Многочлены Чебышева и их основные свойства
 Скачать 6.33 Mb.
|
|
МИНистерство ОБРазования и НАУКИ РОССИи Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО» Физико-математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Курсовая работа «Многочлены Чебышева и их основные свойства» Выполнила: студентка 3 курса ОЗО ФМФ направления «Педагогическое образование» профиля «Математика» Ю.М. Симонаева Научный руководитель: Кандидат физико-математических наук М.М. Сорокина Брянск 2014 Содержание Введение Глава 1. Обозначения, определения и известные результаты, используемые в работе Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства 3.1 Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева 3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева Заключение Список используемой литературы Введение Теория многочленов представляет один из центральных разделов современной алгебры. Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности. В XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Позднее Н.Абель и П.Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Э.Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению. Параллельно с этим К.Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). В дальнейшем многие ученые занимались изучением многочленов. Я.Бернулли, Э.Безу, У.Горнер, Ж.Лагранж, П.Чебышев, С.Эйзенштейн, Д.Гильберт и многие другие известные математики открыли немало нового и удивительного о многочленах, ставшего впоследствии привычным и обыкновенным. В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Современная математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а0, а1, …, аn являются объектами произвольной природы, а не только числами. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.). С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля Среди многочленов от одной переменной важное место занимают многочлены Чебышева. Чебышев Пафнутий Львович - великий русский математик и механик, академик Петербургской Академии наук. В научном наследии П.Л. Чебышева насчитывается более 80 работ. Математические достижения П.Л.Чебышева в основном получены в следующих областях: теория чисел, теория вероятностей, проблема наилучшего приближения функций и общая теория многочленов, теория интегрирования функций. П.Л.Чебышев открыл класс специальных многочленов, носящих его имя и в наши дни. Многочлены Чебышева, Чебышева-Лагерра, Чебышева-Эрмита и их разновидности играют большую роль в математике и в разнообразных приложениях. Чебышевская теория наилучшего приближения функций многочленами находит применение в решении геодезических и картографических задач, в решении алгебраических уравнений. В рассматриваемой теории Чебышева содержатся идеи общей теории ортогональных многочленов. В курсовой работе изучаются основные положения теории многочленов. Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Глава 1 носит вспомогательный характер. Здесь приводятся все используемые в работе определения и обозначения. Основное содержание курсовой работы представлено в главах 2 и 3. Глава 2 посвящена изучению основных положений теории многочленов от одной переменной. В главе 3 проводится исследование многочленов Чебышева. Данная глава состоит из 2 разделов. В первом разделе рассматривается определение и изучаются простейшие свойства многочленов Чебышева. Второй раздел посвящен исследованию основных теорем о многочленах Чебышева. Автором курсовой работы изучены и детально изложены центральные результаты о многочленах Чебышева, представленные в книге В.В. Прасолова «Многочлены» [1]. Глава 1. Обозначения, определения и известные результаты, используемые в работе Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве  называется правило или закон, по которому любым двум элементам из , необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие единственный элемент из .Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом. Определение 1′. Бинарной алгебраической операцией на множестве называется отображение  . Вместо  пишут  . Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают символами  и другими.Определение 2. Непустое множество  с определённой на нём бинарной алгебраической операцией  называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):) операция ассоциативна на , т.е.  ;) в существует нейтральный элемент относительно операции , т.е.  ;) для каждого элемента из в существует симметричный ему элемент относительно операции , т. е.  .Определение 3. Группа относительно операции называется абелевой, если операция коммутативна на , т. е.  .Определение 4. Группа относительно операции сложения называется аддитивной. Определение 5. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной. Определение 6. Непустое множество  с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):. - аддитивная абелева группа, т.е.а) ассоциативность сложения на   ;б)  ;в)  ;г) коммутативность сложения на  .. В выполняются дистрибутивные законы, т.е.  а)  - правый дистрибутивный закон,б)  - левый дистрибутивный закон.Определение 7. Кольцо называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на , т.е.  .Определение 8. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на , т.е.  .Определение 9. Кольцо называется ассоциативно-коммутатитвным, если - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.Определение 10. Кольцо называется кольцом с единицей, если в существует единичный элемент, т.е.  .Определение 11. Элементы  и  кольца называются делителями нуля, если  , но  .Определение 12. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности. Определение 13. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элементы и кольца называются ассоциированными в и обозначаются  , если  и  .Определение 14. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элемент  называется обратимым в кольце , если в кольце найдется обратный к нему элемент, т.е. такой элемент  , что  . Иначе, элемент называется необратимым элементом .Определение 15. Полем называется ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим. Определение 15'. Непустое множество  с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями  и  называется полем, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля):. - аддитивная абелева группа, т.е.а) ассоциативность операции |