Многочлены Чебышева и их основные свойства
 Скачать 6.33 Mb.
|
 - двукратный корень, либо внутри одного из отрезков  и  есть еще один корень. Это следует из того, что в точках  и  мнгочлен  принимает значения одного знака (рис.1). Рис.1 Количество отрезков равно  , поэтому многочлен имеет по крайней мере корней. Для многочлена степени не более  это означает, что он тождественно равен нулю, т.е.  . Теорема доказана.Теорема 2. Пусть  . Тогда Доказательство. Поскольку  , то  и  . Следовательно,  .Пусть  и  . Тогда  и  Теорема доказана. Следствие 1. Пусть  - нечетное простое число. Тогда .Доказательство. Запишем в виде  . Тогда Если  , то  делится на . Поэтому . Следствие доказано.Определение 2. Композиция многочленов  и  определяется равенством  .Определение 3. Многочлены и называются коммутирующими, если  , т.е.  .Теорема 3. Многочлены  и  коммутирующие.Доказательство. Пусть  . Тогда  и  . Поэтому  . Аналогично  . Таким образом, равенство  выполняется при  , а значит, это равенство выполняется при всех  . Теорема доказана.Определение 4. Пусть  , где  и  . Говорят, что пара многочленов  и  эквивалентна паре многочленов  и  .Теорема 4 (Ритт). Пусть  и - коммутирующие многочлены. Тогда пара многочленов и эквивалентна одной из следующих пар:(1)  и где (2)  и где и - многочлены Чебышева;(3)  и где  Теорема 4 была доказана в 1922 году американским математиком Риттом; все известные ее доказательства весьма сложные. Современное изложение доказательства теоремы Ритта приведено в книге Прасолова В.В., Шварцмана О.В. [13]. В некоторых случаях вместо многочлена рассматривают многочлен  со старшим коэффициентом 1. Многочлены  удовлетворяют рекуррентному соотношению  . Поэтому - многочлен с целыми коэффициентами.Если  , то и . Следовательно,  , т.е. многочлен соответствует полиномиальному выражению величины  через  .С помощью многочленов  можно доказать следующее утверждение.Теорема 5. Если оба числа  и  рациональны, то число  целое, т.е. .Доказательство. Пусть  - несократимая дробь и  , где  . Тогда  . Поэтому  - корень многочлена  с целыми коэффициентами. Пусть  - несократимая дробь. Тогда  , и значит,  делится на  . Однако числа  взаимно простые. Поэтому  , т.е.  - целое число. Теорема доказана.3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева Определение 5. Многочлены  называют ортогональными многочленами на отрезке  с весовой функцией  , если  и  при  .В пространстве  многочленов степени не более задают скалярное произведение формулой  .Ортогональные многочлены  образуют ортогональный базис в пространстве с таким скалярным произведением.Если задан отрезок и весовая функция, то ортогональные многочлены определены однозначно с точность до пропорциональности. В самом деле, они получаются в результате ортогонализации базиса  Наиболее известны следующие ортогональные многочлены:
|
