Министерство образования и науки российской федерации гоу впо уральский государственный технический университет
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
давлению направлением распро- z нения падающей и отраженной волн относительно ения и прохождения по акустическому аки в случае нормального падения вводятся также к отр пад a p a p R p = , (3.28) пр пад a p a p T p = (3.29) Для того чтобы получить нужные нии (3.27) переходим от колебательной давл расчетные формулы, в выраже- скорости к акустическому ению с использованием связывающего их акустического сопротивления. После этого из (3.25) и (3.27) получается система из двух уравнений 1 p p R T + = ⎧ 1 2 cos 1 cos p p ⎪ Z R T Z ψ ⎨ − = ⎪ θ ⎩ , (3.30) из которой определяются коэффициент прохождения для случая наклонного падения 2 1 2 2 cos cos cos p Z T Z Z θ = ψ + θ (3.31) и коэффициент отражения 2 1 1 2 cos cos Z Z cos cos p Z Z R θ − ψ = ψ +Формулы (3.31) и (3.32) называются акустическими формулами Френеля. При условии лению равен нулю, волна полностью проходит во вторую среду. Угол падения при полной прозрачности 2 cos cos Z Z ψ = θ коэффициент отражения подав- определяется из условия 2 2 1 m 1 cos n − θ = − , (3.33) 57 где 1 2 l l V n V = , 2 Из закона преломления (3.24) следует, что при 2 1 1 l l V V > угол преломления будет больше угла падения. Приняв 2 π ψ = , из (3.24) определяем критический падения, при котором преломленная волна пойдет вдоль границы раздела угол 1 кр 2 arcsin l l V V θ При угол преломления (3.34) кр = θ 2 π ψ = коэффициент отражения и наблюдается явление полного отражения. При углах падения кр > θ имеем sin 1 ψ > & , и тогда 2 cos sin 1 j ψ = − ψ − & & становится мнимой величиной фициента отражения введем обозначения. Для записи коэф ψ = − α . (3.35) По формуле Френеля (3.32) 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 s 1 1 1 1 cos cos co cos p j k k j j R k k a a 1 , e − − − σ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ρ ψ ρ ψ ρ ρ α α = − + = + − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ρ θ ρ ρ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ρ θ = где 1 2 tg ⎛ ⎞ α ρ 2 a σ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ лю равен единице, и при углах падения сохраняется полное отражение. Коэффициент отражения по моду кр > θ 58 3.4. дачи дл 3.1. Н За я самостоятельного решения айти коэффициент отражения подавлению и коэффициент передачи энергии при норм ном падении звук из воды в воздух. падает по нормали из воздуха на полупространство из углекислоты. Определить коэффициент отражения R на границе. Во сколько раз отличается амплитуда прошедшей волны от амплитуды падающей Определить отношение амплитуд звукового давления в максимумах и минимумах акустического поля в воздухе. Считать, что для воздуха скорость распространения волны авна 340 мс, его акустическое сопротивление = 420 кг/(м 2. с), для углекислоты скорость распространения авна 260 мс, ее устическое сопротивление = 510 кг/(м 2. с). ка из воды в воздух. .4. Построить график зависимости коэффициента отражения и коэффициента прохождения по акустическому давлению от угла падения, если акустическая волна падает из воды на границу с ртутью. .5. Получить из формул Френеля предельное значение коэффициента отражения подавлению при скользящем падении ( θ 1 →π/2). .6. Определить диапазон углов падения продольной волны на гран полным отражателем. Считать, что скорость распространения аку- стич аль а из воздуха вводу и 3.2. Плоская звуковая волна р воздуха a Z волн углекислоты a Z ы рак. Рассчитать акустическое сопротивление просветляющего слоя, обеспечивающего наилучшую передачу зву 3 3 3 ицу вода – анилин, при котором границу можно рассматривать еских волн вводе мс, ванилине мс. 59 Глава 4. Акустические волны в твердых телах величины и уравнения акустического поля 4.1. Основные дые - пере Особенности и характер распространения акустических волн в твердых телах определяются упругими свойствами твердых тел. В отличие от ранее рассмотренных жидких и газообразных сред твер- тела обладают упругостью не только объема, но и формы. Картина акустического поля заметно усложняется. Акустические волны в твердых телах представляют собой комбинацию продольной L и по чной T объемных волн. На первом этапе считаем твердое тело изотропным, его физические свойства в любом элементе объема одинаковы и тело не имеет неоднородностей или каких – либо включений. Кроме того, считаем, что электрические и магнитные поля в рассматриваемом теле отсутствуют. Известно, что под действием механических сил твердые тела изменяют свои размеры и форму (те. деформируются. Возможны различные деформации твердых тел – сжатие и растяжение, сдвиг, изгиб и кручение. Однако в теории упругости доказывается, что все виды деформации могут быть сведены лишь к двум – к растяжению сжатию) и сдвигу. Продольная деформация (растяжение или сжатие) вызывает продольные волны, поперечная (или сдвиговая) деформация орождает поперечные (или сдвиговые) волны. Между силами, приложенными к твердому телу, и возникшими в нем деформациями существует количественная связь, определяемая законом упругости ческого стержня длиной п Гука. Рассмотрим это на простом примере круглого металли l и диаметром . Пусть к стержню приложена продольная сила F . Для задания силы, воздействующей на единицу площади пове водится понятие напряжения рхности твердого тела, в, мн) Под действием переменной силы растяжения или сжатия изменяется длина стержня на величину l ∆ . Относительное изменение длины металлического стержня можно рассматривать как величину его деформации l S l ∆ = При относительно небольших напряжениях величина деформации прямо пропорциональна приложенному напряжению T E S = , (4.2) где коэффициент пропорциональности нм – модуль продольной упругости (модуль Юнга). При растяжении (сжатии) стержня диаметр его изменяется на величину. Возникает поперечная деформация. Отношение относительного изменения поперечного сечения стержня d d ∆ к относительному изменению длины l l ∆ есть величина постоянная и называется коэффи ентом Пуассона: ци d d d E l l d T ∆ ∆ σ Величина принимает значения от 0,05 до 0,5. Для металлов σ примерно составляет 0,25 – 0,35, для Мод дулем сдвига, материалов типа резины 0,5 σ ≈ уль продольной упругости E и коэффициент Пуассона σ описывают упругие свойства изотропного материала и являются скалярными величинами. Однако чаще для анализа поперечной деформации пользуются мо 2 н м, 1 2 1 E µ = + Значения E , σ и µ для некоторых материалов приведены в Прил. В общем случае деформация тв ользу вовать ак это имеет место в газе или жидкости, но и ердого тела происходит и описывается достаточно сложно, так что восп емся лишь кратким изложением. Напряжение T может дейст внутри тела не только по нормали к поверхности, к иметь составляющие по касательной к поверхности (рис. 4.1). В 61 декартовых координатах , , x y z напряжения в общ чае имеют 9 компонент и образуют тензор пряжений ем слу на xx T xy x yz zz z yx yy zx zy T T T T T T T T T ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = Рис. Возможная ориентация напряжений, ый индексу элементов тензора напряжений T означает на- направ ация т приложенных к граням выделенного объема твердой среды Перв ij правление приложенного напряжения, второй – плоскость, перпендикулярную той, на которую оно действует. Напряжение, приложенное в каком-либо одном направлении (например, вдоль оси z ), вызывает деформацию не только в данном направлении, но ив других лениях. В общем случае это приводит к тому, что и деформ акже описывается тензором. Диагональные коэффициенты , xx yy zz T T T связаны с продольной деформацией, а остальные ем со сдвиговой деформацией. Для жидких и газообразных е не испы ывают упругой реакции на деформацию сдвига, напряжение является скалярной величиной и совпадает с акустическим давлением, те. . Если продольная волна распространяется, например, вдоль акустическое давление совпадает с напряжением эл енты тензора сред, которы т ii a T p = оси x , то xx T , а ьные компоненты будут равны 0. При деформации твердого тела изменяется расстояние между его точками, эти изменения, как правило, являются малыми. Изменение расстояния между двумя близкими точками служит характеристикой деформированного состояния. Введем вектор , определяющий взаимное положение двух соседних точек остал смещения M им мм r r , где – радиусы-векторы, проведенные изначала координат, выб / м м, r r r r ранного внутри тела. Компоненты вектора смещения образуют тензор деформации S t , элементы которого вычисляются по формуле x 1 2 k l l l k u u S q q ⎡ ⎤ ⎧ k ∂ ∂ = + ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ , , l k y q q z ⎪ = ⎨ ⎪⎩ (4.3) Производные в квадратных скобках представляют собой относительные деформации в равлениях. Например, при k разных нап = компоненты тензора деформации , y x xx yy u u S S x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ и представляют собой относительные удлинения пои связаны с продольной деформацией. При k l x осям ≠ компонент k l S определяют сдвиговы деформации. Например, производная ы е x u ∂ – это сдвиговая деформация в направлении оси x по отношению к расстоянию. Тензор напряжений T t , также как и тензор деформаций S t , являются симметричными, те. для них выполняется условие ij ji T T = и Для изотропного твердого тен тела связь зором напряжений и тензором деформаций дается законо упругости Гука [3]: между м 2 i j k k i j i j S S T = λ + µ δ , (4.4) где i j δ – символ Кро екера, 1, 0, i j i j н δ = = ⎧ ⎨δ = ≠ ⎩ , , λ µ – модули упругости (постоянные, н/м 2 В общем случаев теории упругости пользую упругости E, , , , Ламе тся пятью модулями µ λ σ K . Последний параметр K – модуль объемной упру осто- янных являются независимыми гости был введен ранее (разд. 2.3). Между всеми этими постоянными (модулями) упругости имеется связь (только две из этих п 2 ) E σ λ = + σ − σ , 2 K = λ + µ 2 1 µ = + σ , 63 Значения постоянных упругости можно найти в справоч итера- туре. мента объема (частицы) твердого тела. Уравнение движения пред- мированной среды ной л Изменение напряжений в пространстве вызывает ускорение эле- ставляет собой второй закон Ньютона для элемента упругой дефор- 0 2 2 ij i i T u F x t ∂ ∂ j ρ = = ∂ ∂ (4.5) В левой части уравнения стоит произведение ускорения на массу единицы объема, в правой – объемная сила. Уравнение закона Гука (4.4) и уравн среды являются исходными уравнения уравнения. и жидкостях, на основе волнового уравнения с использованием соответствующих граничных условий. Волновые уравнен дых тел выводятс одя из закона у- ка (4.4) и уравнения движения (4.5). Подставляя напряжение (4.4) с векторном представлении (уравнение Ламе ение движения (4.5) упругой для получения волнового 4.2. Волновое уравнение Даламбера. Скорость продольных и сдвиговых волн Задача распространения упругих волн в безграничном твердом теле решается также, как в газах ия для твер я исх Г учетом (4.3) в уравнения движения (4.5), получим уравнение движения в ( ) 0 2 2 2 grad div rot rot u u u t ∂ ρ = λ + µ − µ ∂ r r r (4.6) Поскольку в твердом теле есть сдвиговые деформации, в волновом уравнении для вектора смещения ur присутствует и вихревая часть смещения, а само поле упруги ляет собой векторное поле. Исходя из того, что любое векторное поле мож х волн в общем случае представ- но представить в виде суммы потенциальной и вихревой частей, и такое представление единственное, запишем вектор смещения ur в виде суммы потенциального l ur t ur и вихревого полей (4.7) l t u u u = + r r r 64 При этом выполняются условия rot 0 l u = r итак что корректно записа ь grad l u = ϕ r , и это будет потенциальная часть, а также r u = r т, и вихревая – скалярный и векторный потенциалы. Используя представление (4.7), из уравн волновых уравнения Дал ot это будет часть смещения, ϕ и ar ения движения частиц (4.6) получаем два амбера 0 2 2 l u ρ ∂ 2 0 2 l u t ∇ − = λ + µ ∂ r r , (4.8) 0 2 2 2 0 t t u u t ρ ∂ ∇ − = µ ∂ r r (4.9) Уравнение (4.8) описывает распространение продольных волн. Для краткости назовем их L волнами. Их фазовая скорость по аналогии сможет быть определена следующим образом ( ) ( )( ) 0 0 1 2 1 1 2 l E V − σ λ + µ = = ρ ρ + σ − σ (4.10) Если продольная акустическая волна распространяется в металлическом стержне, то формула для расчета ее скорости несколько упрощается) Уравнение (4.9) описывает распространение сдвиговых (поперечных) упругих волн. Для аткости назо м их кр ве волнами. Скорость распространения волны - T - 0 t V µ = ρ , (4.12) где дуль сдвига (численные значения модул сдв га для некоторых твердых сред приведены в Прил. Скорости l V и t V связаны с упругими параметрами и плотностью твердого те – моя ила не зависят от частоты. Следует заметить, что В большинстве металлов скорость расп примерно в два раза меньше скорости пи l t V V > ространения сдвиговых волн родольных волн. Например, в 65 алюминии скорость распространения продольной волны составляет 6,42 км/с, а сдвиговой – 3,04 км/с. Для гармонических волн уравнения (4.8), (4.9) преобразуются в уравнения Гельмгольца 2 2 0 l l l u k u ∇ + = r r & & (4.13) , , 2 2 0 t t t u k u ∇ + = r r & & (4.14) где , , l t l t k V = – волновые числа для продольных и поперечных волн. Для плоской волны, распространяющейся, например, в направлении оси ω , векторные уравнения (4.13), (4.14) сводятся к трем скалярным дифференциальным уравнениям второго порядка 2 2 2 0 l z k u z + = z u ∂ ∂ & & , 2 2 0 x t x u k u ∂ + = & & 2 z ∂ , (4.15) 2 2 2 0 z y t y u k u ∂ + = ∂ & & ение продольной волн см е Первое уравнение описывает распростран L ы. У нее ещ ние совпадает с направлением распространения плоской акустической волны. В поперечной волне, описываемой двумя другими уравнениями, компоненты вектора смещения x u& и y u& направлены перпендикулярно оси z , вдоль которой плоская волна распространяется в твердом теле. Решение уравнений (4.15) определяет поле плоской акустической волны в твердой изотропной среде ( ) 0 0 0 t t l j z j z j z mx my mz k k k u z x u y u z u e e e − − − = + + r r r Первые две составляющие вектора вую волнуя составляющая опред твердом теле распространяется тол многие соотношения, полученные р сред ример ак оста справед смещения определяют сдвиго- еляет продольную волну. Если в ько L- или только волны, то анее для жидких и газообразных , нап устическое сопротивление, коэффициент затухания, ются ливыми. 66 |