Радиоизмерения. Метрология и радиоизмерения
 Скачать 3.68 Mb.
|
|
Доверительные границы погрешности результата измерений (до- верительные границы погрешности; доверительные границы) – наиболь- шее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие ин- тервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (ис- тинное) значение погрешности результата измерений. Глава 2. Основы теории погрешностей 99 Доверительные границы результата измерений при симметричном распределении вычисляются как ± t S, ± t X S , где S, X S – средние квадрати- ческие погрешности соответственно единичного и среднего арифметиче- ского результатов измерений; t – коэффициент, зависящий от доверитель- ной вероятности Р и числа измерений п. При симметричных границах тер- мин может применяться в единственном числе – доверительная граница. Иногда вместо термина доверительная граница применяют термин дове- рительная погрешность, или погрешность при данной доверительной вероятности. Точечные оценки математического ожидания случайной величины и её среднего квадратического отклонения в ряде случаев дают достаточно полное представление об измеряемой величине и степени её рассеяния. Од- нако точечные оценки сами являются случайными величинами и стремятся к истинным значениям оцениваемых параметров только при неограничен- ном увеличении числа наблюдений. Поэтому важно получить не только оценку искомого параметра, но и определить, насколько эта оценка близка к его истинному значению. Другими словами, необходимо найти интервал значений, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение параметра. В теории погрешностей такой интервал называют доверитель- ным, а его границы – нижней и верхней – доверительными границами. Ис- комое значение находится внутри доверительного интервала с некоторой вероятностью Р д , называемой доверительной вероятностью. При заданной доверительной вероятности границы интервала а н и а в являются случайны- ми величинами, зависящими от случайных результатов наблюдений, кото- рые могут меняться от выборки к выборке. При заданном доверительном интервале случайным будет значение доверительной вероятности. Рис. 2.13. Определение доверительного интервала Доверительный интервал определяет точность оценки неизвестного параметра, а доверительная вероятность – надежность оценки. При фикси- рованном доверительном интервале доверительную вероятность можно повысить, только увеличивая объем выборки. Чтобы оценить случайную погрешность результата измерения вели- чины X, необходимо определить верхнюю a в и нижнюю a н границы интер- вала, накрывающего с заданной вероятностью Р случайное отклонение X ,н в X a X , н н X a X x Раздел 1. Теоретические основы метрологии 100 X X a результата измерения, т. е. определить доверительный интервал (рис. 2.13), который с заданной вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины. Математически это может быть записано в виде X а X ; P = … . (2.62) Значение X называется доверительной погрешностью. Она вычис- ляется по формуле X Х K S , (2.63) где K – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятно- стью Р и числом наблюдений n. Способ определения коэффициента K был предложен английским математиком В.С. Госсетом, который свои работы подписывал псевдони- мом «Стьюдент». Впоследствии коэффициенты, найденные В.С. Госсетом, получили название коэффициентов Стьюдента. Их принято обозначать t S Зависимости плотности вероятности f n (ε) случайной величины ε, распределенной по закону Стьюдента, для n = 2 и n = показаны на рис. 2.14. При n распределение Стьюдента стремится к нормальному закону. Как следует из рис. 2.14, основное отличие распределения Стью- дента от нормального заключается в более медленном убывании плотности вероятностей при увеличении . Рис. 2.14. Плотности вероятности f n ( ) для n = 2 и n = Практически начиная с n > 30 распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение с единичной дисперсией. Следовательно, при определении доверительных границ погрешности результата измерения (доверительных погрешностей) при n > 30 вместо коэффициентов Стью- дента можно пользоваться коэффициентами, определяемыми по нормиро- ванному нормальному распределению. n = n = 2 1 2 – 1 0 –2 f n Глава 2. Основы теории погрешностей 101 Вероятность того, что случайная величина Х Х а S находится в ин- тервале (–t S ... t S ) ,определяется равенством , s s t s s n s t P t t f d P t n (2.64) Функция Р(t S , n) табулирована. Числовые значения коэффициентов Стьюдента для доверительных вероятностей Р = 0,95, Р = 0,99 и различно- го числа наблюдений n приведены в табл. 2.2. Таблица 2.2 Значения коэффициента Стьюдента (t S ) ν P = 0,90 P = 0,95 P = 0,98 P = 0,909 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 31,8 6,97 4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 63,6 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 2.2.9. Оценка погрешности при малом числе измерений Пусть измеряемая величина имеет известное значение X. Естествен- но, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x 1 , x 2 ,…, x n заведомо не вполне точны, т. е. не совпадают с X. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то для реальной оценки погрешности вместо X используют среднее арифметическое X . Однако при малых объемах выборки вместо X предпочтительнее поль- зоваться медианой М X . Для вычисления М X результаты располагают в по- рядке возрастания, т. е. образуют так называемый вариационный ряд. Для не- четного количества измерений n медиана равна значению среднего члена ряда. Например, для n = 3 М X = x 2 . Для четных n, значение М X равно полусумме значений двух средних результатов. Например, для n = 4 М X = (x 2 + x 3 ) / 2. Раздел 1 102 Д отклон случай П темати модиф торый от чис перейт С форму Р рально щи но деляю В значен 2.2.10 Г изменя но пре провед Д статис В поним извест П лежит В го рас татов вестны 1. Теоретич Далее рас нение вы йную погр При малы ической с фицирован й коэффиц сла степен ти от выб Стандарт уле (2.48) Разности ой совоку рмальног ются следу Величина ния X . Дл 0. Обнару Грубые п яющихся евышают дения экс Для искл стических В метрол мают гипо тных расп Примеры рассма генераль генерал диспер В первых спределен данному ых распре еские осно ссчитываю ыборки), я решность ых n распр статистик нным сим циент (ко ней свобо борки к ге тное откл между с упности μ го распред ующим вы а ±t (P, ν) ля серийн ужение пр погрешно случайн по своем сперимент ючения г х гипотез. логии исп отезы о ви пределени ы статисти триваема ьной сово льная сов рсии двух х двух гип ния и при виду рас еделений вы метроло ют средн являющую ь (2.47). ределени ке эта до мметричн оэффицие оды (ν) и енерально лонение с средним μ лежат в деления и ыражение ( , ) t P n X S явля ных анали ромахов ости (про ым образ му значен та. грубых по ользуютс иде неизв ий. ических ги ая выборк купности вокупност нормальн потезах сд инадлежно спределен й. Наряду огии неквадрати юся меро ие может о ополнител ным t-рас ент Стьюд доверите ой совоку среднего выборки Р случая и связанн ем: ) X яется дове изов обыч омахи) о зом при п нию погре огрешност ся статист вестного р ипотез: ка (или е и; ть распред ных совок делано пр ости отде ния, а в т у с выдви ичную по ой разбро отличатьс льная нен пределен дента) t p , ельной ве пности. результа X и ср ях в преде ного с ним ( , ) t P n ерительны чно полаг относятся повторны ешности, тей прим тические распредел её отдель делена по купносте редполож ельных (п третьей – инутой ги огрешност оса и хар ся от норм надёжнос нием. При который ероятност ата X о редним з елах, кото м t p -распр ) ым интер гают Р = 0 к числу х наблюд оправдан меняют ап гипотезы ления, ил ьный резу о нормаль й равны м жение о ви подозрите – о парам ипотезой ть (станд рактеризу мального сть устра именяется й в зависи ти (Р) поз пределяет начением орые при ределения рвалом ср 0,95. погрешн дениях. О нные усло ппарат про ы, под кот ли о парам ультат) п ьному зак между соб иде неизв ельных) р метрах дв рассматр дартное ующую о. В ма- аняется я неко- имости зволяет тся по м гене- и помо- я опре- (2.65) реднего ностей, Они яв- овиями оверки торыми метрах принад- кону; бой. вестно- резуль- вух из- ривают Глава 2. Основы теории погрешностей 103 и противоречащую ей гипотезу. Нулевой (основной) называют выдвину- тую гипотезу, а конкурирующей (альтернативной) называют ту, которая противоречит нулевой. При выдвижении и принятии гипотезы могут иметь место следую- щие четыре случая. 1. Гипотеза принимается, причем и в действительности она правильная. 2. Гипотеза верна, но ошибочно отвергается. Возникающую при этом ошибку называют ошибкой первого рода, а вероятность ее появления – уровнем значимости и обозначают q (α). 3. Гипотеза отвергается, причем в действительности она неверна. 4. Гипотеза неверна, но ошибочно принимается. Возникающую при этом ошибку называют ошибкой второго рода, а вероятность ее появления обозначают β. Величину 1 − β, т. е. вероятность, что гипотеза будет отвергнута, ко- гда она ошибочна, называют мощностью критерия. Все статистические критерии являются случайными величинами, принимающими определенные значения (таблицы критических значений). Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значения критерия, при которых гипотезу принимают. Критической называют совокупность значений критерия, при кото- рых нулевую гипотезу отвергают. Область принятия гипотезы и критиче- ская область разделены критическими точками, в качестве которых и вы- ступают табличные значения критериев. Область непринятия гипотезы, как показано на рис. 2.15, может быть односторонней (правосторонней или левосторонней) и двусторонней. Рис. 2.15. Графическая интерпретация к распределению области принятия гипотезы Правосторонней называют критическую область, определяемую не- равенством K набл > k кр , где k кр – положительное число (рис. 2.15, а). Левосторонней называют критическую область, определяемую нера- венством K набл < k кр , где k кр – отрицательное число (рис. 2.15, б). K K K 0 0 0 K кр K кр K кр а б в Раздел 1. Теоретические основы метрологии 104 Двусторонней называют критическую область, определяемую нера- венствами K набл > k 1 ; K набл < k 2 , где k 2 > k 1 . Если критические точки симмет- ричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяет- ся неравенствами K набл < − k кр , K набл > k кр или равносильным неравенством K набл > k кр (рис. 2.15, в). Основной принцип проверки статистических гипотез формулируется следующим образом: если наблюдаемое (опытное) значение критерия при- надлежит критической области, то гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Проверку статистической гипотезы проводят для принятого уровня значимости α (принимается равным 0,1; 0,05; 0,01 и т. д.). Так, принятый уровень значимости α = 0,05 означает, что выдвинутая нулевая статистиче- ская гипотеза может быть принята с доверительной вероятностью P = 0,95 или есть вероятность отвергнуть эту гипотезу (совершить ошибку первого рода), равную P = 0,95. Нулевая статистическая гипотеза подтверждает принадлежность прове- ряемого «подозрительного» результата измерения (наблюдения) данной груп- пе измерений. Формальным критерием аномальности результата наблюдений (а следовательно, и основанием для принятия конкурирующей гипотезы: «по- дозрительный» результат не принадлежит данной группе измерений) при этом служит граница, отнесенная от центра распределения на величину tS, т. е. i x X tS , (2.66) где x i – результат наблюдения, проверяемый на наличие грубой погрешности; t – коэффициент, зависящий от вида и закона распределения, объема выборки, уровня значимости Таким образом, границы погрешности зависят от вида распреде- ления, объема выборки и выбранной доверительной вероятности. При обработке уже имеющихся результатов наблюдений произволь- но отбрасывать отдельные результаты не следует, так как это может при- вести к фиктивному повышению точности результата измерений. Группа измерений (выборка) может содержать несколько грубых погрешностей и их исключение производят последовательно, по одному. Все методы исключения грубых погрешностей (промахов) могут быть разделены на два основных типа: методы исключения при известном генеральном СКО; методы исключения при неизвестном генеральном СКО. В первом случае X и СКО вычисляют по результатам всей выборки, во втором случае из выборки перед вычислением удаляют подозрительные результаты. Глава 2. Основы теории погрешностей 105 После исключения промахов операции по определению оценок цен- тра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений необхо- димо повторить. Поскольку на практике чаще встречаются измерения при неизвест- ном СКО (ограниченное число наблюдений), в учебнике рассмотрены сле- дующие критерии проверки подозрительных (с точки зрения погрешно- стей) результатов наблюдений: Ирвина, Романовского, вариационного размаха, Диксона, Смирнова, Шовене. Так как критериальные требования (коэффициенты), определяющие границу, за которой находятся грубые (в смысле погрешностей) результа- ты наблюдений у разных авторов различны, то проверку следует выпол- нять сразу по нескольким критериям. Окончательное заключение о принадлежности подозрительных результатов рассматриваемой совокуп- ности наблюдений следует делать по большинству критериев. Рассмотрим методику оценки наличия грубой погрешности в резуль- татах наблюдений при неизвестном СКО для всей генеральной совокупно- сти и неизвестном математическом ожидании результата измерения. Предположим, что систематические погрешности исключены из ре- зультатов наблюдений, а плотность распределения вероятностей случай- ных погрешностей имеет симметричный характер. В этом случае обработ- ку результатов измерений выполняют в следующем порядке: 1. Вычисляют среднее арифметическое значение результатов n на- блюдений, которое принимают за результат измерения. 2. Вычисляют оценку СКО результатов наблюдений по формуле (2.60). 3. Если количество наблюдений превышает 15, проверяют гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределе- нию в соответствии с требованиями ГОСТ 11.006–74 (если количество на- блюдений не менее 50) или ГОСТ 8.207–76 (в остальных случаях). Если гипотеза не подтверждается, нужно найти эмпирическое распределение ре- зультатов наблюдений и подобрать для него подходящую аппроксимацию. 4. Проверяют ряд результатов наблюдений на наличие грубых по- грешностей. В случае обнаружения грубой погрешности значение, содер- жащее грубую погрешность, исключают из ряда наблюдений, и вычисле- ния по пунктам 1–4 повторяют для ряда из n – 1 наблюдений. 5. Затем для максимального (по модулю) случайного отклонения max вычисляют отношение max i i Х x X S , (2.67) где i – номер результата, содержащего максимальную погрешность. Раздел 1. Теоретические основы метрологии 106 6. Результат сравнивают со значением доп , взятым из таблицы распре- делений Смирнова для данного числа наблюдений n и уровня значимости α. Если i доп , то результат x i содержит грубую погрешность и дол- жен быть исключен из ряда результатов наблюдений. Если же i < доп , то i-й результат наблюдения получен в тех же условиях, что и остальная в группе наблюдений, и принадлежит к той же генеральной совокупности, но вероятность его появления мала. Исключать такой результат из ряда на- блюдений нельзя – это приводит к искажению статистических оценок ха- рактеристик измеряемой величины. 2.2.11. Критерий Романовского Конкурирующая гипотеза о наличии грубых погрешностей в подоз- рительных результатах подтверждается, если выполняется неравенство x i – X t p S, (2.68) где t p – квантиль распределения Стьюдента при заданной доверительной вероятности с числом степеней свободы k = n − k n (k n – число подозритель- ных результатов наблюдений). Фрагмент квантилей для распределения Стьюдента представлен в табл. 2.3. Таблица 2.3 Критерий Стьюдента t p (квантили Стьюдента) Довери- тельная вероят- ность Р Число степеней свободы k 3 4 5 6 8 10 12 18 22 30 40 60 120 ∞ 0,90 0,95 0,99 2,35 3,18 5,84 2,13 2,78 4,60 2,01 2,57 4,03 1,94 2,45 3,71 1,86 2,31 3,36 1,81 2,23 3,17 1,78 2,18 3,06 1,73 2,10 2,98 1,72 2,07 2,82 1,70 2,04 2,75 1,68 2,02 2,70 1,67 2,00 2,86 1,66 1,98 2,62 1,64 1,96 2,58 Точечные оценки распределения X и СКО S результатов наблюде- ний вычисляется без учета k n подозрительных результатов наблюдений. 2.2.12. Статистическая обработка результатов многократных измерений Предлагаемая здесь методика статистической обработки результатов прямых наблюдений применима только для случая равноточных (равно рассеянных) результатов. Результаты наблюдений принадлежат нормаль- ному закону распределения. Предположим, что систематические погрешности исключены из ре- зультатов наблюдений, а плотность распределения вероятностей случай- Глава 2. Основы теории погрешностей 107 ных погрешностей имеет симметричный характер. Рассмотрим последова- тельность операций, выполняемых при обработке результатов измерений, для этого случая. На первом этапе выполняют обнаружение и исключение промахов по методике, изложенной в подпараграфе 2.2.10. Далее вычисляют СКО среднего арифметического по формуле (2.28). Для конкретного закона распределения результатов наблюдений вы- числяют доверительные границы случайной погрешности: x x k S , (2.69) где k = д д , p S t f P t f P n Р д – доверительная вероятность. Результат измерения записывают в виде Х X X ; P … , (2.70) где Х – доверительная погрешность результата измерения; Р – доверительная вероятность. 2.2.13. Обработка неравноточных измерений По степени точности измерения делятся на равноточные и неравно- точные. Если в процессе проведения измерительного эксперимента могли использоваться различное оборудование (средства измерений, испытаний, контроля и др.), измерения выполняли различные операторы, имела место калибровка оборудования, изменялись параметры окружающей среды (температура, влажность, загрязнение воздуха и т. д), а также измерения выполнялись в разное время (большой интервал времени между измере- ниями), необходимо убедиться, что измерения являются равноточными. Другими словами, если отсутствуют сведения о равноточности изме- рений, то необходимо всю представленную совокупность наблюдений раз- бить на группы (серии), в пределах которых они являются равноточными. Поскольку совместная обработка результатов серий возможна при условии, что их значения однородны, то оценка выполняется с использо- ванием методов математической статистики. Определение «однородные» в статистике означает «являющиеся оценкой одного и того же параметра». Группы наблюдений при измерениях (серии) называются однород- ными, если состоят из значений, подчиняющихся одному и тому же закону распределения вероятности. В противном случае серии считаются неодно- определяется по таблице Лапласа при n > 30; определяется по таблице Стьюдента при 2 ≤ n < 30; Раздел 1. Теоретические основы метрологии 108 родными. Проверка однородности является обязательной при выборе спо- соба совместной обработки результатов нескольких серий измерений. При такой проверке сравниваются между собой средние арифмети- ческие значения серии, дисперсии и рассчитывается доверительный интер- вал оценок СКО. |