Многочлены Чебышева и их основные свойства

• Название: Многочлены Чебышева и их основные свойства
• Дата: 06.01.2023
• Размер: 6.33 Mb.
• Имя файла: bibliofond.ru_882806.rtf
• Тип: Курсовая; #874421
• страница: 4 из 8

.

Лемма 4. Пусть - поле, , и . Тогда НОД многочленов и и НОД многочленов и ассоциированы, т.е. .

Лемма 5. НОД двух многочленов определяется однозначно с точностью до ассоциированности.

Определение 11. Пусть - поле, . Многочлен называется наименьшим общим кратным многочленов и (или коротко, НОК и ) и обозначается , если выполняются два условия:

) - общее кратное многочленов и , т.е. и ;

) делит любое общее кратное многочленов и , т.е. если и , то .

Лемма 6. НОК двух многочленов определяется однозначно с точностью до ассоциированности.

Пусть - поле, . Для нахождения НОК многочленов и применяется следующая формула: .

Теорема 9 (теорема о линейном представлении НОД). Пусть - поле, , , . Тогда .

Определение 12. Пусть - поле, , . Многочлен вида называется формальной производной многочлена и обозначается .

Нетрудно проверить, что формальная производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам:

) ;

) ;

) ;

) .
Определение 13. Многочлен положительной степени над полем называется неприводимым над , если он не допускает представления в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Определение 14. Многочлен положительной степени над полем называется приводимым над , если он допускает представление в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Лемма 7. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Лемма 8. Пусть - поле, - неприводимые над многочлены. Если , то .

Замечание 1. Пусть - поле. Тогда - область целостности - область целостности все элементы области целостности подразделяются на 4 вида:
=
Замечание 2. Поскольку НОД и НОК многочленов определяются однозначно с точностью до ассоциированности, то многочлены и являются взаимно простыми .

Замечание 3. Пусть - неприводимый над многочлен. Если , то либо , либо .

Лемма 9. Пусть - поле, , - неприводимый над многочлен. f p и взаимно просты.

Лемма 10. Пусть - поле, , - неприводимый над многочлен. Если , то хотя бы из множителей делится на , то есть .

Теорема 10. (Основная теорема о многочленах). Любой многочлен положительной степени над полем допускает представление в виде произведения неприводимых над многочленов, причем такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности.

Доказательство. 1) Существование. Пусть и . Доказательство проведем методом математической индукции по параметру .

. Пусть неприводим над - искомое представление.

. Допустим, что утверждение верно для любого многочлена положительной степени над полем .

. Докажем утверждение для многочлена . Если неприводим над , то - искомое представление. Пусть приводим над

, где и и - представление и в виде произведения неприводимых над многочленов - искомое представление.

Из 1-3 по методу математической индукции утверждение верно для любого .

) Единственность. Пусть и - требуемые представления . Так как , то либо , либо