Многочлены Чебышева и их основные свойства
 Скачать 6.33 Mb.
|
|
Теорема 6. Многочлены Чебышева образуют ортогональную систему многочленов на отрезке  с весовой функцией  .Доказательство. Сделаем замену  . Получим   при  . Теорема доказана.Следствие 2. Если  - многочлен степени  и при  , то  , где  - некоторое число.Доказательство. В пространстве  со скалярным произведением ортогональное дополнение к подпространству, порожденному многочленами  , порождено многочленом Чебышева  . Следствие доказано.Теорема 7. Многочлены Чебышева можно вычислять по формуле  .Доказательство. Индукцией по  доказывается, что при   , где  - многочлен степени , причем  ,  и при  .Следовательно,  - многочлен степени .Проверим, что  , т.е. при . Интегрируя по частям получаем Первое слагаемое равно нулю, так как  при  . Затем интегрируем по частям второе слагаемое и т.д. Чтобы в конце концов получить нуль, необходимо проинтегрировать по частям  раз. При этом на последнем шаге возникнет дифференциал  . Это означает, что число  должно быть неотрицательно, т.е.  .Остается проверить, что  . Для этого вычисляют  . Действительно, что при  рекуррентное соотношение  принимает вид  . Таким образом, . Кроме того,  . Теорема доказана.Теорема 8. Пусть многочлен  , где  , таков, что  при  . Тогда  при  .Доказательство. Воспользуемся тем, что  при  ,  . Многочлен  полностью определяется значениями  . Где  Дифференцируя  раз соотношение (1), получим Так как , то Многочлен  в точке  принимает значение  . Поэтому Кроме того,  . Далее, при  знак числа  не зависит от  . Действительно, все корни многочлена  принадлежат отрезку . Поэтому все корни многочлена также принадлежат этому отрезку. Следовательно,  при  и  при  .В итоге при получаем В этом случае из неравенства (2) следует, что  Теорема доказана.Теорема 9. Пусть многочлен , где , таков, что при . Тогда  .Доказательство. Так как  , где  , то по теореме 8 при  получим  . Теорема доказана.Теорема 10. При  и при выполняется неравенство  .Доказательство. Для многочлена  выполняется условие теоремы 8. Поэтому  . Теорема доказана.Теорема 11. При  выполняется неравенство .Доказательство. Пусть  . Рассмотрим многочлен  . Проверим, что многочлен удовлетворяет условию теоремы 8, т.е. что  при . При вещественном  функция  зависит только от  , причем если  , то монотонно возрастает с возрастанием . Кроме того, при  . Следовательно, если  и , то  .Согласно теореме 8 при выполняется неравенство  , т.е. . Теорема доказана.Определение 6. Для последовательности функций  рассматривают ряд  . Если радиус сходимости данного ряда положителен, то функцию  называют производящей функцией последовательности  .Теорема 12. При  и  выполняются следующие равенства:(а)  (б)  .Доказательство. а) Пусть |