Министерство образования и науки российской федерации гоу впо уральский государственный технический университет
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
3.1. Коэфф ия при нормальном падении акустической волны Если устической волны встретилась гран ца со средой, имеющей другие параметры, во вторую среду прос с импедансом Z 1 , падает на границу со средой, име 00 кГц. Для наглядности сравнения графики коэффициентов затухания лучше строить в логарифмическом масштабе. Г волн на границе раздела сред ициенты отражения и прохожден на границу раздела сред на пути распространения аки очится только часть мощности волны, остальная отразится от границы. При решении задач конструирования ультразвуковых излучателей актуальным является хорошее согласование их со средой, чтобы максимальная энергия уходила в требуемом направлении. В акустике часто возникает проблема эффективного поглощения звуковых волн. В этих и во многих других ситуациях важно уметь рассчитывать коэффициенты отражения и прохождения волн на границе раздела сред. Пусть пло кая акустическая волна, распространяясь вдоль оси z в среде с акустическим ющей импеданс Z 2 (рис. Падающая волна, k 1 Z 2 , Отраженная волна Прошедшая волна z Рис. 3.1. Отражение акустической волны на границе Запиш отраженной волн давлений и колебательных скоростей для некоторой фиксированной частоты (гармонического колебания) ем поле впервой среде в виде суммы падающей и 45 1 1 1 пад отр jk z jk z a a a e e p p p − + = + & , (3.1) 1 1 1 пад отр j z j z z z z k k v v e v e − + = + (3.2) В формуле (3.1) – амплиту ний падающей и отраженной волн в спад отр , a a p p ды акустических давле- ечении 0 z = . В формуле (3.2) скоростей частиц среды, пад отр , z z v v – амплитуды колебательных движ йствием эти ских волн вол ущихся под возде х волн в сечении 0 z = . Постоянная распространения 1 k определяет скорость расп анения акустиче- первой среде. Знак минус в показателе экспоненты соответствует волне, бегущей вдоль оси z , а знак пл – волне, бегущей в противоп ожном направлении. Справа от границы раздела сред существует только прошедшая волна, поле которой во второй среде можно записать в виде 2 ростр юс» 2 пр j z k p p e a a − = & , (3.3) 2 пр) В формулах (3.3), (3.4) – ния прошедшей волны в сечении пр амплитуда акустического давле- 0 z = ; пр – амплитуда колебательной второй янна ическ и ко кое скорости частиц во среде в сечении 0 z = ; 2 k – постоя распространения акуст ой волны во второй среде. Отметим, что акустическое давление лебательная скорость частиц среды связаны между собой через акустичес сопротивление среды a a p Z = ± ν (3.5) Верхний знак в (3.5) выбирается для акустической волны, бегущей вдоль оси (падающа второй среде, а нижний – стор z я волна впервой среде и прошедшая во для волны, бегущей в противоположную ону (отраженная волна на рис. Введем коэффициент отражения от границы разделав сечении 0 z = как отношение амплитуд акустических давлений отраженной и падающей волн отр пад p pa R pa = , (3.6) 46 где нижний индекс показывает, что коэффициент отражения вычисляется через амплитуды давле Аналогично можно ввести коэффициент прохождения по аку- стич p ний. ескому давлению в виде пр pa пад a Коэффициенты отражения и прохождения можно определить из (3.1), (3.3) с учетом граничных услови Граничные условия – условия непрерывности акустического давлений. я и нормальных к границе составляющих колебательной скорости частиц среды в сечении 0 = z . Если, например, был скачок давления, то это подразумевало бы наличие на границе дополнительного источника энергии волна если был скачок колебательной скорости, то был бы скачок смещения частиц, те. разрыв сплошного характера среды, те. был бы нарушен закон неразрывности среды. Таким образом, на границе раздела сред (в сечении 0 z = ) нужно потребовать выполнения условий непрерывности 1 2 1 2, z z a a p p v v = = (3.8) Из выражений (3.1), (3.2) для сечения 0 z = получим пр a p пад отр a a p p + = , 1пад 1отр 2 z z z v v v + = пр Последнее выражение с учетом (3.5) можем з исать ап пад отр пр Разделив левую и правую части на амплитуду акустического давления и используя понятие коэффициентов отражения и прохождения, получим систему уравнений пад a p 1 1 1 p p p p 2 R T Z R T Z + = ⎧ ⎪ ⎨ − = ⎪ , (3.9) ⎩ 47 которая позволяет записать выражения для расчета этих коэффициентов +В зависимости от соотношения акустических сопротивлений сред коэффициент прохождения может быть как меньше, таки б единицы. Однако закон сохранения энергии и этом не нарушается. Коэффициент прохождения по мощности всегда меньше единицы для любо вывести выражения для расчета ольше пр ых сред (см. формулу (3.13)). Выразив в формулах (3.1), (3.3) акустическое давление через колебательную скорость и акустическое сопротивление среды (3.5), с учетом граничных условий (3.8) составляем систему уравнений, аналогичную, из которой можн коэффициентов отражения и прохождения по колебательной скорости отр 1 2 2 1 пад v p v Z Z R R v Z Z − = = = − + , (3.11) 1 2 1 2 1 пр v v пад v Z R T v Z Z = = = +Полученные выше выражения (3.10), (3.11) совпадают с выражениями для коэффициентов отраж ных волн при нормальном падении на границу раздела двух сред. Перед границей разделав первой среде бегущие навстречу падаю ения и прохождения электромагнит- щая и отраженная волны образуют интерференционное поле 1 1 1 пад пад jk z jk z a a p a p p e R p e − = + , 1 1 1 пад пад jk z jk z v v e R В предельном случае, когда сопротивление Z → ∞ , коэффициенты отражения равны 1 p R = , 1 v R = − итуда . При этом фаза давления не меняется при отражении, а ампл давления н удваивается, фаза колебательной скорости меняется на а границе, амплитуда колебательной скорости на границе равна нулю. Перед границей возника- а 48 ет и лей ак ьной скорости нтерференционное поле в виде стоячих волн по устического давления a p и колебател ν. ( ) 1 пад 1 2 cos j t a a p p k z e ω = & , (3.12) ( ) 1 пад 1 2 sin j t j k z e ω = сред сильно отличаются друг от друга или , впервой среде возникает режим, близкий к режиму стоячих волн. В других случаях интерференционное поле определяется коэффициентом отражения, зависящим противления сред. Записав модуль интерференци нного поля, можно пока Если а стические сопротивления ку 2 Z Z >> 2 от со- о зать, что максимальная амплитуда суммарного поля равна 2 max пад 1 a a p p p R ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , а минимальная амплитуда 2 min пад 1 a a p p p R ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Рассмотрим, например, падение акустическо волны частотой 10 кГц из ацетона на границу с водой. В соответствии с Прил акусти- ческ имеют следующие значения ⋅ кг/(м 2. с), й ие сопротивления этих сред ацетона 10 Z Z = = 6 воды 10 Z Z = = ⋅ кг/(м 2. с). Коэффициент отражения по акустическому давлению 2 1 0,3 p Z Z R 2 Постоянная распростране среде (ацетон) во в ормирован- ная зависимость суммарного акустического давления падающей и отраженной волн, распространяющихся в среде етона, с учетом наличия границы со второй средой – водой. Интересно, что на расстоянии одн ,1 м) наб, ния впервой м 1 торой среде водам На рис показана нац ой длины волны (для ацетона на частоте 10 кГц это 0 лю- дается два максимума. Если акустическое сопротивление второй среды 2 1 Z Z >> , то коэффициент отражения в этом случае равен 1, падающая волна полностью отражается и график распределения суммарного акустического 49 давления изменяется (рис. В точках синфазного суммирования полей амплитуда удваивается, в точках пространства с противофазным суммированием амплитуда равна нулю. Возникает стоячая волна. Если отраженной волны нет (согласованная граница, амплитуда поля акустической волны впервой среде без учета потерь во всех точках вдоль оси z будет постоянной. Аналогичные зависимости можно построить для колебательной скорости суммарного акустического полям Рис. Зависимость модуля акустического давления суммарного поля падающей и отраженной волн вблизи границы раздела ацетон–вода |p (z)| 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 |p aΣ (z)| z, м а б Рис. Зависимость модуля акустического давления суммарного поля падающей и отраженной волн вблизи границы разделов 50 ацетон – вода (аи ацетон – идеальный отражатель (б) Коэффициент прохождения по интенсивности определим как отношение интенсивности прошедшей через границу плоской волны к интенсивности падающей. При нормальном падении пр 1 1 1 2 2 2 2 2 2 пад1 1 2 4 1 ( ) a J P a p Z Z Z Z T T R p Z Z p Z Z = = = = − + (3.13) Взаимными заменами входящих в (3.13) величин сопротивлений 1 Z и 2 Z среды несложно показать, что коэффициенты прохождения энергии изв среду 2 и обратно одинаковы Параметр показывает, какая доля мощности падающей волны просачивается вторую среду. гран лени- полн е сопротивление для продольных волн J T во Для улучшения передачи мощности акустической волны через ицу среды должны быть согласованы, те. их волновые сопротив- я дол вы жны быть одинаковы. Однако на практике это условие яется крайне редко. Обычно рассогласование сред для акустических волн получается во много раз большим, чем для электромагнитных волн. Например, такой широко используемый в акустоэлектронике твердый материал, как сапфир, имеет акустическо a Z = 44,3 10 6 кг/(м 2. с), у воды значен акустического сопротивления ие a Z = 1,5 10 6 кг/(м 2. с), а возду раздо меньше – для ха го = 4,27 10 2 кг/(м 2. с), и при решении большинства зада у анализа распространения акустических волн. Вторая среда выполняет роль некоторого сопро- чего вообще можно считать нулевым. Рассмотренные законы отражения и прохождения продольных волн при нормальном падении на границу раздела пругих сред жидких, газообразных или твердых) справедливы и для сдвиговых волн в твердых средах. 3.2. Акустическое согласование сред Решить задачу согласования сред для акустических волн и минимизировать их отражение от границы раздела сред можно введением четвертьволнового трансформирующего слоя. Этот метод широко используется в оптике и технике СВЧ. Он основан на использовании модели эквивалентной линии передачи для 51 тивления нагрузки, подключенного к линии передачи в сечении 0 z = рис. До этого сечения ( 0 z < ) эквивалентная линия моделирует распространение падающей и отраженной акустических волн впервой среде. Рассчитаем входно сопротивление отрезка эквивале линии длиной , соответствующей толщине выделенного слоя первой среды. опротивление нагрузки эквивалентной линии равно акустическом е нтной Су сопротивлению второй среды Н акустическое давление и колебательную Запишем скорость падающей и отраженной волн в сечении z l = − : ( ) 1 1 пад отр j k l j k l a p l p e p e − − = + & , ( ) 1 1 пад отр j k l j k l v l v e v e − − = + & , k 1 , Z = Z 1 k 2 , Z 2 = Z H k 1 z Z Н Z 1 Z ВХ Рис. 3.4. Эквивалентная схема границы раздела сред Перейдем от колебательной скорости к давлению через сопротивление и воспользуемся коэффициентом отражения подавлению 1 пад j k l j k l a p p l p e R e − − = + & , ( ) ( ) 1 1 пад 1 р j k l j k l p p v l e R e Z − − Входное сопротивление эквивалентной линии с постоянной распространения на расстоянии l от границы по аналогии с теорией линий передачи может быть определено из формулы 1 k 52 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 вх 1 j k l j k l p a j k l j k l p e R e p l Z z l Z v l e R e − − + − = − Подставляем выражение коэффициента отражения из (3.10) и получаем 1 вх 1 1 1 2 1 cos( ) sin ( ) cos( ) sin ( ) Z k l j Z k l Z l Z Z k l j Z k l + − = + (3.14) Отойдем от границы на четверть длины волны 4 l = λ , где λ – длина волны в линии передачи, и определим произведение 1 2 4 2 = . Выражение (3.14) преобразуется к виду k l π λ π = λ 2 1 вх 2 4 Z Z Z λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3.15) Подбирая значение волнового сопротивления четвертьволнового слоя среды, можно решить задачу согласования двух сред. Между двумя средами нужно расположить дополнительный етвертьволно- вый слой материала с таким акустическим сопротивлением, чтобы обес де, что приведет к их взаимной компенсации (рис. Сдвиг фазы 180 градусов обеспечивается разностью хода волн между границами в пол ины волны, а равенство амплитуд – рациональным выбором акустического сопр ч печить равенство акустического сопротивления первой среды и входного сопротивления эквивалентной линии передачи. В этом случае отраженные от обеих границ дополнительного согласующего слоя волны будут противофазны и равны по амплиту дл отивления трансформирующего слоя. λ/4 я среда 2-я среда Рис. 3.5. Согласование двух сред с помощью четвертьволнового слоя 53 Запишем входное сопротивление (3.15) с учетом того, что согласующий слой имеет свои собственные параметры сопротивление тр тр Z , волновое число три толщину тр l . При тр 4 l λ = входное сопротивление на границе тр z l = − будет равно тр 2 вх тр 2 Для того чтобы отраженные волны отсечения тр z l = − отсутствовали, входное сопротивление эквивалентной линии передачи (3.16) должно равняться акустическому сопротивлению первой среды. 2 тр 1 Отсюда получаем выражение для расчета акустического сопротивления согласующего (трансформирующего) четвертьволнового слоя 1 2 тр Z Z Z = (3.17) По сопротивлению (3.17) подбирается материал для изготовления согласующего слоя. Толщина согласующего слоя равна д к лой. нес ол . В ке анало ютс " с. Наклонное падение продол волны на границу раздела жидких еской в ня- ется на границе с твердой средой, когда падающая продольная или сдвиговая волна расщепляется на две волны. Это расщепление на- четверти лины волны в используемом материале, поэтому полоса частот низ- ого значения коэффициента отражения получается достаточно ма- Для расширения диапазона частот хорошего согласования применяется многослойная трансформирующая структура, состоящая из кольких четвертьв новых слоев опти гично выполняя "просветленные текла. ьной акустической и газообразных сред Особенности отражения и прохождения акустич олны при наклонном падении на границу раздела упругих сред зависят от свойств среди типа падающей волны. Задача существенно услож 54 блюдается как для отраженной, таки для прошедшей волн, если они распространяются в твердой среде. В учае наклонного падения электромагнитной волны на границу раздела сред подобного эффекта расщ нализ наклонного падения акустических волн на границу жидких и газообразных сред упрощаетс распространяются лишь продольны чей сл епления лучей не наблюдается. Особенности поведения акустических волн на границе с твердым телом будут рассмотрены ниже. А я в связи стем, что в этих средах е волны. Эффект расщепления луне наблюдается. Полученные результаты аналогичны законам поведения электромагнитных волн на границе раздела сред. Пусть на границу раздела двух сред, в которых могут распространяться только продольные волны, под углом θ падает плоская акустическая волна (рис. Под пока неизвестными углами ′ θ иона отражается от границы и проходит во вторую среду. Воспользуемся выражением для продольной волны, распространяющейся в произвольном направлении (2.24), (2.25), и запишем комплексные амплитуды акустических давлений падающей, отраженной и преломленной волн ( ) sin cos j x z k − θ+ θ 1 пад пад a a p p e = & , (3.18) ( ) 1 sin cos отр отр a a p p e j x z k ′ ′ − θ − θ = , (3.19) & ( ) 2 sin cos пр пр) пр z k 2 V Z l2 02 2 ⋅ = ρ θ θ ’ v пад r v отр r k 1 V Z l1 01 Рис. 3.6. Ход отраженных и прошедших лучей ри падении п продольной акустической волны на границу раздела 55 жидких или газообразных сред Согласно граничным условиям в любой точке границы раздела 1 2 a a p p = & & при 0 z = . (3.21) С учетом выражений (3.18)-(3.20) граничное условие (3.21) принимает вид sin j k x 1 пр sin пад отр j k x j k Тождество (3.22) должно выполняться для любых значений координаты. Это возможно лишь в случае, когда вдруг другу. Следовательно, и показатели экспонент должны быть равны между собой . (3.22) се экспоненты равны z 1 1 2 sin sin sin k k k ′ θ = θ = ψ (3.23) Из (3.23) получаем известные законы Снеллиуса: закон отражения – угол падения равен углу отражения , (3.24) закон преломления ′ θ = θ 1 2 2 1 sin sin sin l l k V k V ψ = θ = θ (3.24) С учетом равенства экспонент в (3.22) условие непрерывности акустических давлений на границе раздела сред можно записать в виде) Д эф- фициента овием для сечения пад отр пр a a a p p p + = ля вывода расчетных формул коэффициента отражения и ко прохождения воспользуемся вторым граничным усл - к границе компонент непрерывностью нормальных ов колебательной скорости 1 2 n n v v = (3.26) У продольной волны вектор колебательной скорости совпадает с напр представляет собой проекцию вектора колебательной скорости на ось . Условие (3.26) с учетом равенства эксп которых авлением распространения и нормальная к границе раздела составляющая iziонент, вид аналогичен (3.22), примет вид пад отр пр cos cos cos v v v θ − θ = ψ (3.27) 56 |