Многочлены Чебышева и их основные свойства
 Скачать 6.33 Mb.
|
 . Пусть, например, . Так как левая часть  делится на  , то  по лемме 4 хотя бы один из множителей делится на . Так как множители можем менять местами, то будем считать, что  по лемме 8  и по замечанию 3  , где   ,  . Так как левая часть  делится на  , то, как и выше, получим  и  , где  , причем  и т.д., через конечное число шагов получим  . Допустим, что  противоречие  . Таким образом, представление многочлена  в виде требуемого произведения определяется однозначно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности. Теорема доказана.Определение 15. Пусть  - поле. Многочлен  называется нормированным или приведенным, если  .Следствие 10.1. Любой многочлен  положительной степени над полем допускает представление в виде:  , где  ,  - неприводимые над нормированные многочлены.Определение 16. Пусть  , - поле,  . Представление многочлена в виде  , где , - попарно различные неприводимые над полем нормированные многочлены,  , называется каноническим представлением многочлена , число  называется кратностью множителя  . Если  , то  называется простым неприводимым множителем многочлена .Определение 17. Пусть , - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,  - корень . Число  называется кратностью корня многочлена , если  , но  .В этом случае пишут  - данная запись означает, что  - это наибольшая степень  , которая делит  .Теорема 11. Пусть  - несократимая рациональная дробь. Если  - корень , то  .Доказательство. Так как  - корень , то  , то есть:  . Так как  , то  . Так как  , то  . Теорема доказана. Следствие 11.1. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами являются его целыми корнями. Следствие 11.2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного числа. Теорема 12. Пусть  ,  , - несократимая рациональная дробь. Если - корень , то  ,  .Следствие 12.1. Пусть  , - несократимая рациональная дробь. Если - корень , то  ,  .Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства 3.1 Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева многочлен чебышев корень переменная Определение 1. Многочлены  , где  , определенные рекуррентным соотношением  и начальными условиями  и  называют многочленами Чебышева.Определение многочленов Чебышева основано на том, что  полиномиально выражается через  , т.е. существует такой многочлен , что  при  .Формула  показывает, что многочлены , определенные рекуррентным соотношением и начальными условиями и , обладают нужным свойством.Непосредственно из того, что при , следует, что  при  . А из рекуррентного соотношения следует, что  , где  - целые числа.Теорема 1. Пусть  - многочлен степени  со старшим коэффициентом 1, причем  при  .Тогда  . Другими словами, многочлен  - наименее уклоняющийся от нуля на интервале  многочлен степени со старшим коэффициентом 1.Доказательство. Воспользуемся свойством многочлена  , а именно тем, что  при  . Рассмотрим многочлен  . Его степень не превосходит  , поскольку старшие члены многочленов  и  равны. Из того, что при , следует, что в точке знак числа  cовпадает со знаком числа  . Таким образом, в концах каждого отрезка  многочлен  принимает значения разного знака. Поэтому у многочлена на этом отрезке есть корень. В случае, когда  , либо |