Многочлены Чебышева и их основные свойства

• Название: Многочлены Чебышева и их основные свойства
• Дата: 06.01.2023
• Размер: 6.33 Mb.
• Имя файла: bibliofond.ru_882806.rtf
• Тип: Курсовая; #874421
• страница: 2 из 8

, т.е.
;

б) ;

в) ;
г) коммутативность операции , т.е. .

. В выполняются дистрибутивные законы, т.е.
а) - правый дистрибутивный закон;

б) - левый дистрибутивный закон.
. - мультипликативная абелева группа, т.е.

а) ассоциативность операции , т.е.
;

б) ;

в) ;
г) коммутативность операции , т.е. .

Определение 16. Множество называется числовым, если .

Определение 17. Поле называется числовым, если оно является числовым множеством, т.е. .


Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной
Определение 1. Пусть и - ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Кольцо называется простым расширением кольца с помощью элемента , если выполняются следующие условия:

) - подкольцо кольца ;

) , и записывают .

Определение 2. Простое расширение называется простым трансцендентным расширением кольца , если выполняется следующее условие: из равенства следует, что . Элемент в этом случае называется трансцендентным элементом над (относительно ).

Лемма 1. Пусть - простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей, . Если
и

,

то и .
Лемма 2. Пусть и - простые трансцендентные расширения ассоциативно-коммутативных колец и с единицами. Если и - изоморфизм на , то , причем существует единственный изоморфизм кольца на , который переводит элемент в элемент (т.е. ) и продолжает изоморфизм .

Следствие 2.1. Пусть и - простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей. Тогда .

Лемма 3. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, и лишь конечное число . Тогда множество является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей относительно операций, заданных по правилу:
1)

2) где

и т.д.,


Теорема 1. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда для существуют простые трансцендентные расширения, причём любые 2 из них изоморфны.

Замечание. Кольцо , построенное в лемме 3, и являющееся простым трансцендентным расширением кольца согласно теореме 1, называется кольцом многочленов (полиномов) от одной переменной (неизвестной) над кольцом и обозначается . Элементы кольца называются многочленами (полиномами) над кольцом от переменной .

Пусть, например, , причём (ввиду теоремы 1). Тогда - свободный или постоянный член многочлена , - старший коэффициент многочлена .

Определение 3. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, Число называется степенью многочлена и обозначается , т.е. (степень многочлена - это степень переменной при старшем коэффициенте).

Определение 4. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0. По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. . Таким образом, если , то ( .

Теорема 2. Пусть - ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, . Тогда:
) ;

) .
Следствие 2.1. Пусть - область целостности. Тогда .

Теорема 3. Если - область целостности, то - область целостности.

Теорема 4. Пусть - область целостности. Тогда для существует поле частных.

Определение 5. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен , если и обозначается или .

Простейшие свойства отношения делимости в :

1) рефлексивность ;

) транзитивность и ;

)