Министерство образования и науки российской федерации гоу впо уральский государственный технический университет
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
4.3. Отражение и прохождение акустических волн на границе Законы отражения и преломления продольных и сдвиговых волн на границе твердых тел значител продольных волн на границе жидких и газообразных сред. На поверхности раздела твердых сред выполняются граничные условия – условия непрерывности нормаль элементов тензора напряжений. Это значительно усложняет задачу опре це се- ломление существенно меняются по сравнению с продольными волнами в жидкостях и газах. Введем понятие поляризации для виго- вых ения, то волна считается поляризованной горизонтально. Рассмотрим три характерных случая наклонного падения волн на границу твердого тела. раздела твердых сред ьно сложнее, чем такие законы для ных к границе раздела компонент деления коэффициентов преломления и отражения акустических волн. Если плоская волна падает по нормали к плоской границе твердого тела, то законы отражения и преломления как L волны, таки- волны остаются теми же, что и для продольных волн на грани жи ких и газообразных сред. При этом ледует учитывать лишь различную скорость распространения продольных и сдвиговых волн. Если же волна падает под углом к границе раздела, то отражение и пр д- сд T волн. Будем считать, что волна T поляризована вертикально, если вектор смещения в этой волне лежит в плоскости падения рис. Напоминаем, что плоскость падения задается вектором направления распространения волны и нормалью к границе раздела сред. Если колебания частиц среды происходят в плоскости, перпендикулярной плоскости пад 1. На границу раздела твердых тел под углом пад l θ падает продольная акустическая волна (волна. Поскольку напряжение упругой волны приложено к частицам среды, лежащим на границе под углом пад l θ , то имеются соответствующие проекции данной силы на осях x и z . Это приводит к изменению направления движения частиц на поверхности твердого тела. В связи с этим отраженная и прошедшая волны в общем случае будут состоять уже из двух видов волн – продольной и сдвиговой вертикальной поляризации. Происходит расщепление (трансформация) 67 падающей пад L -волны. Расщепление связано с изменением характера, направления и параметров движения частиц на поверхности твердого тела под действием падающей волны. Скорости распространения продольных и сдвиговых волн различны (сдвиговые волны медленнее продольных, поэтому направления распространения сдвиговых волн отстоят от нормали к границе разделана меньший угол, чем направления продольных волн. На рис отраженные продольная и поперечная волны обозначены соответственно отр L и отр T , прошедшие – пр L пр T . Направление колебания частиц среды условно показаны стрелами. Сдвиговые волны отр T и пр поляризованы вертикально. и к L пад L T отр отр пр пр θ t отр θ l пад θ l отр 1-я среда я среда z θ l пр θ t пр x Рис.4.2. Эффект расщепления продольной волны при наклонном падении на границу раздела твердых тел на продольную и сдвиговую волны При наклонном падении законы Снеллиуса примут вид пад отр отр пр пр пад отр отр пр пр sin sin sin sin sin l l t l t l l t l t V V V V V θ θ θ θ θ = = = = (4.16) Здесь пад отр l l V V = – скорость падающ отраженной продоль- во первой среде отр t V – скорость отраженной сдвиговой волны впервой среде при р – орости распространения про- ей иной лн ск в п t V 68 шедших продольной и сдвиговой волн во второй среде. Продольная волна падает на границу раздела под углом пад l θ . Угол отражения продольной волны , угол отражения сдвиговой волны – , углы преломления прошедших продольной и сдвиговой волн ены соответственно отр пад l l θ = θ отр t θ обознач при пр. Учитывая, что скорость поперечных волн меньше, чем прод х, из (4.16) имеем для отраженных волн , отсюда ольны отр отр t l V V < отр отр t l θ < θ ; для преломленных и Из 6) видно, что направление распространения отраженных волн зависит от скорости продольных и сдвиговых во отренных средах, а следовательно, от параметров упругости плотности этих сред. Пусть скорость продольной волны во вт пр пр t l V V < пр пр выражения (и прошедших лн в рассм и орой среде больше, чем впервой пр пад l l V V > . Приравняв приз ол паде (4.16) находим критический уг ния пад кр, при котором прошедшая продольная пр- пр волна начинает скользить вдоль поверхности раздела, этого гла наблюдается полное отражение для продольных При дальнейшем увеличении угла падения до значения, определ жен те. начиная су ого выра- L -волн. яем па ием д кр2 пр sin t V , во второй среде пропадет и прошедшая сдвиговая пр T -волна. О тож ачинает скользить вдоль границы раздела. При углах падения пад кр2 l V θ = на е н граница раздела будет абсолютным отражателем. Например, акус лна падает из воды на поверхность иния. Скорость продольной волны вводе км/с, а валю- минии l V = 6,42 км/с. При угле падения кр1 тическая во алюм θ = θ = 13,5 0 в алюминии исчезает продольная волна, а при угле падения кр = θ = 29,6 0 в алюминии исч говая вол . Для впадения акустической волны из ерхность алюминия езает и сдви на воды на пов угло пад θ > 29,6 0 алюминий ют будет абсол ным отражателем. 69 2. Если на границу раздела падает сдвиговая волна, поляризованная в плоскости падения (вертикальная поляризация, то ив этом случае наблюдается эффект расщепления волн на сдвиговую и продольную волны (рис. T пад L отр пр T отр пр θ l пр θ l отр θ t пр θ t отр 2-я сред с. ых и сд ной пол атриваемой ситуации запишется в θ t пад z я среда а x Ри 4.3. Ориентация лучей продольн виговых волн при наклонном падении сдвиговой волны вертикаль яризации Закон Снеллиуса для рассм следующем виде пад отр пр пр пад отр отр пр пр sin sin sin sin sin t t отр l t l t t l t l V V V V V θ θ θ θ θ = = = = (4.17) Из (4.17) с учетом скорости распространения сдвиговых и прод волн следует, что так как ольных отр пад t t V V = , то , так ак , то отр пад t t = θ θ к отр пад l t V V > отр пад l t > θ θ , итак как , то . Угол отражения продольной волны всегда больше угла падения, поэтому расщепление лучей впервой среде наблюдается до момента, когда продольная волна начинает скользить вдоль границы пр пр l t V V > пр пр 70 отр 2 l π = θ остается скорость пр па раздела . При дальнейшем увеличении угла падения впервой среде лишь одна сдвиговая волна. Пусть поперечной волны во второй среде больше, чем впервой. Считая д t t V V > пр 2 l π θ = , находим первый критический угол падения пад кр1 пр sin t l V V θ = , при котором прошедшая продольная волна распространяется вдоль поверхности раздела и наблюда- полное отражение. Приравняв прется пр , находим второй угол падения из условия пад кр2 пр sin t t V V θ = , при котором прошедшая сдвиговая т- ству пр -волна скользит вдоль границы и поле во второй среде отсу T ет. 71 3. Если на границу раздела двух твердых сред падает сдвиговая ованная горизо первой среды совершают колебания перпендикулярно к плоскости паде эффект ший луч выми волнами, поляризованными также горизонтально (рис. волна, поляриз нтально, тов связи стем, что частицы ния, отсутствует составляющая сил в направлении распространения падающей волны. В этом случае расщепления лучей не наблюдается. Отраженный и прошед и формируются сдвиго- T пад T отр пр θ t пр θ t отр x z я среда я среда θ t пад Рис.4.4. Падение сдвиговой волны горизонтальной поляризации на границу раздела твердых сред Ориентация лучей в этом случае может быть определена из соотношения пад отр пр пад отр пр sin sin sin t t t t t t V V V θ θ θ = = (4.18) Важно помнить, что если одна из средне поддерживает распространение сдвиговых волн (например, граница твердого тела и жидкости, тов ней остается лишь продольная волна, в то время как в тверд дени на границу с жидк ся отраженная сдви ом теле эффект расщепления наблюдаться будет. В случае пая сдвиговой вол з твердого тела ны горизонтальной поляризации и остью в твердом теле наблюдает говая волна горизонтальной поляризации, в то время как прошедшей волны в жидкость вообще не будет. 72 Для конструирования акустических линий задержки и фильтров чаще всего используются пьезоэлектрики (ква нат бария, танталат лития, пьезокерамика и др, граничащие с воздухом рц, ниобат лития, тита- . Поскольку акустические сопротивления воздуха и твердых материалов отличаются на два порядка, то долю мощности, прошедшую из твердого материала в воздух, можно считать нулевой. Коэффициент отражения продольной волны от границы твердое тело – воздух для падающей продольной волны вычисляется по формуле ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 пад отр пад отр отр sin 2 sin 2 cos 2 l t l t t ll V V R θ θ − θ = 2 2 пад отр пад отр отр sin 2 sin 2 cos 2 l t l t t V V θ θ + θ (4.19) Часть мощности падающей продольной волны преобразуется в мощность сдвиговой волны. Для отраженной сдвиговой волны при падении продольной волны коэффициент трансформации ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) пад отр пад отр 2 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 l t l t tl V V T V V θ θ = θ θ + θ . (4.20) пад отр пад отр отр l t l t t В случае падения сдвиговой волны вертикальной поляризации на границу воздух – твердое тело коэффициент отражения совпадает с коэффициентом отражения (4.19) t t l l R R = , (4.21) а коэффициент трансформации сдвиговой волны в продольную вычисляется по формуле ( ) ( ) пад отр sin 2 sin 2 t l t t l l T T θ = θ еобразование одного типа волны в другой (падающая продольная женную сдвиговую. Наприме = относительно нормали к границе раздела сред. В акустоэлектронике возбудить сдвиговую волну гораздо слож- (4.22) Приравняв числитель выражения (4.19) нулю, можно определить угол падения, при котором коэффициент отражения продольной волны равен нулю, те. происходит пр акустическая волна переходит в отра- р, для плавленого кварца этот эффект наблюдается, если падающая продольная акустическая волна ориентирована под углом 0 l θ 42 73 нее, чем продольную. На рассмотренном выше эффекте строятся простые преобразователи типов волн (рис. 42 0 25 Продольная волна Сдвиговая волна Рис.4.5. Преобразование продольной волны в поперечную при помо призмы из плавленого кварца Рассмотренный преобразователь является взаимным устройством, те. если сдвиговая волна падает на призму справа под углом щи вание сдвиговой волны в продольную. Внешние грани перпендикулярны входящему и выходящему лучам. Преобразование типов волн возможно и при использовании эффекта полного отражения от границы раздела. При угле падения, равном градусов, коэффициент отражения как продольной, таки сдвиговой волн равен 1. Наблюдается полное отражение. Изв о, что сущ обра тся ра- тры. Скорость распространения акустических волн существенно мен меньше электромагнитной, поэтому все устройства получаются сук внутренней грани, происходит преобразо ыражений для коэффициентов отражения (4.19), (4.21) видн ествует R и такой угол падения, при котором значения l t t щаются в нуль, те. соответствующей отраженной волны небу- дет. Явление расщепления и явление полного отражения акустических волн широко используются в преобразователях типов волн радиоэлектронной аппаратуры, а также для создания акустических волноводов. Поверхностные акустические волны Поверхностные акустические волны широко использую в диотехнике для создания таких устройств, как линии задержки и филь ьше скорости распространения электромагнитных волн той же частоты, соответственно длина акустической волны значительно 74 щественно компактней. До сих пор мы рассматривали только продольные и сдвиговые акустические волны, распространяющиеся во всем пространстве материала. Поверхностные волны отличаются от пространственных тем, что вся их энергия сосредоточена вблизи границ Теория поверх- ност Дж. У. Рэлеем в 1885 г. Он теоретически предсказали доказал возможность расп ы раздела материалов с различными свойствами. ных волн впервые была предложена английским физиком ространения в тонком поверхностном слое твердого тела, граничащего с воздухом, поверхностных акустических волн, которые принято называть рэлеевскими волнами – R волнами. В задаче Рэлея ограничимся постановкой задачи и ее конечными результатами. Имеется плоская граница вакуум – изотропная твердая среда. Граница раздела совпадает с плоскостью xoy , ось z направлена вглубь твердой среды. x y z Вакуум Твердое тело - волна Рис.4.6. Образование поверхностной волны Рэлея на границе твердого тела с вакуумом Исходными для решения задачи являются волновые уравнение для вектора смещения частиц сред вердо отела ы т г) При решении используется граничное условие, состоящее в том, что на границе с вакуумом напряжения должны отсутствовать. 2 2 2 2 0, 0. l l l t t t u k u u k u ∇ + = ∇ + = r r r r 0 iz T = для z Решение ищется в виде плоских гармонически волн, бегущих вдоль я поверхно й волны ицы твердого тела с ваку м координаты . , , i x х оси x в твердом полупространстве. С учетом того, что энерги сосредоточена вблизи гран стно умом, амплитуда смещения частиц среды, возмущенной этой волной, должна экспоненциально убывать с росто z 75 Рэлеевская волна представляет собой сложную акустическую волну, образованную совокупностью продол вектора смещения. Решение уравнений (4.23) для смещения частиц в пове ьных и сдвиговых компонентов рхностной волне Рэлея получается в следующем виде ( ) ( ) 2 2 2 R j t k x q z s e z x R q s u A e e k s ω − − − ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ + & , (4.24) ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2 2 2 2 R j t k x q z s z R z R R jq k u A e e e k k s ω − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ & , (4.25) 0 = y u& , (4.2 ) где параметры 6 2 2 R l q k k = − и 2 2 R t s k k = − зависят от волновых чисел l l k V ω = , t t k V ω R R k V ω = , = – скорость распространения продольной поверхностной волны в рассматриваемой среде. Из приведенных решений) четко виден экспоненциальный закон убывания амплитуды смещений при удалении точки наблюдения гра внутрь твердого тела (рис. Толщина локализации волны Рэлея составляет 1–2 длины волны, сдвиговой и , , l t R V V от ницы R λ . На глубине R λ плотность энергии в волне составляет примерно 5% плотности у поверхности. Экспоненциальное убывание амплитуды поверхностной волны от границы Рис.4.7. Зависимость амплитуды поверхностной волны вблизи границы раздела сред Вследствие сдвига фазы олебаний нор льной компоненты смещения z u относительно продольной составляющей Вакуум Твердое телок маixiiui на четверть периода (наличие множителя j у компоненты в формуле (4.25)), движение частиц среды происходит по эллиптической траектории. Большая ось эллипса перпендикулярна поверхности твердого тела, а малая – параллельна направлению распространения волны. Скорость распространения поверхностной волны находится из решения дисперсионного уравнения Рэлея 4 2 2 2 8 8 3 2 16 1 0 t t l t l V V V V V R R t R t V V V V V ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − + − − − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ , (4.27) где V t , l V и R V – скорости сдвиговой, продольной и поверхностной волн Это уравнение имеет действительный корень – корень Рэлея, который приближенно можно представить в следующем виде 0,875 1,125 1 R t V V + σ ≈ + σ (4.28) При изменении коэффициента Пуассона примерно 0,05 σ фазовая скорость поверхностной волны Рэлея R V изменяется от до 0,958 . Скорость t V t V R V зависит только упругих свойств твердого тела и не зависит от частоты, те. рэлеевская волна дает дисперсией. Скорость поверхностной волны существенн ше скорости продольной волны и немного меньше скорости сдвиговой ы многих отношениях аналогична поперечной волне. Так, если шероховатость поверхности или воздушная нагр дающего влияния, то затухание волны Рэлея в большинстве материалов т с волн лежаще твердо ол от не обла- о мень- волн . Поскольку скорость волны Рэлея близка к скорости поперечной волны и большая часть ее упругой энергии в среде связана с компонентами поперечной, а не продольной волны, волна Рэлея во узка не оказывают преобла- того же порядка, что и затухание сдвиговой волны. Кроме R волн существует целый ряд других ипов поверхно т- ных акустических (ПАВ поверхностные волны в твердом слоем нам упругом п упространстве (волны Лява), волны в пластинках (волны Лэмба), волны на искривленных твердых поверхностях, клиновые волны и т.д. Впервые на поверхностные волны обратили внимание при анализе сейсмических колебаний. Наблюдатель обычно регистрирует 3 сигнала, приходящих от эпицентра земных толчков. Первым приходит сигнал, переносимый продольной акустической волной, как самой быстрой. Второй сигнал приносит волна сдвиговая. Источником третьего сигнала является поверхностная волна (рис. Показания сейсмографа Источник колебаний Продольная акустическая волна Сдвиговая волна Поверхностная волна Регистрирующее устройство Рис. 4.8. Распространение продольных, сдвиговых и поверхностных волн, вызванных колебаниями земной коры Энергия поверхностной акустической волны сосредоточена в тонком приповерхностном слое порядка 1–2 длин волн. Широту применения поверхностных акустических волн в радиотехнике обусловили их малое затухание, небольшая скорость распространения, отсутствие зависимости постоянной распространения от частоты (отсутствие дисперсии) и простота их возбуждения в широком частотном диапазоне. Некоторые конструкции устройств на ПАВ рассмотрены в следующем разделе. |