтому результат измерений должен содержать значение измеряемой величины и характеристики точности этого значения, которыми являются системати- ческие и случайные погрешности. Количественные показатели погрешно- стей, способы их выражения, а также формы представления результатов измерений регламентируются ГОСТ 8.011-72 «Показатели точности изме- рений и формы представления результатов измерений». Рассмотрим ос- новные формы представления результатов измерений. Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется погрешностью ис- пользуемых средств измерений. Поэтому в первом приближении погреш- ность результата измерения можно принять равной погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое сред- ство измерений. Погрешности средств измерений изменяются в диапазоне измерений. Поэтому в каждом случае для каждого измерения необходимо произвести вычисления погрешности результата измерений, используя формулы (2.3)– (2.5) нормирования погрешности соответствующего средства измерений. Вычисляться должна как абсолютная, так и относительная погрешности результата измерения, так как первая из них нужна для округления резуль- тата и его правильной записи, а вторая – для однозначной сравнительной характеристики его точности. Для разных характеристик нормирования погрешностей средств из- мерений эти вычисления производятся по-разному, поэтому рассмотрим три характерных случая. 1. Класс прибора указан в виде одного числа q, заключенного в кру- жок. Тогда относительная погрешность результата (в процентах) пр = q, а абсолютная его погрешность х = q · x / 100. 2. Класс прибора указан одним числом p (без кружка). Тогда абсо- лютная погрешность результата измерения х = p · x k / 100, где x k – предел измерения, на котором оно производилось, а относительная погрешность измерения (в %) k x x p x x , т. е. в этом случае при изме- рении, кроме отсчета измеряемой величины х, обязательно должен быть зафиксирован и предел измерений x k , иначе впоследствии нельзя будет вы- числить погрешность результата. Глава 2. Основы теории погрешностей 133 3. Класс прибора указан двумя числами в виде c / d. В этом случае удобнее вычислить относительную погрешность результата по формуле доп доп 1 K X X c d X X , а уже затем найти абсолютную погрешность: x = x/100. После проведения вычислений погрешности используют одну из форм представления результата измерений в следующем виде: х; и , где х – измеренное значение; – абсолютная погрешность измерения; – относительная погрешность измерения. Например, производится следующая запись: «Измерение произведено с относительной погрешностью = … %. Измеренное значение х = (А ), где А – результат измерений». Однако более наглядно указать пределы интервала неопределённо- сти измеряемой величины лучше в следующем виде: x = (A – )(A + ) или (A – ) х (A + )с указанием единиц измерения. Другая форма представления результата измерения устанавливается таким образом: х; от н до в ; Р, где х – результат измерения в единицах измеряемой величины; , н , в – соответственно погрешность измерения с нижней и верхней её границами в тех же единицах; Р – вероятность, с ко- торой погрешность измерения находится в этих границах. ГОСТ 8.011–72 допускает и другие формы представления результа- тов измерения, отличающиеся от приведенных форм тем, что в них указы- вают раздельно характеристики систематической и случайной составляю- щих погрешности измерения. При этом для систематической погрешности указывают её вероятностные характеристики. В этом случае основными характеристиками систематической погрешности являются математиче- ское ожидание М [ х с ], среднеквадратическое отклонение [х с ] и её до- верительный интервал. Выделение систематической и случайной состав- ляющих погрешности целесообразно, если результат измерения будет ис- пользован при дальнейшей обработке данных, например, при определении результата косвенных измерений и оценке его точности, при суммирова- нии погрешностей и т. п. Любая из форм представления результата измерения, предусмотрен- ная ГОСТ 8.011–72, должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может Раздел 1. Теоретические основы метрологии 134 быть установлен, если известны вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона. Примеры представления результатов измерений в различных формах: 1. (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95. 2. 32,014 мм. Характеристики погрешностей и условия измерений по РД 50-98-86. 3. (32,010…32,018) мм; Р = 0,95. Измерение индикатором ИЧ 10 кл. точности 0 на стандартной стойке с настройкой по концевым мерам длины 3 кл. точности. Измерительное перемещение не более 0,1 мм; температур- ный режим измерений ± 2 °С. 4. 72,6360 мм; Δ н = – 0,0012 мм, Δ в = + 0,0018 мм, Релей; Р = 0,95. 5. 10,75 м 3 /с; σ (Δ) = 0,11 м 3 /с, σ (Δ с ) = 0,18 м 3 /с, равн. Условия изме- рений: температура среды 20 °С, кинематическая вязкость измеряемого объекта 1,5·10 –6 м 2 /с. В первом примере использована наиболее часто используемая фор- ма: точечная оценка (8,334 г) с указанием симметричных границ погреш- ности измерений (±0,012 г) и доверительной вероятности (0,95), с которой погрешность измерений не выходит за указанные границы. Распределение результатов наблюдений – нормальное (если в описании результата рас- пределение не указано, то по умолчанию подразумевается нормальное распределение). Во втором примере представлена только точечная оценка, остальное определено ссылкой на аттестованную методику выполнения измерений, описанную в соответствующем документе. В третьем примере точечная оценка и границы погрешности измере- ний не указаны, представлены границы интервала, который с выбранной доверительной вероятностью (0,95) накрывает истинное значение изме- ряемой величины. Отличительной особенностью четвертого примера является асим- метричное распределение случайных погрешностей. Поэтому, кроме то- чечной оценки (72,6360 мм), указаны асимметричные границы погрешно- сти измерений от –0,0012 мм до +0,0018 мм и вид распределения, посколь- ку он отличен от нормального. В описание результата включено и значение доверительной вероятности (0,95), с которой погрешность из- мерений не выходит за указанные границы. В пятом примере значение доверительной вероятности не указано, что можно рассматривать как формальное несоответствие требованиям обеспечения единства измерений. Однако противоречие не принципиаль- ное, а скорее кажущееся, поскольку переход к оценке границ областей рас- сеяния случайной и неисключенной систематической составляющих по- грешности измерений требует выбора доверительной вероятности. Расчет Глава 2. Основы теории погрешностей 135 осуществляется через коэффициент Стьюдента tS, а его значение зависит от числа степеней свободы и от выбранной доверительной вероятности, которая должна быть одинакова для обеих составляющих (случайной и не- исключённой систематической составляющих погрешности). В качестве комментария следует сказать, что такая полная форма годится только для экзотических исследовательских ситуаций и непрактична в производст- венном употреблении, для которого желательна комплексная оценка по- грешности измерения, например, полученная в результате компонирования двух описывающих составляющие погрешности функций в соответствии с ГОСТ 8.207. Можно предложить графическую интерпретацию результата измерений на числовой оси физической величины. Тогда для первого из приведенных примеров (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95 результат выглядит, как показано на рис. 2.17. Рис. 2.17. Графическая интерпретация результата измерений при нормальном распределении случайной погрешности На оси физической величины Q указаны точечная оценка результата измерений (8,334 г) и границы погрешности (±0,012) г. Для представления доверительной вероятности проводим ось ординат (ось плотности вероят- ности р) из точки, соответствующей точечной оценке результата измере- ний, и строим в полученной системе координат кривую нормального рас- пределения результатов или погрешностей измерений. Из рисунка видно, что для увеличения доверительной вероятности (заштрихованной площади) Р необходимо расширить зону между грани- цами погрешности измерений ±Δ. При фиксированном значении σ этого можно добиться только за счет увеличения коэффициента Стьюдента t. Зо- на между зафиксированными предельными значениями Х – Δ и Х + Δ с вы- бранной доверительной вероятностью Р накрывает истинное значение из- меряемой физической величины, но поскольку фактически результат изме- рений представлен не в виде единичного значения, а как числовой интервал, принято говорить о «неопределённости измерений». 0 pF(x) +Δ –Δ X = 8,334 –0,012 +0,012 –tσ +tσ Q, г Q P Раздел 1. Теоретические основы метрологии 136 Итак, в данной главе мы рассмотрели различные виды погрешностей. По причине возникновения их делят на методические, инструментальные и субъективные. По характеру проявления различают систематические и случайные погрешности. Динамическая погрешность обусловлена инер- ционностью средства измерений. Систематическая погрешность постоянна или медленно меняется за время проведения измерений с многократными наблюдениями. Некоторые составляющие её для конкретных средств измерений поддаются прибли- женному описанию с помощью детерминированных функций времени. Случайную погрешность обычно описывают как случайную величи- ну или эргодический случайный процесс. Основной характеристикой ее является плотность вероятности, с помощью которой можно рассчитать вероятность пребывания погрешности в заданных границах или решить обратную задачу. Законы распределения некоторых составляющих случайной погреш- ности могут быть определены теоретически до проведения эксперимента. Это погрешности квантования и дискретизации. Погрешности с неизвестным законом распределения, заданные своими пределами, в метрологии принято характеризовать равномерным законом. Если случайная погрешность состоит из нескольких статистиче- ски независимых составляющих с соизмеримыми СКО, то согласно цен- тральной предельной теореме её можно приближенно описать гауссовским законом независимо от законов распределения составляющих. Погрешность косвенных измерений вычисляют по погрешностям прямых измерений аргументов. Если заданы систематические погрешности и СКО погрешностей измерений аргументов или статистические характе- ристики этих погрешностей, то задача решается точно. Если же заданы до- пускаемые пределы погрешностей измерений аргументов, то задачу вы- числения погрешности косвенных измерений можно решить приближённо. Многократные наблюдения используют для точных метрологических измерений и экспериментального определения статистических характери- стик погрешностей. Перед обработкой результатов измерений с много- кратными наблюдениями необходимо убедиться в отсутствии изменений систематической погрешности, исключить возможные грубые погрешно- сти и оценить вид закона распределения случайной погрешности. Неисключённая систематическая погрешность, ограничивающая возможную точность измерений, зависит от погрешности эталонных средств измерений и погрешностей, допущенных при исключении систе- матических погрешностей, обусловленных различными факторами. Глава 2. Основы теории погрешностей 137 Отдельным составляющим неисключённых систематических по- грешностей приписывают равномерный закон распределения. Границы общей погрешности, состоящей из суммы неисключённых систематических погрешностей и случайной погрешности, можно грубо оценить, считая закон распределения общей погрешности гауссовским. Контрольные вопросы 1. Перечислите возможные причины проявления погрешностей из- мерений. 2. Назовите признаки, по которым классифицируют погрешности. 3. Сформулируйте свойства случайной, систематической и прогрес- сирующей составляющих погрешности измерений. 4. Приведите известные примеры методических погрешностей. 5. Что принято называть абсолютной, относительной и приведённой погрешностями? 6. В чем заключаются принципы оценивания погрешностей? 7. Что такое грубые погрешности (промахи)? 8. Какие характеристики погрешностей вам известны? 9. Какой математический аппарат используется для оценки случай- ных погрешностей? 10. Назовите основные законы распределений случайных погрешностей. 11. Что такое нормальное распределение? Укажите основные харак- теристики нормального закона распределения. 12. Как описывается и когда используется распределение Стьюдента? 13. Что называется доверительной вероятностью и доверительным интервалом? 14. Какие способы задания доверительного интервала вам известны? 15. Перечислите правила округления результатов измерений. 16. Перечислите основные принципы, лежащие в основе выбора нормируемых метрологических характеристик средств измерений. 17. Для чего необходимо идентифицировать форму закона распреде- ления результатов измерений? Расскажите, каким образом это делается. 18. Как определяются границы неисключенных остатков системати- ческих погрешностей измерений? 19. В каких случаях используют доверительную вероятность и дове- рительный интервал случайных погрешностей? 20. Перечислите правила округления результатов измерений. Раздел 2. Измерительная техника 138 Раздел 2 ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА Глава 3. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ 3.1. Общие сведения об электромеханических преобразователях Подавляющее большинство аналоговых электроизмерительных при- боров, применяемых при технических измерениях, являются приборами прямого действия. Они построены на основании использования разнооб- разных физических явлений, связанных с электрическим током. Эти при- боры можно разделить на четыре группы: электромеханические; электротепловые; электрохимические; электронно-кинетические. Наиболее широко распространены |