Министерство образования и науки российской федерации гоу впо уральский государственный технический университет
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
Задача Коэффициент отражения для жидких сред 2 1 cos cos Z 1 2 cos cos Z Z R p Z θ − ψ = ψ + θ , где 1 Z – акустическое сопротивление воды 2 Z – акустическое сопротивление ртути. Направления падающего и прошедшег лучей связаны отношением о 2 1 sin l V sin V l ψ = θ , или ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 cos 1 sin 1 sin 1 l l l l V V V V ⎛ ⎞ ⎛ ψ = − ψ = − θ = − θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 cos ⎞ − ⎟ 121 Акустическое сопротивление жидких сред V Z 0 a l = ρ , скорость распространения акустической волн сти ы в жидко 1 l V = χρ , где – коэффициент сжимаемости и χ 0 ρ – плотность опре удельная деляются из Прил. Для воды воды 9 3 1 1458 0,47 10 10 l l V V − = = = ⋅ ⋅ мс, 3 воды 1458 1,46 10 a Z Z = ⋅ = ⋅ = кг/(м 2. с). Для ртути ртути 3 1 1396 0,038 10 13,5 10 l l V V − = = = ⋅ ⋅ ⋅ мс, кг/(м 2. с). Ответ. После вычисления на компьютере получены следующие зави остри ице вода – ртуть от угла падения. 3 ртути 10 1396 1,88 сими модулей коэффициентов отражения ( си прохождения (рис) на гран 122 20 40 60 80 0.6 0.8 1 0.2 Рис. Зависимость коэффициента отражения по акустическому давлению волны, падающей из воды на гра тью ницу с рту 40 60 80 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 Рис. Зависимость коэффициента прохождения по акустическому давлению волны, падающей из воды на границу с ртутью Из рис видно, что при угле падения 88,5 град, коэффициент отражения равен нулю и имеет место эффект полного прохождения. Задача 3.5 123 Коэффициент отражения по акустическому давлению от границы раздела двух сред 2 1 1 2 cos cos cos cos p Z Z R Z Z θ − ψ = ψ +Если падающий угол, то o 90 θ → 1 1 0 cos 1 cos 0 p Z R Z − ψ = = − ψ +гран раве –1. Задача 3.6 Критический угол полного отражения Ответ. Коэффициент отражения по акустическому давлению от ицы раздела двух сред при угле падения, стремящемся к 90 град. н 1 кр 2 arcsin l l V V θ = , где – скорость распространения акустической волны вводе скорость распространения акустической волны ванилине кр 1659 θ = = град. Ой во ж- но .3. Ответы и решения задач, приведенных в главе 4 твет. В диапазоне углов падения от 63 до 90 град. прошедше вторую среду волны не будет и границу воздуха с анилином мо рассматривать как полностью отражающую. 7 124 Задача 4.1 ространения продольной упругой волны в металлическом стержне рассчитывается по формуле, мс, Скорость расп 0 l E V = ρ , где E модуль продол руго 10 7,1 10 E = ⋅ ьной уп сти (модуль Юнга. Из Прил. 2 для нм = Па, алюминия 0 3 2,71 10 ρ = ⋅ кг/м 3 10 3 3 7,1 10 5,12 10 2,71 мс. Время пробега акустической волной стержня длиной 3 м 3 3 L 0,59 5,1 10 l t V = = = ⋅ мс. твет. Поскольку скорость распространения акустической волны стержня длиной 3 м для обеих частот составит 0,59 мс. Задача 4.2 В среде алюминия скорость распространения продольной акусти- ческ О от частоты не зависит, время пробега ой волны ( ) ( )( ) 0 1 l E V − σ = 1 1 2 ρ + σ − σ , де г – модуль продольной упругости (модуль Юнга – коэффициент Пуассона – плотность. Из Прил для алюминия σ 0 ρ 10 7,1 10 ⋅ Нм = Па, 0,34 σ = , 0 3 2,71 10 ρ = ⋅ кг/м 3 E = 125 ( ) ( )( ) 3 10 10 23 , 6 33 , 0 1 10 1 , 7 ⋅ = − ⋅ ⋅ = l V мс. 3 33 , 0 2 1 33 , 0 1 10 Скорость распространения сдвиговой волны 0 t V µ = ρ , где – модуль сдвиг Из Прил 10 2,6 10 µ = ⋅ Па µ а 3 10 10 10 , 3 10 71 , 2 10 6 , 2 ⋅ = ⋅ ⋅ = t V мс. Ответ Скорость распространения продольной упругой волны в алюминии равна 6,23 км/с, сдвиговой – 3,1 км продольной волны в изотропном твердом еле с. Задача 4.3 корость распространения Ст, де г – модуль продольной упругости (модуль Юнга – коэфф и Н = Па, σ иц ент Пуассона 0 ρ – плотность. Из Прил для плавленого кварцам кг/м 3 ( ) ( )( ) 3 3 10 10 93 , 5 17 , 0 2 1 17 , 0 1 10 2 , 2 17 , 0 1 10 2 , 7 ⋅ = ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = l V мс. вол Длина продольной ны 3 4 93 0 6 5, 10 1,98 1 30 10 l V f − ⋅ = = ⋅ λ = ⋅ м. 126 Если считать, что упругая продольная волна распространяется вдоль оси , то деформация связана со смещением част еды вдоль этой оси выражением x иц ср x u x S xx ∂ ∂ = Для гармонической волны смещение ( ) 0 mx u x x u j kx e − = ⋅ ⋅ r r & , де г - постоянная распространения, 4 4 2 2 3,14 3,17 10 1,98 10 k − π ⋅ = = = ⋅ λ ⋅ м , тогда ( ) j k x mx j k x xx mx u e j k u e S x − − ∂ = = − ∂ ещения частиц среды мплитуда см А xx xx j k x S S mx u e j Здесь - деформациям. Амп ательной ск дл еской в литуда колеб орости я гармонич олны 6 6 14 2 2 3,14 30 10 3,2 10 6 10 mx mx mx v u f u − − = ω = π = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ мс. Интенсивность акустической волны ( ) 0 2 0,5 2 ср m l J v V 2 6 3 7 1 6 10 5,93 10 1 10 − − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ Вт/м 2 Ответ. Скорость распространения акустической волны 5,93 10 мс, длина волны 1,98 10 -4 м, амплитуда смещения частиц среды = ρ = ⋅ 127 3,2 ь Задача 4.4 Акустическое сопротивление воздуха 439 a l Z V = ρ = ⋅ = кг/(м 2. с). ст 4,4 10 a l Z V = ρ = ⋅ ⋅ ⋅ кг/(м 2. с). ициент отражения при падении акустической волны из воздуха на поверхность сапфирам, амплитуда колебательной скорости 6 10 -6 мс, средняя ин- тенсивност 1 10 -7 Вт/м 2 воздуха воздуха воздуха 1,29 Аку ическое сопротивление сапфира сапфира сапфира сапфира 10 3,97 10 ⋅ = Коэфф 7 сапфира воздуха 7 сапфира воздуха 10 439 0,99998 4,4 10 Ответ Коэффициент отражения акустической волны при падении по нормали из воздуха на поверхность сапфира составляет 0,99998. Задача 4.5 ой соотношением Углы падения, отражения и преломления связаны между соб пад отр t t V V V отр пр пад отр отр пр sin sin sin При заданной поляризации акустической волны молю- даться эффект расщепления отраженной волны, распространяющейся вал жет наб юминии, на продольную и сдвиговую. Скорость распространения продольной волны больше скорости распространения сдвиговой волны, поэтому угол отражения продольной волны будет больше угла падения. Расчет скорости распространения продольной и сдвиговой волн в алюминии приведен в решении задачи 4.2: 3 отр 6,23 10 l Al l V V = = ⋅ мс, 10 3 отр 3,10 t Al t V V = = ⋅ мс. Скорость распространения акустической волны в в дачу 2.11) оде (см. заводы пр 3 1 1 1458 0,47 10 10 l l V V − = = = = χ ⋅ρ ⋅ ⋅ мс. Угол отражения сдвиговой волны равен углу падения Угол отражения продольной волны пад 10 t θ = θ = град. отр пад 3 отр отр 3 пад sin sin10 arcsin arcsin 6,23 10 20,4 3,1 град. гол У преломленной вводу волны o 3 пр l пр 3 пад sin пад sin10 arcsin arcsin 1,458 10 4,7 3,1 Ответ При падении сдвиговой волны вертикальной поляризации под углом 10 град из алюминия на поверхность воды отраженная сдвиговая волна в алюминии пойдет под тем же углом 10 град, появится отраженная под углом 20,4 град продольная волна в алюминии. Про град. шедшая вводу акустическая волна пойдет под углом 4,7 град относительно нормали к границе. 129 Задача 4.6 Скорость поверхностной волны Рэлея рассчитывается по формуле+ где t V = ρ – скорость сдвиговой волны в плавленом кварце µ µ – модуль сдвига – удельная плотность материала 0 ρ σ – коэффициент Пуассона (Прил. 4 2 10 2 , 1 10 2 , 2 ⋅ = ⋅ = t V мс, 10 10 1 , 3 ⋅ 4 4 10 09 , 1 10 2 , 1 17 , 0 1 17 , 0 125 , 1 875 , 0 125 , 1 875 , 0 мс. Время пробега поверхностно ной отрезка 10 мм й вол 4 10 09 , 1 2 10 92 , 0 10 − − ⋅ = S с. Ответ. Время прохождения поверхностной волной Рэлея отрезка мм на границе плавленый кварц – воздух составляет 0,92 мкс. Задача 4.7 Критический угол падения продольной волны, при котором в сапфире распространяется только сдвиговая волна, определяется из формулы 130 крене скорость распространения продольной волны в сапфире где 1 l V – скорость распространения продольной волны в поли- этил кр 2 arcsin arcsin 10,12 11100 l V = = град. Критически угол падения, при котором при падении продольной волны в сапфире п 1950 l V θ = й ерестает распространяться объемная сдвиговая волна, определяется из формулы кр 2 sin l t V V θ = , де г – скорость распространения сдвиговой волны в сапфире. кр 2 1950 arcsin arcsin 18,8 6040 l t V V θ = = = град. . В диапазоне углов падения менее 10,12 град в сапфире распространяются продольная и сдвиговая волны. В углов падения от 10,12 до 18,8 град в сапфире распространяется только сдвиговая волна. При углах падения от 18,8 до 90 град относительно норм. Ответы и решения задач, приведенных в главе 5 ь Ответ диапазоне али к границе полиэтилена с сапфиром поверхность сапфира можно рассматривать как полностью отражающую. Задача 5.1 Интенсивност сферической волны в воздухе от пульсирующей сферы малого радиуса рассчитывается по формуле (5.10): ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 2 2 1 1 Re 2 2 1 r l a k a a J V v p v r k a ∗ ⎛ ⎞ = = ρ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + & 131 Излучаемая мощность определяется интегрированием плотности потока энергии акустической волны по сфере, окружающей источник s P J С учетом того, что амплитуда акустической волны от пульсирую ей сферы от угла не зависит, щ ) 2 4 P J r r = π . тсюда О ) 3 2 2 5 4 10 4 4 3,14 10 P J r r − = = = ⋅ π ⋅ ⋅ Вт/м 2 Для других расстояний ( ) 4 10 6 , 1 50 − ⋅ = J Вт/м 2 , 4 Ответ Интенсивность акустической волны на расстояниях от пульсирующей сферы 10, 50, 100 им составляет соответственно адача 5.2 ощность, излученная пульсирующей сферой ( ) 5 10 0 − ⋅ = Вт/м 2 , ( ) 6 10 6 , 1 500 − ⋅ = J Вт/м 2 3 10 4 − , 4 10 6 , 1 − ⋅ , 5 10 4 − ⋅ и 6 10 6 , 1 − ⋅ Вт/м 2 ⋅ З М ( ) ( ) 0 0 4 2 3 k a = πρ ξ 2 2 1 l P V k a + , 132 где 0 ρ – удельная плотность среды l V – скорость распространения акустической волны в среде 0 ξ – амплитуда смещения поверхности колеблющейся сферы – в состоянии покоя радиус сферы – постоянная распространения 2 l l f k V V ω π = = распространения акустической волны в воздухе 330 мс см, вводе мс (см. задачу 2.6). Тогда постоянная распространения Скорость задачу воздух 3,14 100 1,9 330 k ⋅ ⋅ = = м, водам злучаемая мощность Изд во ух 2 3,1 3 10 − − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ − Вт, ( ) ( ) ( ) 4 2 2 3 3 вода 2 0,42 10 2 3,14 10 1485 10 0,64 1 0,42 10 P − − − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ Вт. чаемая мощность для воздуха равна Вт, для поверхностной волны Рэлея Ответ. Излу оды – 0,64 Вт 10 15 , 1 − ⋅ в Задача 5.3 2 k π λ Длина, R k V ω = , 133 где k – постоянная распространения – скорость распространения поверхностной волны Рэлея Следовательно, V ; 3 4 6 2 2 3,3 10 1,1 10 2 30 10 R R V V k f f − π π ⋅ λ = = = = = ⋅ π ⋅ м. Период следования пар стержней равен длине поверхностной волны Рэлея ПАВ 10 S − = λ = ⋅ м. Если, например, считать, что ширина планарного металлизированного стержня на подложке равна зазору между стержнями, то расстояние между соседними стержнями должно быть 5 4 10 75 , 2 4 10 1 , 1 м. твет. Период стержневой структуры равен 110 мкм, расстояние условии равенства ширины стержня и зазора МГц составляет 27,5 мкм. 7.5. Ответы и решения задач, приведенных в главе 6 Задача 6.1 Уровень интенсивности относительно стандартного О между стержнями при между ними на частоте 10lg ст J где J L = , J – уровень интенсивности звука, Вт/м 2 ; – интенсив- ност о стандартного нулевого уровня, Вт/м 2 , соответствующего порогу слышимости. Следовательно, с учетом того, что J ст J ь относительн 12 10 − = Вт/м 2 , интенсивность звука ст 12 10 ст 10 10 1 L J J − = ⋅ = ⋅ = Вт/м 2 н л инте сивности звука в гармонической воне, где – амплитуда звукового давления, Па, – удельная плот здухе, мс am p 0 ρ ность воздуха, кг/м 3 ; a V – скорость распространения акустической волны в во 2 2 1 1,29 340 = 29,6 am a p J V = ρ = ⋅ ⋅ ⋅ Па. Мощность акустической волны, проходящей через площадь S : 4 4 1 4 10 4 10 P J S − − = = ⋅ ⋅ = ⋅ Вт. давление Ответ. Звуковое давление на заданной интенсивности равно Па, мощность звука, попадающего в ухо человека, 4 10 4 − ⋅ Вт. Задача 6.2 3 10 2 − ⋅ Акустическое Па на частоте 1 кГц соответствует уровню 40 фон (см. рис. На частоте 1 кГц абсолютный уров графику 40 фон ен громкости примерно 85 дБ. Следовательно, акустическая система должна излучать мощность на 85 – 40 = 35 дБ больше. громкости ень акустической громкости 40 дБ. На частоте 20 Гц соответствует абсолютный уров ь акустической Ответ. Акустическая система должна излучать на 35 дБ больший уровень мощности. 135 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Элемен векторного анализа ты Если в каждой точке пространства M ставится тветствие скалярная величина , то говорят о скалярном поле в соо ψ ( ) M ψ , например имеет декартовы координаты (x, y, z), скалярное по ожно записать в виде Поле акустических волн является скалярным по- лем. сли в каждой точке пространства M ставится в соответствие вектор поле давлений или поле упругих напряжений. Если точка М ле м, , x y z ψ = Наглядно скалярное поле можно изобразить с помощью поверхностей равного уровня. Е ) M A r , то говорят о векторном поле. Например, электрическое поле рный характер. торное поле можно изобразить с помощью силовых линий. ортог имеет векто Наглядно век Представление вектора в ональной системе координат 3 03 2 02 А r r r + + = , где i A – проекция вектора A r на координатные оси i q ; 0 i qr – орты вдоль координатных осей i q . калярное произведение векторов A r и С ) , cos A B A B A B ⋅ = = α r r r r r r , где угол между векторами и B r декартовой системе координат В x y y z z A B A B A B A B ⋅ = + + r r , де А, B x , A y , B y , A z , B z – проекции векторов г и на оси x, y, z екторное произведение векторов A r и В B A B n A B ⎡ ⎤ × = = α ⎣ ⎦ r r r r r r in r , где – угол между векторами A r и B r ; α – единичный вектор нормали к плоскости векторов A r и B r , причём A r , и B r nr образуют правую тройку векторов. 136 В декартовой системе координат 0 0 0 x y z x y z x y z A B A A A B B B × = r r r r r , где 0 0 0 , , x y z r r r – орты декартовой системы координат Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов , , A B C r r r , , , A B C B C A B ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ r r r r r r r Двойное векторное произведение векторов , , A B C r r r ( ) ( ) , , , , A B C B A C C A Уравнение поверхностей равного уровня ⎣ ⎦ r r r r r r r r ( ) 1 2 3 , , , const q q У внение силовых линий ра 1 1 2 2 3 3 1 2 h dq h dq h dq 3 A A A = = , рдинатных систем 1. Декартова система координат где i h – коэффициенты Лямэ. Коэффициенты Лямэ для трёх коо 1 2 3 10 0 20 0 30 0 , , , , , q x q y q z q x q y q z = = = = = = r r r r r r , ; стема координат 0 z = = ϕ = = = ϕ = 1 x y z h h h = = = 2. Цилиндрическая си 2 3 10 0 20 0 30 , , , , , q r q q z q r q q r r r r r , 0 = ϕ r 1, , 1 r z h h r h ϕ = = = ; 3. Сферическая система координат 1 2 3 10 0 20 0 30 , , , , , q r q q q r q q = θ = ϕ = = θ r r r r r r , = 1, , sin r h h r h r θ ϕ = = = θ 137 A r через поверхность S Поток векторного поля dS = ∫ ∫ r r , где и – единичный вектор внешней нормали к пло- щад ; A n – проекция вектора ndS = r r nr ке dS A r nr на нормаль . Дивергенция (или расходимость) векторного поля A r ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 div 3 1 A h h A h h A h h q ∂ ∂ ∂ A A h h h q q ⎡ ⎤ + = ∇ = + ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ r Теорема Гаусса-Остроградского: div V S AdV Ads = ∫ ∫ r r r , где замкнутая поверхность S охватывает объем V. Циркуляция вектора A r вдоль замкнутого контура l. l l Adl A dl τ = ∫ ∫ r r , где d l = τr и τ r – единичный l вектор, касательный к контуру направление обхода правовинтовое. Ротор (или вихрь) векторного поля 10 20 30 2 3 1 3 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 rot q q q h h h h h h A q q q h A h A h A 3 ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ r r r рема Стокса rot Ad s Adl = ∫ ∫ r Тео s l r r r r , где поверхность S опирается на замкнутый контур l. Градиент от скалярной функции 138 10 20 30 1 1 2 2 3 3 1 1 1 grad q q q h q h q h q ∂ψ ∂ψ ψ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ r r r (оператор Гамильтона) Дифференциальный оператор – набла ∇ 10 20 30 1 1 2 2 3 3 h q h q h q 1 1 1 q q q ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ r Дифференциальные операции с использованием оператора набла ∇ grad ψ = ∇ψ , ( ) div , A A = ∇ r r , rot , A A ⎡ ⎤ = ∇ ⎣ ⎦ r Скалярное произведение ( ) 2 , ∇ ∇ = ∇ – оператор Лапласа. 2 grad div rot rot A A A ∇ = − r r r , 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 div grad 1 h h h h h h h h h ∇ ψ = ∆ψ = ψ = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ = + + ⎢ ⎥ 1 1 2 2 2 3 3 за Некоторые формулы векторного анали div rot 0 A = r , , rot grad 0 ψ = 2 rot rot grad div A A A = − ∇ r r r , div , rot rot A B B A A ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ B r r r r r r , ( ) grad div div A A A ψ + ψ = ψ r r r источников, тес нулевой дивергенцией, называется соленоидальным. Векторное поле Векторное поле без, для которого во всех точках удовлетворяется условие rot 0 A = r , называется потенциальным 139 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Акустические свойства некоторых сред Веще- Плот ность кг/дм Модуль упругости Е 10 Н/м 2 Модуль сдвига, Твердые вещества ство ρ, Юнга, -10 µ ⋅ 10 -10 Н/м Коэф- фициент σ Пуассона Алюминий 2,71 7,1 2,6 0,33 Мед 8,90 12,3 4,55 0,35 ь Свин 1,6 0,44 ец 11,34 0,57 Сталь 7,70 20,6 8,0 0,29 Бериллий 1,85 30,0 14,5 0,03 Лед 0,90 10,1 4,0 - Плавленый кварц 2,2 7,2 3,1 0,17 Полиэтилен 0,92 0,020 - - Фторопласт Пенопласт 0,1 0,005 - - Жидкие вещества Вещество Удельная плотность ρ, кг/дм 3 Коэффи- циент сжимаемости, 1/ГПа Коэффициент сдвиговой вязкости η, мПа С при 20 С) Вода 1,0 0,47 1,002 Ацетон 0,8 1,27 0,322 Глиц рин 1,26 1480 е Ртуть 13,5 0,038 1,554 140 Газообразные вещества Вещество Плотность С, а) кг/м 3 ва як ка- затель Коэффициент сдвиговой вязкости 10 η Газо- По я посто- нная R, Дж/(кг К) Адиабаты С, 1,3 кПа) , мПа С (0 101,3 кП ρ, Воздух ,29 1 0,0182 1 287 ,40 Азот 1,25 1,40 0,0175 Водород 0,09 1,41 0,0088 4125 Гелий 8 1 0,0196 0,1 2078 ,66 |