Физика лекции Юнусова (1). Минимальный курс физики. Составлен доц. Юнусовым Н. Б

• Название: Минимальный курс физики. Составлен доц. Юнусовым Н. Б
• Дата: 18.04.2023
• Размер: 3.72 Mb.
• Имя файла: Физика лекции Юнусова (1).doc
• Тип: Закон; #1071701
• страница: 3 из 19

Свободные гармонические незатухающие колебания.


Маятник в отсутствие силы трения (r =0) и внешней силы ( F₀=0) отведен от положения равновесия и отпущен. Уравнение движения имеет вид:

(3).

Его решением является гармоническая функция: (4),

в чем легко убедиться, подставив (4) в (3).

В (4) x_m , ω₀ и φ₀ – постоянные величины. x_m– амплитуда – величина, указывающая максимальное значе­ние координаты х при отклонении от положения равновесия, ω₀ – собственная частота, аргумент косинуса носит название фазы колебания; φ₀ — начальная фаза коле­бания (в момент t= 0).

Частота колебаний зависит только от свойств колеблю­щейся системы, но не от амплитуды, а амплиту­да и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями ее движения, выводя­щими систему из состояния покоя.

Скорость колеблющейся частицы равна: (5).

Ускорение частицы при таком движении: (6). На рис. приведены зависимости x(t), υ(t) и a(t) для φ₀=0.

Складывая кинети­ческую энергию с потенциальной, найдем полную энергию частицы, колеблющейся под действием упругой силы:

(7).

Т.о., полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Кинетическая и потен­циальная энергии изменяются со временем, как sin²(ω₀·t+φ₀) и cos²(ω₀·t+φ₀) , так что когда одна из них увеличивает­ся, другая – уменьшается, т.е. процесс колеба­ний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Сред­ние за период колебания значения потенциальной и кинетической энергии одинаковы и равны W/2. Т.о., если на тело действует сила, пропорциональная величине смещения час­тицы х и направленная в сторону, противоположную этому смещению (таковы, например, упругая сила, F=– k·x , действующая на пружинный маятник, или сила тяжести, действующая на математический или физический маятники), то оно совершает т.н. гармонические колебания (движение совершается по закону синуса или косинуса).

Примечание: В механике обычно рассматривают колебания : – математического маятника с периодом , где ℓ–длина маятника;

– физического маятника с периодом , где J–момент инерции маятника, a–расстояние от точки подвеса маятника до его центра масс;

– пружинного маятника с периодом , где k–жесткость пружины.
2. Свободные затухающие колебания
При наличии силы трения (r ≠0) и отсутствии внешней периодической силы (F₀ =0) уравнение движения имеет вид: (8),

г
де β называется коэффициентом затухания колебаний. В случае слабого затухания (β – мало) решением такого дифференциального уравнения является функция : (9). В этом можно убедиться прямой подстановкой (9) в уравнение (8). – частота колебаний системы с затуханием. A=A₀·e^-βt – амплитуда затухающих колебаний.

Таким образом, амплитуда колебаний убыва­ет по экспоненциальному закону. Вместе с амплитудой убывает также и энергия колебаний W, т.к. WA².

Степень убывания амплитуды определяется коэффициен­том затухания β. Время τ=1/β, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е=2.7183 раз, называют по­стоянной времени затухания колебаний.

Скорость уменьшения амплитуды за период характеризует величина θ, называемая лога­рифмическим декрементом затухания. По определению:

(10).

Скорость убывания энергии в системе с зату­ханием характеризует добротность Q:

(11),

где W – энергия, запасенная в системе, (–ΔW)– энергия, теряемая системой за период. Добротность показывает, во сколько раз энер­гия, запасенная в системе, больше энергии, те­ряемой за период. Добротность в (11) выражена через параметры системы и логарифмический декремент затухания θ, с учетом того, что WA².

В случае сильного затухания ( ) колебательный процесс не развивается: система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, просто медленно возвращается к нему. Это т.н. апериодический процесс.
3. Вынужденные колебания. Резонанс.
Для того чтобы возбудить в системе незату­хающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением (сопротивлением). Такая компенсация может производиться внешними по отношению к колебательной системе источниками энергии. Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы F(t). Под влиянием этой силы в системе возникнут колебания, происходящие в такт с изменением силы; эти колеба­ния называются вынужденными.

Дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний имеет вид (2):

(12).

Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2 порядка; его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения есть решение уравнения колебаний с затуханием, рассмотренное ранее. Рассмотрим частное решение неоднородного уравнения: x =A·cos(Ωt –φ ) (13), описывающее установившиеся колебания с частотой Ω вынуждающей силы.

Величины амплитуды Aи сдвига фазы φ по отношению к фазе вынуждающей силы зависят от соотношения между собственной частотой ω₀ системы и Ω, а также от затухания, действующе­го в системе:

; (14).

П ри некоторой частоте Ω₀вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Это явление называется резонан­сом (резонансом смещения). На рис. изображены резонансные кривые для трех значений коэффициента затухания β. Частота ω_рез = Ω₀ называется резонансной частотой. Ее значение можно найти, исследовав на минимум подкорен­ное выражение для A в формуле (14): (15).

Амплитуда при резонансе получается подстановкой Ω₀ в выражение для амплитуды:

(16).

0. 
   
   
1. 
   1.7. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.
   

Явление распространения колебаний в про­странстве называется волновым движением или волной.

Уравнение волны выражает зависимость смещения Ψ колеблющейся точки, участвую­щей в волновом процессе, от ее координаты х и времени t.

Волна называется продольной, если колебания частиц происходят вдоль линии распространения вол­ны; если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения волны, то волна называется поперечной.

Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени дошло колеба­ние, называется фронтом волны. Можно так­же в среде выделить геометрическое место то­чек, колеблющихся в одинаковых фазах. Эта совокупность точек образует поверхность оди­наковых фаз или волновую поверхность. Фор­ма фронта волны определяет тип волн, напри­мер, у сферической волны фронт представляет собой сферу.

Скорость распространения волны есть скорость распространения данной фазы (волновой поверхности). Ее называют фазовой скоростью υ волны.

Расстояние, на которое определенная фаза колебания распространяется за один период Т колебания, называется длиной волны λ =υ·T.

Простейшим видом волн является плоская волна. Колебания частиц среды в ней происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения. Если колебания в каждой точке следуют гармоническому зако­ну и происходят с одной частотой, то волна называется гармонической и монохромати­ческой.

Уравнение плоской волны, распространяю­щейся в положительном направлении оси х, имеет вид: (17),

где А(х) = A₀·e^-rx – амплитуда колебаний точек среды, расположенных на расстоянии x от источника колебаний (в среде без затухания А=А₀= const). Так как ω=2π/T, то: (18).

Здесь k=2π/λ=2π/(υ·T)=2πν/υ=ω/υназывается волновым чис­лом и является модулем волнового вектора , указывающего направление распространения волны.

Уравнение волны в виде (18) – одно из воз­можных решений общего дифференциального уравнения, описывающего распространение возмущения в среде. Это общее уравнение на­зывается волновым уравнением. Его можно получить, взяв от функции Ψ вторые производ­ные по х и t,: (19),

где учтено, что в данном случае производные являются частными и сделана замена Выражение (19) справедливо для волн любой природы.

Вещество вместе с волной не переносится. Частицы веще­ства только колеблются каждая около своего положения равно­весия. Колебания передаются вдоль направления распространения волны, вместе с ними передается и их энергия. Для описания этого процесса вводят вектор плотности потока энергии (вектор Умова) , который направлен в сторону распространения волны, а его модуль равен энергии, переносимой волной через единицу площади за единицу време­ни.

Выделим на фронте плоской волны (рис.) единичную площадку S. Через единицу времени фронт сместится на рас­стояние, равное скорости распространения волны υ и займет по­ложение S’. Если в единице объема содержится энергия w (плотность энергии), то за единицу времени через сечение S’= 1 пройдет вся энергия, заключенная в объеме между сечениями Sи S’ , т. е. w·υ. Это и есть вектор Умова, если записать в векторной форме: . Он измеряется в Дж/(с·м²) или, что то же самое, в Вт/м². Эта фор­мула справедлива не только для механических волн, но и для волн любой природы, например электромагнитных.