Министерство образования и науки российской федерации гоу впо уральский государственный технический университет

• Название: Министерство образования и науки российской федерации гоу впо уральский государственный технический университет
• Анкор: ustu039.pdf
• Дата: 20.01.2018
• Размер: 1.81 Mb.
• Имя файла: ustu039.pdf
• Тип: Документы; #14634
• страница: 2 из 10

1.7. Волновые явления Акустические и электромагнитные волны, распространяющиеся в различных средах и устройствах, подчиняются единым волновым законам. Это явления возбуждения волн конкретными источниками, отражения и преломления волн на границе раздела сред, рассеяние на неоднородностях, рефракция (искривление траектории распространения волн, поглощение энергии, интерференция. Распространение волн любой природы легко понять и объяснить, если обратиться к принципу Гюйгенса каждая точка среды, вовлеченная в волновое движение, становится источником новой волны, называемой элементарной волной. Наблюдаемый волновой фронт представляет собой результат сложения множества элементарных волн (рис. Принцип Гюйгенса справедлив для всех видов волн, в том числе для акустических и электромагнитных.
14

t=t
0
+∆t
Рис. Положение фронта волны в разные моменты времени, определяемое на основе принципа Гюйгенса Направление распространения волны обычно называют лучом. Волновой фронт перпендикулярен лучу. У цилиндрических и сферических волн, распространяющихся от источника возбуждения, лучи направлены радиально, а волновые фронты представляют собой соответственно цилиндры или сферы (риса. В случае плоского или удаленного источника возникают плоские волны. В них лучи параллельны, а волновые фронты представляют собой плоскости рис, б. Если на пути распространения волны встречается граница со средой, свойства которой отличаются от свойств среды распространения, наблюдается эффект частичного или полного отражения, а также частичного (а в некоторых случаях и полного) прохождения во вторую среду. Поскольку фронт волны перпендикулярен направлению распространения волны в однородной среде, то из простых геометрических построений доказывается равенство углов падения и отражения волн (рис. Однако в отличие от электромагнитных волн для акустических в ряде случаев может наблюдаться эффект расщепления волн и появление волнового луча, отраженного под другим углом (см. разд. 4.3). Направление распространения преломленных волн зависит от соотношения скорости распространения волн впервой и второй средах (рис. Анализ поведения волн на границе раздела сред легко выполнить на основе применения принципа Гюйгенса и рассмотрения элементарных волн, возбуждаемых на границе.
15

Лучи Волновые фронты Волновые фронты
Лучи а б Рис. Волновые фронты и лучи в радиально распространяющейся волне (аи плоской волне (б) Фронт отраженной волны
Фронт падающей волны Рис. Отражение плоской волны на границе раздела сред Если свойства среды, влияющие на скорость распространения волны, меняются, то может наблюдаться такое явление, как рефракция. Рефракцией называется искривление траектории распространения волны в неоднородной среде.
16

Фронт падающей волны Фронт прошедшей волны Рис. Преломление плоской волны на границе раздела сред Если на пути распространения волны встречается какое-либо тело, то это приводит к нарушению структуры поля. Например, наблюдается эффект огибания волнами препятствия. В физике подобное явление называют дифракцией. Возникающая при этом картина поля существенно зависит от соотношения размеров препятствий и длины волны. На рис показано, как меняется структура поля плоской волны, просачивающейся через отверстие малых размеров. В ряде случаев анализ дифрагированного поля можно вновь выполнить на основе рассмотрения элементарных волн и принципа Гюйгенса. Рис. Дифракция плоской волны на отверстии малых размеров Возникновение дополнительных акустических или электромагнитных полей в результате дифракции соответствующих волн на препятствиях, помещенных в среду, на неоднородностях среды, а
17

также на неровных и неоднородных границах сред, называется рассеянием волн. При рассеянии результирующее поле можно представить в виде суммы первичной волны, существовавшей в отсутствие препятствий, и рассеянной (вторичной) волны, возникшей в результате взаимодействия первичной волны с препятствиями. Если препятствий много, то общая картина поля образуется суммированием повторно и многократно рассеянных волн. Еще одно важное понятие, используемое в теории волновых процессов интерференция волн. Интерференцией волн называется сложение в пространстве двух или нескольких волн, при котором в разных точках пространства получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Интерференция наблюдается у волн любой природы, в том числе у акустических и электромагнитных. Рис. Интерференционная картина сложения волн двух источников Впервой части настоящего пособия основное внимание уделено акустическим волнам. Теория акустических волн даётся в рамках линейной акустики, те. акустики малых амплитуд изменения физических величин. Отмечены особенности распространения акустических волн по сравнению с электромагнитными волнами.
18

Глава 2. Продольные акустические волны в неограниченной среде Основные величины акустического поля Акустические волны могут распространяться в любых средах, кроме вакуума. Отсутствие акустических волн в вакууме объясняется отсутствием давления среды. Жидкие и газообразные среды обладают упругостью объема. В отличие от твердых сред они не имеют формы и, следовательно, не обладают упругостью формы. Жидкости и газы расширяются или сжимаются только в направлении распространения возмущения (волны, и колебания частиц среды происходит вдоль этого направления. Упругая волна в этих средах представляет собой продольную волну с чередующимися областями сжатия и разрежения среды. Твердые тела под действием механических сил изменяют свои размеры и форму. Возможны различные деформации твердых тел – сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб и кручение. Однако в теории упругости доказывается, что все виды деформаций могут быть сведены лишь к двум продольной (растяжение-сжатие) и сдвиговой деформации. Акустическая волна в твердой среде представляет собой комбинацию продольной и поперечной (сдвиговой) волн. Анализ таких волн достаточно сложный ив краткой форме будет дан в разделе об упругих волнах в твердых телах. В частных случаях, например в монокристаллах, при распространении акустической волны вдоль осей кристалла наблюдаются либо продольная, либо поперечная волны. Это позволяет рассмотреть распространение продольных волн ив твердых средах уже в этой главе. Рассмотрим распространение продольных волн в жидких и газообразных средах, а также распространение продольных волн в твердых телах при отсутствии сдвиговых волн. Считаем, что объем среды неограничен, а также на начальном этапе трением частиц среды (акустическими потерями) пренебрегаем. Наличие областей сжатия и разрежения среды приводит к тому, что давление и плотность в каждой точке будут меняться согласно волновому процессу. Переменные давление и плотность среды представим в виде
0 0
,
,
a
a
p
p
p
=
+
ρ = ρ + ρ
19

где
– постоянные равновесные давления и плотность (вот- сутствие волны
0
,
p
ρ
0 0
,
p
ρ – мгновенные давление и плотность, которые в моменты сжатия среды больше
, в моменты разряжения меньше
0
,
p
ρ
0 0
,
p
ρ ;
,
a
p
ρ
a
– переменные давление и плотность самой акустической волны. Полагаем, что амплитуда возмущений мала и выполняется условие
0 0
,
a
a
p
p
<<
ρ << Акустическое давление
– давление, дополнительно возникающее в газообразной или жидкой среде при прохождении через нее акустических волн. В звуковом диапазоне на частоте
a
p
f
= 1 кГц (ухо человека весьма чувствительно к этой частоте) амплитуда акустического давления на пороге слышимости уха (слабый звук)
5 2 10 Па ⋅
2
Н
1Па м. На той же частоте
f
= 1 кГц на пороге болевого ощущения (сильный звук) амплитуда акустического давления Па. В системах акустической связи и вещания имеют дело с акустическим давлением, амплитуда которого, по крайней мере, в тысячу раз меньше, чем нормальное атмосферное давление. Ввиду того, что давление неодинаково в соседних точках среды, ее частицы стремятся сместиться в сторону меньшего давления, и возникает колебательное движение частиц около своего положения равновесия. Колебательную скорость частиц представим в виде
dt
du
v
=
, где – смещение колеблющейся частицы относительно положения равновесия. Колебательная скорость частиц значительно меньше скорости распространения акустической волны. На частоте равной
f
=1 кГц, при амплитуде акустического давления
300 Па (порог болевого ощущения) амплитуда колебательной скорости в воздухе
73
m
см
v
с
=
, а смещение
0,01 см 20

Отношение скорости частиц к скорости волны называется акустическим числом Маха ак
m
a
v
M
V
=
, где
– скорость акустической волны. Скорость продольной акустической волны будем обозначать как
. Акустическое число Маха всегда меньше единицы. При скорости звука в воздухе при температуре 18
°C и колебательной скорости
a
V
l
V
342 м/с
l
V
=
см
73 с имеем
, те. малую величину даже при таком сильном звуке. ак
0,021
М
≈
Три величины – акустические давление и плотность, колебательная скорость, изменяясь во времени ив пространстве, определяют волновой процесс в упругих жидких и газообразных средах. Уравнения акустического поля Рассмотренные выше акустические величины связаны между собой физическими законами, характеризующими изменение состояния упругой среды при распространении волны. Исходными при этом являются три закона (уравнения) [1]. В рамках линейной акустики ив отсутствие потерь эти уравнения имеют следующий вид. Уравнение движения частиц сплошной среды – второй закон Ньютона для элемента упругой деформированной среды
0 1
grad
0
a
v
p
t
∂
+
∂
ρ
r
= .
(2.1) Уравнение непрерывности – закон сохранения массы вещества
0
div 0
a
v
t
∂ρ
+ ρ
∂
r
= .
(2.2) Уравнение состояния – закон упругости Гука при малых деформациях где нм модуль объемной упругости (иногда его называют модулем всестороннего сжатия, малая безразмерная величина имеет смысл деформации и обычно обозначается через S . ыражение
(2.3) является частной записью закона Гука для продольных волн. Отметим уже здесь, что для акустической волны в любой упругой среде малые напряжения (сила, приложенная к единице площади поверхности среды) пропорциональны малым деформациями закон Гука может быть записан следующим образом В S
=
, где
– напряжение, нм упругая постоянная среды, нм деформация. В некоторых твердых средах, например в кристаллах, эти три величины являются тензорами. Об этом пойдет речь в разделе, посвященном особенностям распространения акустических волн в твердых средах. Волновое уравнение Даламбера. Скорость распространения продольной акустической волны Уравнения (2.1)–(2.3) являются исходными при выводе волнового уравнения и определения скорости распространения продольной акустической волны в произвольной среде. Эти уравнения взаимосвязаны. При выделении интересующей нас физической величины, характеризующей волновой процесс, мы приходим к дифференциальным уравнениям второго порядка, называемым волновыми уравнениями Даламбера. Продифференцируем уравнение непрерывности (2.2) повремени) Из закона Гука (2.3) плотность
a
ρ выразим через акустическое давление
a
p
22

0
a
p
a
K
ρ
=
ρ
(2.5) Из уравнения движения (2.1) выделим производную колебательной скорости повремени) Выражения (2.5) и (2.6) подставим в уравнение (2.4) и учтем, что
(см. Прил. В результате получим волновое уравнение Даламбера для акустического давления в виде
2
div grad
a
a
p =
∇ p
0 2
2 2
0
a
a
p
p
K
t
ρ Коэффициент перед второй производной повремени имеет размерность секунда в квадрате на квадратный метр (см) и представляет собой величину, обратную квадрату скорости распространения продольной волны
0
l
K
V
=
ρ
, мс.
2 2
2 2
1 0
a
a
l
p
p
V
t
∂
∇
−
∂
=
(2.7) Аналогично из исходных уравнений (2.1)–(2.3) можно получить волновое уравнение для колебательной скорости. Продифференцируем повремени уравнение (2.1):
0 2
2 1
grad
0
a
p
v
t
t
∂
∂ +
=
∂
ρ
∂
r
(2.8) Из уравнений (2.3) и (2.2) выделим производную
(
0 0
0
div
a
a
p
K
K
v
t
t
∂
∂ρ
=
=
−ρ
∂
∂
ρ
ρ
)
r
(2.9) и подставим ее в (2.8). Учтем, что в продольной волне у вектора колебательной скорости отсутствует вихревая компонента и rot
0
v
=
r
23

Окончательно получаем волновое уравнение Даламбера для колебательной скорости в следующем виде
2 2
2 2
1 0
l
v
v
t
V
∂
−
∇
∂
=
r r
(2.10) Аналогичный вид будет иметь волновое уравнение и для возмущенной акустической плотности
2 2
2 2
1 0
a
a
l
t
V
ρ
∂
−
ρ
∇
∂
=
(2.11) Волновые уравнения (2.7), (2.10), (2.11) представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка, решением которых являются произвольные функции вида
l
r
f t
V
⎛
⎞
±
⎜
⎟
⎝
⎠
, где нижний знак соответствует волне, бегущей вдоль оси , а верхний знак – волне, бегущей в противоположном направлении. Выбор знака определяется расположением источника акустических волн относительно точки наблюдения. При выводе волновых уравнений, был сделан ряд допущений, к числу которых относятся малые изменения физических величин возмущенной волновым процессом среды, неподвижность среды, безвихревой характер движения частиц среды. Поскольку физические величины , и
, характеризующие волновой процесс, связаны между собой уравнениями (2.1)-(2.3), то при дальнейшем анализе достаточно работать лишь с двумя волновыми уравнениями (2.7) и
(2.10). При выводе волновых уравнений было получено выражение для расчета скорости распространения продольной акустической волны, зависящей от коэффициента объемной упругости и удельной плотности среды
vr
a
p
a
ρ
0
l
K
V = ρ
(2.12) Это выражение остается справедливыми для расчета скорости продольной волны в твердой среде. Например, при температуре t =
0
°C в воздухе (модуль объемной упругости Па, удельная плотность кг/м
5 10 4
,
1
⋅
=
K
0 1,3
ρ =
3
) скорость звука
l
V
= 331,2 мс вводе Па,
9 10 25
,
2
⋅
=
K
0 1000
ρ =
кг/м
3
) скорость звука
l
V
= 1500 мс а в сапфире (Па,
11 10 92
,
4
⋅
=
K
0 3990
ρ =
кг/м
3
) скорость звука гораздо выше -
l
V
= 11,1 км/с. В жидких средах можно использовать формулу расчета скорости акустических волн через коэффициент сжимаемости жидкости мн ⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
⎥
, являющегося величиной обратной к коэффициенту объемной упругости
K
:
0 1
l
V = χρ
(2.13) В газообразных средах фазовую скорость продольной акустической волны можно рассчитать по формуле
l
RT
V = γ
,
(2.14) где
p
v
c
c
γ =
– показатель адиабаты – отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме
– газовая постоянная,
p
R Дж кг К
T
– температура среды в кельвинах. Для воздуха при температуре К (
t
= 0
°C) показатель адиабаты
, газовая постоянная
1,4
γ =
К
кг
Дж
287
⋅
=
R
, скорость звука
331,2 м/с
l
V
=
При любой другой температуре t
o
C
, если
C
t
o
273
<<
, скорость акустической волны может быть определена с помощью соотношения
273 1
1 1
331,2 273 273 273 2 273
l
V
RT
t
t
R
γ
+
=
=
=
+
≈ +
γ ⋅
t
, или мс) При увеличении температуры на С скорость звука в воздухе увеличивается на 0,6 мс.
25

С учетом того, что плотность газа
0
ρ
зависит от давления и температуры
0
p
T
0 0
p
R T
ρ =
, выражение (2.14) может быть записано в виде
0 0
l
p
V = γ ρ
(2.14 а) Газы легко деформируемы, модуль объемной упругости
K
мал, и скорость волны в газах заметно меньше, чем в других средах. В расчетные формулы скоростей (2.12) – (2.14) не входит частота, и соответственно продольные волны не обладают дисперсией. Волновое уравнение Гельмгольца. Уравнение плоской акустической волны Для волнового процесса, изменяющегося во времени по гармоническому закону с частотой
ω, используется комплексное представление. Функция времени в этом случае определяется множителем
j t
e
ω
:
(
)
Re
j t
a
a
p
p e
ω
=
&
,
(
)
Re
j t
v
v e
ω
=
r r&
,
(
)
Re
j t
a
a
e
ω
=
ρ
ρ&
. Величины
, , называются комплексными амплитудами. Сами они уже не зависят от времени. Выполнив дифференцирование повременив волновых уравнениях (2.7), (2.10) и сократив
, получим волновые уравнения Гельмгольца для комплексных амплитуд
a
p
&
vr&
a
ρ
&
j t
e
ω
2 2
0
a
a
p
p
k
+
=
∇ &
&
,
(2.16)
2 2
0
v k v
+
=
∇ r r
&
&
,
(2.17) где
l
k
V
ω
=
– постоянная распространения (волновое число,
1
м
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Волновое число позволяет вычислить длину волны в рассматриваемой среде
k
26

2
l
V
k
f
π
λ Решение уравнения Гельмгольца представляет собой бегущую гармоническую волну. Для плоской гармонической волны, распространяющейся, например, вдоль оси , уравнения (2.16), (2.17) принимают вид
z
2 2
2 0
a
a
p
p
k
z
∂
+
=
∂
&
&
,
(2.18)
2 2
2 0
z
z
v
k v
z
∂
+
=
∂
&
&
(2.19) Решение уравнения Гельмгольца представляет собой бегущую гармоническую волну, в данном случае бегущую вдоль оси :
z
( )
j k z
a
am
z
e
p
p
±
=
&
,
( )
j k Выбор знака в показателе экспоненты зависит от взаимного расположения источника колебаний и точки наблюдения. Знак минус соответствует волне, распространяющейся вдоль оси . Знак плюс соответствует волне, бегущей в сторону, противоположную оси . Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси , с учетом гармонической временной зависимости
z
j t
e
ω
выражения, описывающие акустическое поле, могут быть записаны следующим образом
( )
,
j k z
j t
a
am
z t
p
p
e
e
−
ω
=
&
,
(2.20)
( )
,
j k z
j t
z
zm
z t
v
v
e
e
−
ω
=
&
(2.21) В бегущей вдоль оси продольной акустической волне колебательная скорость частиц среды имеет лишь одну составляющую в направлении распространения волны. Смещение частиц среды, как показано в разд. 2.1, связано сколе- бательной скоростью соотношением
du
v
dt
=
27

Для гармонического колебания и акустической волны, бегущей вдоль оси , это соотношение можно переписать следующим образом) Сравнивая между собой выражения (2.21) и (2.22), можно записать связь между амплитудами смещения и колебательной скорости частиц среды
mz
mz
v
u
= ω
(2.23) Наличие мнимой единицы в формуле (2.22) говорит о сдвиге фазы колебания смещения и скорости на 90 градусов, те. момент времени максимума колебательной скорости соответствует нулевому смещению и, наоборот, при максимальном смещении частицы относительно ее положения равновесия колебательная скорость равна нулю. Это легко понять, анализируя выражения, связывающие мгновенные значения (в фиксированный момент времени
t
) колебательной скорости и смещения
( )
(
)
(
)
( )
,
cos cos
90
o
z
mz
mz
z
v z t
v
t k z
u
t k z
u z t
=
ω −
= ω⋅
ω −
+
= Для акустической волны, бегущей в произвольном направлении, заданном осью
ζ
, в декартовой системе координат выражения для давления и колебательной скорости можно записать в виде
(
)
1 2
3
cos cos cos
j k x
y
z
j t
j t
a
am
am
e
e
p
p
p
−
α +
α +
α
e
ω
ω
=
=
&
, (2.24)
0
j k
j t
m
v
e
e
v
−
ζ
ω
= ζ
r
=
r&
(2.25)
(
)
(
)
1 2
3 0
0 0
cos cos cos
1 2
3
cos cos cos
,
jk x
y
z
j t
m
z
e
e
y
v
x
−
α +
α +
α
ω
=
α +
α +
α
r r
r где
0 0
0 0
,
, ,
x y z ζ
r r r r
– орты
i
α – углы между направлением и положительными осями
,
ξ
, ,
x y z
28

Акустический импеданс Вновь рассмотрим акустическую волну, распространяющуюся вдоль оси . Мгновенные значения компонентов акустического поля могут быть получены выделением реальной части из выражений
(2.20), (2.21):
z
( )
(
)
,
cos
a
am
z t
t k z
p
p
=
ω −
,
(2.24)
( )
(
)
0
,
cos
zm
v z t
z v
t k z
=
ω −
r r
(2.25) Из полученных выражений видно, что акустическое давление и колебательная скорость изменяются синфазно. Связь амплитуд колебательной скорости частиц среды и акустического давления может быть определена из уравнения движения частиц (2.1):
0 1
grad
0
a
v
p
t
∂
+
∂
ρ
r
=
(2.26) После дифференцирования повремени выражения (2.25) ивы- числения
0
grad
a
a
p
p
z
z
∂
=
∂
r
(Прил. 1) выражение (2.26) принимает вид
(
)
(
)
0 0
0 1
sin sin
0
m
am
z v
t k z
z
k
t k z
p
−
ω
ω −
+
ω −
=
ρ
r Последнее выражение позволяет определить связь между амплитудами акустического давления и колебательной скорости плоской волны
(
)
0 0
m
l
m
am
p
V
k
ρ ν ω
=
= ρ
ν .
(2.27) Коэффициентом связи является произведение невозмущенной плотности среды и скорости распространения акустической волны в среде, в данном случае скорости продольной акустической волны. Этот коэффициент пропорциональности принято называть акустическим сопротивлением среды для плоской волны. Данный термин связан с аналогией акустических и электрических величин как разных видов колебательных процессов в природе.
29

В теории электромагнитного поля для анализа распространения волн в линиях передачи вводится понятие волнового сопротивления. Это некий коэффициент, равный отношению напряжения и тока волны в линии передачи. Поскольку напряжение в линии имеет размерность вольт Ваток ампер (А, их отношение имеет размерность ом (Ом. По этой причине коэффициент, связывающий эти параметры, получил наименование волновое сопротивление и обозначается. Акустическое сопротивление, или акустический импеданс, – это коэффициент, связывающий между собой акустическое давление и колебательную скорость частиц среды
2 Давление нм н
кг
,
Скорость мс мс мс) Формула (2.28) справедлива как для продольных, таки для сдвиговых акустических волн, распространяющихся в упругой среде, причем не только плоских волн. Если сравнивать между собой уравнения, описывающие распространение волны тока и напряжения в электрической линии передачи, называемые телеграфными уравнениями, и уравнения для бегущей акустической волны (Табл, можно сделать вывод об их очевидной схожести. В курсе "Основы теории электрических цепей" показано, что любую достаточно длинную линию передачи можно представить в виде периодической структуры из последовательно включенных индуктивностей L и параллельно включенных емкостей C рис. С С С С
L
L L
L Рис. 2.1. Эквивалентная схема электрической линии передачи Эти индуктивности и емкости называются погонными, те. относящимися к единице длины линии передачи. Для плоской акустической волны, распространяющейся вдоль оси (выражения (2.20)–(2.21)), и эквивалентных напряжений и токов плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси , можно составить следующую сравнительную таблицу, иллюстрирующую связь акустических и электромагнитных параметров. Таблица 2.1 Связь параметров акустических волн и волн напряжения и тока в линии Для акустических волн Для волн напряжения и тока
( )
( )
0
z
pa
j
v z
z
∂
ωρ
∂
=
&
&
( )
( )
dU z
j L I z
d z
= − ω
&
&
( )
p
v z
a
j
z
K
∂
= ω
∂
&
&
( )
( )
d I z
j C U z
d z
= − ω
&
&
0
k
K
ρ
= ω
LC
β = ω
0
K
Z a = Сравнивая между собой выражения, стоящие в левом и правом столбцах приведенной выше таблицы, можно заметить, что при взаимных заменах,
,
a
U
v
p ↔
↔ I
0
, 1
L
K
C
↔
↔
ρ
уравнения для электромагнитной волны в линии передачи и плоской акустической волны поменяются местами, те. полученные выражения полностью эквивалентны. Таким образом, упругой волне, распространяющейся в среде, можно поставить в соответствие некоторую эквивалентную линию передачи и для решения задач с акустическими волнами широко использовать разработанные алгоритмы и программы анализа распространения волн в электрических цепях. Для плоской продольной волны выражение для расчета акустического сопротивления среды с учетом (2.27) может быть записано следующим образом
0
am
a
l
m
p
V
Z
v
=
= ρ
31

Полученное соотношение остается верными для плоских сдвиговых волн, если в нем скорость распространения продольной волны заменить на скорость распространения сдвиговой волны . При нормальном атмосферном давлении и температуре акустическое сопротивление воздуха
0 20
t
C
=
2
кг
420
м с =
⋅
. В расходящихся сферических и цилиндрических волнах акустическое давление и колебательная скорость частиц среды изменяются несинфазно и акустическое сопротивление становится комплексным e
j
a
a
a
a
j
R
X
Z
Z
ϕ
=
+
=
&
&
, где – сдвиг по фазе между давлением и колебательной скоростью частиц среды . Для сферической волны модуль акустического сопротивления
0 1
cos , tg
l
a
V
Z
k r
=
ϕ
ϕ не превышает акустического сопротивления этой же среды для плоской волны. Для цилиндрической волны
0 1
cos , tg
2
l
a
V
Z
k r
=
ϕ
ϕ Разность фаз
ϕ между давлением и колебательной скоростью в сферических и цилиндрических волнах быстро уменьшается с ростом расстояния
r
и увеличением частоты. В дальней зоне сдвиг фаз
, акустическое сопротивление становится вещественными равным по величине акустическому сопротивлению среды для плоской волны.
(
r
>> λ
)
0
ϕ Уравнение баланса энергии акустической поля. Интенсивность акустической волны Для вывода закона сохранения энергии акустической волны воспользуемся уравнением движения частиц среды (2.1)
32

0 1
grad
0
a
v
p
t
∂
+
∂
ρ
=
r
(2.29) и уравнением закона сохранения массы вещества (2.2)
0
div
0
a
v
t
∂ρ
+ ρ
∂
r =
(2.30) Величину акустической плотности из (2.3) выразим через давление и скорость распространения волны
2
a
a
l
p
V
=
ρ
(2.31) и подставим это значение в уравнение (2.30). Перепишем исходные уравнения (2.29) ив следующем виде
0
grad
0
a
v
p
t
∂
+
ρ
∂
r
=
,
(2.32)
0 2
1
div
0
a
l
p
v
t
V
∂
+
=
∂
ρ
r
(2.33) Умножим скалярно уравнение (2.32) на
vr
, а уравнение (2.33) на Суммируя полученные уравнения, с учетом Прил. 1, получим соотношение) Выражение в квадратных скобках представляет собой энергию акустической волны в единице объема среды, Дж м
0 0
2 2
2 1
1
,
2 2
a
l
p
w
v
V
=
+
ρ
ρ
r
(2.35) Энергия акустической волны состоит из двух видов энергии кинетической и потенциальной. Потенциальная энергия (энергия упругой деформации) определяется максимальным смещением колеблющихся частиц среды относительно положения равновесия и связана с силой, приложенной для перемещения частиц среды. Наглядная модель для данного случая – растянутая или сжатая пружина. Объемная плотность потенциальной энергии вычисляется по формуле, Дж м
0 2
2 1
,
2
a
п
l
p
w
V
=
ρ
Кинетическая энергия запасается в движущихся частицах среды и ее объемная плотность равна, Дж м
0 2
1 к ρ Произведение
, входящее в (2.34), определяет плотность потока энергии акустической волны, переносимую волной за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны. Вектор
a
v
p r
J
r называется вектором
Умова-Пойнтинга:
a
J
v
p
=
r r .
(2.36) С учетом (2.35), (2.36) уравнение (2.34) принимает вид div
0
w
J
t
∂
+
=
∂
r
(2.37) и выражает закон сохранения энергии в дифференциальной форме. Проинтегрируем (2.37) по выделенному объему среды, ограниченному поверхностью . С учетом теоремы Остроградского-Гаусса Прил. 1) для второго слагаемого уравнения (2.37) получим
V
S
V
w dv
0
S
J ds
t
∂
+
=
∂
∫
∫
r r
(2.38) Приведенное выражение представляет собой запись закона сохранения энергии в интегральной форме (закон сохранения энергии для выделенного объема среды. Модуль вектора Умова-Пойнтинга, Вт/м
2
:
a
a
J
J
v
p
p
=
=
=
v
r r
(2.39)
34

называется интенсивностью (силой) звука. Другое название этой величины – плотность потока энергии акустической волны. Для расчета интенсивности акустической волны, изменяющейся во времени по гармоническому закону, воспользуемся комплексным представлением
*
1 1
2 2
j t
j t
a
a
a
p
p e
p e
ω
− ω
=
+
&
,
1 1
2 2
j t
j t
v
v e
v e
ω
∗ − Звездочкой в этих выражениях обозначено комплексное сопряжение. Средняя за период интенсивность звука может быть вычислена следующим образом
( )
*
0 1
1
Re
4 2
T
ср
a
a
J
p v dt
p v
=
=
∫
&
(2.40) Мощность, переносимая акустической волной через поверхность
, охватывающую выделенный объем среды, равна
S
ср
S
P
J Для сферических и цилиндрических волн акустическое давление и колебательная скорость зависят от расстояния от источника до точки наблюдения вследствие расходимости волн, те.
( )
jkr
a
am
p
p
r e
−
=
&
,
( )
jkr
j
am
v v
r e
e
−
− ϕ
=
&
, где – сдвиг по фазе между акустическим давлением и колебательной скоростью. Акустическое давление и колебательная скорость связаны между собой через акустическое сопротивление. Это позволяет получить еще одну полезную формулу
2
ср
( )
1
cos
2
am
a
p
r
J
Z
=
&
ϕ
(2.41)
35

Для плоской звуковой волны, распространяющейся в идеально упругой среде, акустическое сопротивление,
0
l
a
Z
V
= ρ
, сдвиг фаз между давлением и колебательной скоростью
, амплитуда не зависит от расстояния и средняя за период интенсивность
0
ϕ =
0 0
2 2
ср
1 1
2 В акустике звуковых колебаний принято говорить об уровне интенсивности звука, дБ, и характеризовать его как
10 lg
ст
J
L
J
=
относительно стандартного нулевого уровня с интенсивностью
12 2
Вт
10
,
м
ст
J
−
=
. Величина ст получена на частоте кГц для самых слабых звуков (порог слышимости человеческого уха) при акустическом давлении и акустическом сопротивлении воздуха Па 2
5
−
⋅
=
am
p
0 кг мс Относительный уровень интенсивности, дБ, в логарифмическом масштабе рассчитывается по формуле
1 1
2 2
10 lg
J
L L
L
J
∆ Особенности восприятия акустических волн различной интенсивности и частоты человеческим ухом и субъективные параметры звуковых волн рассматриваются в разд. Для оценки качества экранировки звукового потока слоем материала вводится понятие коэффициента звукоизоляции. Коэффициентом звукоизоляции называется разность уровней интенсивности звука дои после прохождения звукоизоляционного материала. Коэффициент звукоизоляции, дБ
36

1 2
10 Численные значения коэффициента звукоизоляции приведены в табл. Таблица 2.2 Численные значения коэффициента звукоизоляции некоторых строительных материалов Вид материала Толщина, см
D
, дБ Кирпичная стена, оштукатуренная в
1/4 кирпича
9 42 Кирпичная стена, оштукатуренная в
1/2 кирпича
15 44 Бетонная плита 16 48 Толстое стекло 0,6 29 Одинарное окно
15 Двойное окно
30 Одинарная дверь до 20 Двойная дверь
40 В случае нескольких источников звука равной интенсивности полный уровень интенсивности равен, дБ
L
10 lg
L
L
Σ
n
= +При сложении двух волн равного уровня общий уровень интенсивности увеличивается на 3 дБ. Интенсивность звука пропорциональна квадрату частоты и высоким частотам ультразвукового диапазона соответствуют большие интенсивности, что приводит к нагреву тел, подвергающихся воздействию ультразвука. Для цилиндрических волн интенсивность за счет расходимости звукового потока обратно пропорциональна расстоянию от источника, а для сферических волн - квадрату расстояния. Для стоячей волны интенсивность равна нулю.
37

Акустические потери При распространении акустических волн в реальных твердых, жидких и газообразных средах возникают потери, приводящие к уменьшению энергии, переносимой этими волнами. Потери связаны с вязкостью и теплопроводностью упругих сред. Часть энергии переходит в тепло. Амплитуда акустической волны уменьшается вдоль направления распространения. Физически это обусловлено тем, что соседние частицы среды, колеблющиеся под воздействием акустической волны, движутся с различной скоростью и трутся друг о друга, вызывая повышенное теплоотделение.
Для расчета коэффициента затухания используются волновые уравнения для акустической волны в вязкой теплопроводящей среде. Исходным является уравнение движения частиц, которое отличается от уравнения движения частиц в идеально упругой среде (2.1) добавлением слагаемого, связанного с вязкостью и теплопроводностью среды [3]:
0 2
2
a grad 0
l
v
b
v
V
t
∂
ρ
+
− ∇
ρ
∂
r r =
(2.42) Здесь b – эффективный коэффициент вязкости
/
4 1
3
v
p
b
x
c
c
⎛
⎞
= η + η +
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
, где
– коэффициент сдвиговой (поперечной) вязкости, Пас коэффициент объемной вязкости, Пас коэффициент теплопроводности, Вт/(м
К
);
v
c
– удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,
Дж/(кг
К
);
p
c
– удельная теплоемкость газа при постоянном давлении,
Дж/(кг
К
). Продифференцируем уравнение (2.42) повремени Производную
a
t
∂ρ
∂
берем из уравнения непрерывности (2.2), которое имеет тот же вид, что ив средах без потерь
0
div
a
v
t
∂ρ
= −ρ
∂
r Подставляем данное соотношение в уравнение (2.43). Учитывая, что при безвихревом движении частиц среды
2
grad div
V
= ∇
V
r r
, получим
0 2
2 2
2 2
0
l
v
b
v
V
t
t
∂
∂
−
∇
−
∇
=
ρ ∂
∂
r r
vr
(2.44) Ограничимся решением уравнения (2.44) для плоской волны. Для плоской гармонической волны, распространяющейся, например, вдоль оси z, решение уравнения (2.44) ищем в виде
(
)
j
t k z
z
m
v
v e
ω −
=
&
(2.45) Подставим (2.45) в уравнение (2.44) и выполним дифференцирование. Учтем, что
2 2
2
z
z
v
v
t
∂
= −ω
∂
&
& ,
2 2
2 2
z
z
z
v
v
k
z
∂
=
= −
∇
∂
&
&
&v ,
2 2
z
z
j k v
v
t
∂
= − После дифференцирования получим
0 2
2 2
2 0
l
b
k
j k
V
−
+
+ Откуда комплексное волновое число акустической волны
0 2
2 2
l
k
b
j
V
ω
=
ω
+
ρ
&
39

При условии, что если
0 2
1
l
b
V
ω
<<
ρ
, что соответствует малому затуханию звука на расстоянии порядка длины волны, комплексное волновое число
0 0
2 2
2 2
1 1
1 2
l
l
l
l
b
b
k
j
j
k
V
V
V
V
⎡
⎤
⎛
⎞
ω
ω
ω
ω
=
−
≅
−
= −
⎜
⎟
⎢
⎥
⎜
⎟
ρ
ρ
⎢
⎥
⎣
⎦
⎝
⎠
&
j
α . Вещественная составляющая постоянной распространения, м, представляет собой коэффициент фазы, позволяющий рассчитать длину волны, а мнимая часть
α – коэффициент затухания, который можно вычислить по формуле, м,
0 0
2 2
/
3 3
4 1
3 2
2
v
p
l
l
b
x
c
c
V
V
1
⎡
⎤
⎛
⎞
ω
ω
α =
=
η + η +
−
⎢
⎥
⎜⎜
ρ
ρ
⎟⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
. (2.46) Основной причиной затухания акустических волн является сила вязкого сопротивления между соседними частицами среды, обладающими различными скоростями, она учитывается первым слагаемым в выражении (2.46). Возникает это из-за влияния внутреннего трения, действующего на частицы среды, в которой распространяется акустическая волна. Коэффициент объемной вязкости характеризует потери, возникающие при всестороннем сжатии среды. В основе объемной вязкости лежит релаксационный (запаздывающий во времени) процесс, влияющий на поглощение волн в ограниченной полосе частот (многоатомные газы, органические жидкости. Вне области особого релаксационного поглощения при вычислении коэффициента затухания достаточно учитывать лишь основную сдвиговую вязкость. Учет влияния теплопроводности (перенос тепла из области сжатия в область разрежения акустической волны) записан в виде третьего слагаемого в выражении (2.46). Ввиду малости коэффициента теплопроводности потери на теплопроводность незначительны, и ими
x
40

можно пренебречь. Формула для расчета коэффициента затухания на заданной частоте для продольных акустических волн принимает вид
0 2
3 2
3
l
V
η
ω
α =
ρ
(2.47) Формула (2.47) справедлива и для сдвиговых волн в твердых телах с учетом подстановки скорости распространения этих волн Поглощение удобно характеризовать коэффициентом затухания, имеющим размерность децибел на метр (дБ м
(
)
( )
( )
дБ мм мВ среде с потерями амплитуда колебательной скорости уменьшается с расстоянием по экспоненциальному закону. Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси z,
jkz
z
jkz
m
m
v
e
e
e
−
−α
= ν
= Плотность потока энергии акустической волны также уменьшается за счет перехода части ее в тепловую энергию
0 2
2 2
0 1
2
z
z
l
m
J
J e
e
V
− α
− α
=
= Значение коэффициента сдвиговой вязкости приведено в Прил. Коэффициент сдвиговой вязкости вводе Пас, ввоз- духе Паси с учетом плотности среды и скорости волны поглощение акустической волны вводе существенно меньше, чем в воздухе (примерно враз Поглощение акустической волны из-за потерь на внутреннее трение меняется пропорционально квадрату частоты и обратно пропорционально кубу скорости ее распространения. Поскольку сдвиговые волны обычно имеют скорость около половины скорости распространения продольных волн в том же материале, следует ожидать, что поглощение сдвиговых волн на единицу пути будет значительно больше, чем продольных. При комнатной температуре коэффициент затухания вводе на частоте 1 МГц равен 0,22 дБ/м, те. акустические волны такой частоты могут распространяться на достаточно большие расстояния. На частоте 1 ГГц коэффициент затухания оценивается значением
41

2,2 10 5
дБ/м. В этом случае распространение волны возможно на несколько миллиметров. В высококачественном монокристалле сапфира даже на частоте 10 ГГц затухание составляет около 40 дБ/см, несмотря на это данный материал используют для построения линий задержки. Длина волны при этом будет около 1 мкм. Затухание на расстоянии в одну длину волны будет равно 4 10
-3
дБ, что заметно ниже, чем в волноводах для электромагнитных волн. В вязких материалах, таких как резина, потери существенны уже на частотах вне- сколько килогерц. Следовательно, такие материалы являются хорошими звукопоглотителями. Для сферических и цилиндрических волн потери связаны еще и сих геометрической расходимостью. Возьмем отношение акустических давлений на разных расстояниях и с учетом поглощения
1
r
2
r
2 1
1 2
n
r
a
a
p
r
e
p
r
−α
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, где
1 2
n
=
– для цилиндрической волны
– для сферической волны Вычислим изменение уровня интенсивности, дБ
2 1
1 2
20 lg 20 lg
a
a
p
r
L
n
p
r
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛ ⎞
=
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
r
α . В реальных средах существуют различного рода неоднородности. Неоднородностью называется область среды, параметры которой отличаются от параметров окружающего пространства. Наличие неоднородностей в среде приводит к дополнительному уменьшению интенсивности акустических волн в заданном направлении распространения за счет рассеяния энергии в разных направлениях. Интенсивность рассеянного поля и его пространственное распределение существенно зависит от соотношения размеров неоднородностей и длины волны облучающего поля. Например, для простейшей модели рассеивателя в виде сферы радиуса много меньше длины волны (задача Рэлея) решение задачи рассеяния определяет интенсивность рассеянных волн в дальней зоне в следующем виде
(
)
2 4 распад где – радиус сферы – расстояние от центра сферы до точки наблюдения угол между направлением в точку наблюдения и прямой, соединяющей удаленный источник облучения и сферу [1]. Следует обратить внимание на то, что интенсивность рассеяния пропорциональна четвертой степени частоты падающего поля. Выражение в круглых скобках в (2.48) определяет угловое распределение рассеянного поля. В реальных средах рассеиватели имеют более сложный вид, и они обычно случайно распределены в пространстве. Как следствие, это приводит к более сложной картине рассеянного поля и росту потерь. В задачах рассеяния звука особое значение занимает обратная задача рассеяния – нахождение характеристик локализованных неоднородностей на основе анализа рассеянных полей. Это используется в прикладной акустике, в частности в дефектоскопии, компьютерной томографии и т.д. Задачи для самостоятельного решения
2.1. При какой температуре скорость звука в воздухе увеличится на треть по сравнению со скоростью при температуре 0 С При какой температуре станет на треть меньше Скорость звука при
t = 0 С равна мс.
2.2. Рассчитать звуковой барьер самолета (когда его скорость равна скорости звука) на высоте 9 км, где температура – 50 Си сравнить его со звуковым барьером при 0 Сна уровне моря. Зависит ли барьер от атмосферного давления
2.3. Найти длину волны в воздухе на частоте 500 Гц, если давление воздуха
Па, а его плотность
ρ
0 5
10
p
=
0
= 1,26 кг/м
3 2.4. Смещение частиц среды, м, в плоской бегущей в воздухе звуковой волне описывается функцией
(
)
8 5 10 sin 1980 6
u
t
x
−
= ⋅
−
. Найти частоту колебаний, скорость распространения волны, длину волны, амплитуду колебательной скорости частицы среды, если акустическое сопротивление воздуха
420
=
a
Z
кг/(м
2 с.
2.5. Плоская волна с амплитудой акустического давления 2 10
-5
Па при частоте колебаний 1000 Гц (порог слышимости на данной частоте) распространяется в воздухе. Найти значение амплитуды скорости и смещения частиц.
2.6. Амплитуда колебательной скорости частиц среды (вода) подвоз- действием плоской гармонической звуковой волны равна
ν
m
= 5 10
-5 см/с. Вычислить амплитуду смещения и величину звукового давления на частоте 100 Гц. Как изменятся эти величины, если такую же колебательную скорость частицам среды создает волна, распространяющаяся в воздухе
2.7. Амплитуда звукового давления в плоской гармонической волне равна а
= 2 10
-4 Па. Вычислить амплитуду колебательной скорости и смещения, средние значения интенсивности и плотности энергии волны в воздухе на частоте f = 1 кГц (считать, что акустическое сопротивление воздуха
0
воздуха
2 420 кг/(м с)
a
Z
С
= ρ
=
⋅ ).
2.8. Интенсивность звука
J на частоте f = 10 кГц равна 0,1 Вт/м
2
. Вычислить объёмную плотность энергии, акустическое давление, смещение и скорость частиц в плоской волне, распространяющейся а) вводе б) в воздухе. Скорость звука вводе мс, в воздухе 340 мс.
2.9. Интенсивность звука равна
4 2 10
J
−
= ⋅
Вт/м
2
. Найти уровень интенсивности относительно стандартного уровня
Вт/м
12
ст
10
J
−
=
2 2.10. Уровень интенсивности плоской звуковой волны в воздухе равен 100 дБ по отношению к стандартному нулевому уровню интенсивности. Вычислить амплитуду колебательной скорости
ν
m частиц, если акустическое сопротивление воздуха
420
a
Z
=
кг/(м
2.
с).
2.11. Вычислить расстояние, на котором амплитуда акустической волны вводе уменьшится враз, если частота колебаний равна
500 кГц.
2.12. Интенсивность звука в плоской волне вследствие поглощения уменьшается в воздухе в несколько раз на расстоянии l
1
. Определить расстояние
l
2
, на котором во столько же раз уменьшится интенсивность звука данной частоты вводе. Найти ослабление звука в децибелах на расстоянии 100 м вводе, если частота колебаний акустической волны равна 2 МГц. Считать, что скорость акустической волны вводе равна 1500 мс.
2.14. Построить график зависимости коэффициента затухания акустической волны вводе и воздухе от частоты в пределах от 100 Гц
44

до лава 3. Отражение и прохождение акустических