Миниобранауки россии
 Скачать 1.37 Mb.
|
8. Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений и с повторениямииАналогично задаче однофакторного дисперсионного анализа можно рассмотреть задачу о действии на результативный признак Y двух факторов – A и B. Логика однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа во многом схожа и состоит в следующем. Пусть  – математическое ожидание результативного признака Y при уровне A(j) (j = 1, 2, … ca);  – математическое ожидание результативного признака Y при уровне B(l) (l = 1, 2, … cb). Если при изменении уровня фактора A групповые математические ожидания не изменяются, то считаем, что результативный признак не зависит от фактораА, в противном случае такая зависимость имеется. Аналогично, если при изменении уровня фактора B сохраняется равенство групповых математических ожиданий, то считаем, что Y не зависит от фактора B. Но поскольку числовые значения математических ожиданий неизвестны, возникает задача проверки следующих гипотез: Проверять эти гипотезы, так же как и в задаче однофакторного дисперсионного анализа, можно только при соблюдении следующих требований: 1) при различных сочетаниях уровней факторов A и B наблюдения независимы; 2) при каждом сочетании уровней факторов A и B результативный признак Y имеет нормальный закон распределения с постоянной для различных сочетаний генеральной дисперсией σ2. Основой проведения двухфакторного дисперсионного анализа служит комбинационная группировка по двум факторам с последующим разложением полной вариации результативного признака SSОБЩ на сумму вариаций фактора A и фактора B, вариации взаимодействия и случайной ошибки по формуле  где  – полная вариация, определяется как полная сумма квадратов отклонения от общего среднего: .Общее среднее значение равно:  SSА – вариация фактора A, вызванная влиянием на Y фактора A;  где  – среднее значение, соответствующее j-ому уровню фактора A SSВ – вариация фактора В, вызванная влиянием на Y фактора B;  где  – среднее значение, соответствующее l-ому уровню фактора B SSВ – вариация взаимодействия. Определяет эффект взаимодействия между факторами A и B.  где  – среднее значение, соответствующее i-ому уровню фактора A и l-ому уровню фактора B SSВ – случайная ошибка. Показатель вариации, вызванной влиянием на Y остаточных факторов. Если каждую сумму квадратов отклонений (вариацию) разделить на соответствующее число степеней свободы, то получится четыре типа дисперсии МSА, МSВ, МSАВ, МSЕ.   В двухфакторном дисперсионном анализе применяются три разных критерия. 1. Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта фактора A  и альтернативной гипотезы H1: не все mj равны используется F-критерий Фишера: В математической статистике доказывается, что если гипотеза  верна, то величина FA имеет F-распределение с числом степеней свободы df1 = (сa – – 1) и df2 = (сА – 1) (сВ – 1).2. Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта фактора B  и альтернативной гипотезы H1: не все ml равны используется F-критерий Фишера: В математической статистике доказывается, что если гипотеза  верна, то величина FВ имеет F-распределение с числом степеней свободы df1 = (cb – 1) и df2 = (ca – 1) (cb – 1).3. Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта взаимодействия факторов A и B –  : взаимодействие факторов A и B равно нулю и альтернативной гипотезы –  : взаимодействие факторов A и B не равно нулю используется F-критерий Фишера: Проверка выдвинутых гипотез осуществляется так же, как и при однофакторном дисперсионном анализе, и состоит в нахождении правосторонних критических интервалов  с последующим контролем попадания (или непопадания) в данный интервал расчетных значений FA (или FB) Если расчетное значение попадает в критический интервал, то гипотеза ( ) отвергается, т.е. считается, что фактор A (B) влияет на результативный признак YДвухфакторный дисперсионный анализ может иметь две разновидности: без повторений и с повторениями. В первом случае каждому уровню факторов соответствует только одна выборка данных, во втором — определенным уровням факторов может соответствовать более одной выборки данных. Пример 1. Сгенерированы исходные данные для анализа, представленные в табл.6. Таблица 6. Четыре нормально распределённые выборки по 2 на каждую переменную
2. Проведения двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями для выяснения на основе выборочных данных табл.6 факта влияния контролируемых факторов A(группа) и B(переменная) на результативный признак Y. Таблица 7 Результаты анализа
Анализ полученных результатов и проверка гипотез: 1. Гипотеза не отклоняется, так как  меньше критического значения (соответственно p-значение больше уровня значимости α = 0,05);2. Гипотеза не отклоняется, так как  меньше критического значения (соответственно p-значение больше уровня значимости α = 0,05);3. Гипотеза не отклоняется, так как  меньше критического значения (соответственно p-значение больше уровня значимости α = 0,05). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||