Многочлены Чебышева и их основные свойства
 Скачать 6.33 Mb.
|
 и  ;)  ;)  .Определение 6. Пусть  - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,  (т.е.  ),  . Элемент  называется значением многочлена  в точке  (на элементе  ) и обозначается  , то есть  .Теорема 5 (теорема Безу). Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,  , . Тогда существует  такой, что  .Доказательство. Пусть  . Тогда  .Таким образом,  , где  . Теорема доказана.Определение 7. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, . Элемент называется корнем многочлена , если  .Следствие 5.1. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда - корень  делится на  .Следствие 5.2. При делении многочлена на получается остаток  , равный  .Теорема 6. Пусть - область целостности, ,  . Тогда многочлен имеет не более  попарно различных корней. Другими словами, любой ненулевой многочлен -й степени над областью целостности имеет не более попарно различных корней.Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру .) Пусть  не имеет корней, т.е.  имеет нуль корней и значит  - верно.) Пусть  . Предположим, что утверждение верно при  .) Докажем, что утверждение верно при  :  . Если не имеет корней, то число корней равно  и  - верно. Пусть имеет хотя бы один корень и  - корень такой, что  . Тогда по теореме Безу  , где  , причём  по пункту 2)  имеет не более  попарно различных корней.Покажем, что все корни многочлена , отличные от , являются также корнями многочлена . Пусть  - корень ,   , т.е.  так как - область целостности)  - корень . Таким образом, многочлен имеет корень , а все остальные корни многочлена являются также корнями многочлена  . Так как имеет не более попарно различных корней, то многочлен имеет не более, чем  попарно различных корней.Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого  . Теорема доказана.Следствие 6.1. Пусть - область целостности,  . Если многочлен имеет более попарно различных корней, то является нулевым многочленом.Определение 8. Пусть  ,  , где - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены и  называются алгебраически равными, если  ,  .Определение 9. Многочлены и из  называются функционально равными, если  ,  , т.е. значения многочленов и в любой точке кольца совпадают.Теорема 7. Пусть - бесконечная область целостности, . Многочлены и алгебраически равны  и равны функционально.Теорема 8. Пусть  - поле,  . Тогда существуют единственные многочлены  такие, что  , причем  .Определение 10. Пусть - поле,  . Многочлен  называется наибольшим общим делителем многочленов и  (или коротко, НОД и ) и обозначается  , если выполняются два условия:)  - общий делитель многочленов и , т.е.  и  ;) делится на любой общий делитель многочленов и , т.е. если  и  , то |