Никифоров_учебное пособие. московский государственный университет дизайна и технологии

• Название: московский государственный университет дизайна и технологии
• Анкор: Никифоров_учебное пособие.doc
• Дата: 11.05.2017
• Размер: 17.89 Mb.
• Имя файла: Никифоров_учебное пособие.doc
• Тип: Учебное пособие; #7451
• страница: 2 из 10

1.2.4. Свойства параллельных проекций.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных проекций.

Точка в натуре проецируется в точку на плоскость проекций. Это свойство вытекает из правил построения в методе проекций.

Прямая в натуре, в общем случае, проецируется в прямую на плоскость проекций. Если прямая направлена вдоль проецирующего луча, то ее проекцией будет точка.

Для того, чтобы спроецировать прямую, необходимо взять все ее точки и каждую спроецировать на плоскость проекций. Множество полученных проекций точек будет представлять собой проекцию прямой.

Возьмем на прямой АВ (рис. 1.7) точки С¹, С² и С³ и спроецируем их на плоскость П_N параллельно некоторому заданному направлению. Образовавшееся множество лучей представляет собой плоскость, так как все лучи пересекают прямую АВ и остаются параллельными некоторому направлению.

Плоскость, образованная проецирующими лучами, называется проецирующей. Обозначим ее буквой Σ. При пересечении плоскостей Σ и П_N образуется прямая А_N B_N, которая является проекцией прямой АВ.

Инцидентность – взаимная принадлежность. Если точка лежит на прямой, то проекции точки лежат на проекциях прямой. Доказательство: пусть на прямой АВ (рис. 1.7) даны точки С¹, С² и С³. Проецирующие лучи, проходящие через эти точки, лежат в проецирующей плоскости Σ и пересекаются с проекцией прямой А_N B_N в точках, и , так как А_N B_N также лежит в плоскости Σ.

Эти три свойства относятся также и к центральной системе проецирования.

Деление отрезка в данном отношении. Если точка делит отрезок в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении. Доказательство: пусть точка С¹ (рис. 1.7) делит отрезок АВ в отношении . Из рисунка видно, что прямая АВ и ее проекция А_N B_N лежат в одной проецирующей плоскости Σ и пересекаются.

Проецирующие лучи АА_N, С¹С и ВВ_N параллельны. Известно, что параллельные прямые отсекают на пересекающихся прямых пропорциональные части, следовательно .

Проекции параллельных прямых. Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции также параллельны (рис. 1.8). Доказательство: прямые АВ и CD проецируются с помощью проецирующих плоскостей Σ и Т, но Σ║Т, т. к. АВ║CD по условию и АА_N║СС_N- по построению. Известно, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то образуются параллельные прямые. Здесь две параллельные плоскости Σ и Т пересекаются плоскостью проекций П_N и образуются параллельные прямые (А_NВ_N║C_ND_N).

Проекции геометрических фигур, параллельных плоскости проекций. Если данная геометрическая фигура - прямая, кривая линия или плоская фигура (треугольник, многоугольник, эллипс, окружность и т. п.) лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на плоскость проекций в натуральную величину. Доказательство: дано Σ║П_N и АВΣ (рис. 1.9). Требуется доказать, что АВ║А_NВ_N и АВ=А_NВ_N. Так как Σ║П_N, то отрезки АА_N и ВВ_N равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник АВВ_NА_N является параллелограммом и АВ║А_NВ_N, АВ=А_NВ_N.

Так же доказывается теорема относительно любой плоской кривой и любой плоской фигуры.

Частный случай проецирования прямого линейного угла. Если плоскость угла не параллельна плоскости проекций, то в общем случае угол проецируется с искажением.

В частном случае для ортогонального проецирования имеет место следующее: если одна сторона прямого линейного угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется в натуральную величину (рис. 1.10). При этом плоскость угла не параллельна плоскости проекций. Доказательство: дано АВВС; ВС║П_N; АВ╫П_N. Требуется доказать, что В_NС_N А_NВ_N.

Пусть АВ проецируется с помощью плоскости Σ, а ВС - с помощью плоскости Т, тогда:

1) ВС Σ, так как ВСАВ по условию и ВСВВ_N по построению;

2) В_NС_N Σ, так как В_NС_N║ВС и ВС Σ;

3) В_NС_N А_NВ_N, так как если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.

1.2.5. Проецирующие геометрические фигуры. Это геометрические фигуры, образованные проецирующими лучами. Проецирующими геометрическими фигурами могут быть:

- прямые - проецируют точки;

- плоскости - проецируют прямые линии и плоские фигуры;

- цилиндрические поверхности в параллельной системе проецирования и конические поверхности в центральной системе проецирования - проецируют пространственные кривые линии и пространственные фигуры.

Основное свойство проецирующей геометрической фигуры заключается в том, что точки, прямые или кривые линии, плоские и пространственные фигуры, расположенные на проецирующей геометрической фигуре, проецируются на линию пересечения этой фигуры с плоскостью проекций. Эта линия называется следом данной проецирующей геометрической фигуры или ее главной проекцией.

На рис. 1.11 показаны проецирующие геометрические фигуры в ортогональной системе проецирования: проецирующая прямая а, проецирующая плоскость Σ и проецирующая цилиндрическая поверхность Ф.

Прямая а, плоскость Σ и образующие цилиндрической поверхности Ф перпендикулярны плоскости проекций П_N. Их главные проекции а_N, Σ_N и Ф_N включают в себя проекции всех точек данной проецирующей геометрической фигуры.

1.2.6. Дополнения однокартинного чертежа. Ранее было показано, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве.

Для того, чтобы чертеж был полным и обратимым, т.е. для того, чтобы по чертежу можно было представить положение точки в пространстве, применяются разные способы.

Способ числовых отметок. Около проекции точки ставится число, выражающее в некоторых линейных единицах расстояние данной точки от плоскости проекций.

На рис. 1.12 даны проекции различных геометрических фигур с числовыми отметками.


П_N


Около проекции точки А стоит цифра 20. Это означает, что точка А отстоит от плоскости проекций на расстоянии 20 линейных единиц.

Концы отрезка ВС отстоят от плоскости на расстояниях 15 и 30, вершины треугольника DEF- на расстояниях соответственно 0, 10 и 25.

Кривая поверхность задана кривыми линиями, принадлежащими поверхности и параллельными плоскости проекций (горизонталями, если плоскость П_N горизонтальна). Около каждой горизонтали стоит число, выражающее ее расстояние от плоскости П_N.

С помощью горизонталей изображается рельеф земной поверхности на топографических картах и сложные кривые поверхности, в том числе поверхности манекена и обувной колодки.

Способ применения двух плоскостей проекций. Точка проецируется на две плоскости проекций П₁ и П₂ (рис. 1.13). При ортогональном проецировании принято располагать плоскости проекций перпендикулярно друг другу (П₁П₂).

Проекция точки на каждой плоскости проекций обозначается той же буквой, что и сама точка, но с индексом данной плоскости проекций. Так, проекция точки А на плоскость П₁ обозначается А₁.

Линия пересечения плоскостей проекций обозначается буквой х, около которой ставятся индексы плоскостей, линией пересечения которых она является, т.е. х₁₂.

Вторая плоскость проекций П₂ является дополнением однокартинного чертежа на П₁. Если даны проекции точек А₁ и А₂ на П₁ и П₂, то всегда можно определить положение точки в пространстве на пересечении перпендикуляров, восстановленных к плоскостям проекций из этих точек.

Таким образом, проекции точки на две взаимноперпендикулярные плоскости проекций дают полное представление о положении точки в пространстве. Способ дополнения однокартинного чертежа с помощью второй плоскости проекций в настоящее время принят в технике как основной.

2. Ортогональные проекции геометричЕских фигур
Как было показано ранее, проекцией точки при ортогональном проецировании называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекций. Число, выражающее длинуэтого перпендикуляра от точки до ее проекции, называется координатой точки. Поэтому пространственная модель ортогонального проецирования точки на две или на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций совпадает с прямоугольной системой декартовых координат.

В методе ортогонального проецирования положение точки определяется двумя проекциями (изображениями), а в методе прямоугольных координат тремя координатами (числами).

Поместим начало координат в точке О на оси абсцисс x (рис. 2.1). Направим ось ординат yпо плоскости П₁, а ось аппликат z по плоскости П₂. Два пересекающихся проецирующих луча АА₁ и АА₂ определяют плоскость, перпендикулярную оси x. Эта плоскость пересекается с осью x в точке А₁₂ и с плоскостями П₁ и П₂ по прямым А₁А₁₂ и А₂А₁₂. При этом образуется прямоугольник координат АА₁А₁₂А₂. Тогда ОА₁₂=x_А; АА₁=А₂А₁₂=z_А; АА₂=А₁А₁₂=y_А, где z_А и y_А - соответственно координаты, определяющие расстояния от точки А до плоскостей проекций П₁ и П₂.
2.1. Проекции точки
2.1.1. Комплексный двухкартинный чертеж точки.

Плоскости П₁ и П₂ принято называть горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций, а проекции точек и других геометрических фигур на эти плоскости - соответственно горизонтальными и фронтальными проекциями.

Пространственная модель плоскостей проекций с заданными на них горизонтальной и фронтальной проекциями А₁ и А₂ точки А (рис. 2.2) хотя и определяет положение точки А в пространстве, но неудобна в использовании. Для того, чтобы превратить пространственную систему плоскостей проекций в плоскую фигуру, совмещаем плоскости проекций. При этом плоскость П₁, вращаясь вокруг оси x, опускается вниз до совмещения с плоскостью П₂. На рис. 2.3 изображены совмещенные плоскости проекций

и проекции точек на них.

Совмещенные плоскости проекций изображаются с помощью проекций осей координат - оси x₁₂, представляющей собой слившиеся горизонтальную и фронтальную проекции оси x, оси z₂ - фронтальной проекции оси z , и оси y₁ - горизонтальной проекции оси y. Оси z₂ и y₁ расположены вертикально по одной прямой и по разные стороны от точки О. В ряде случаев оси z₂ и y₁ не обозначают (рис. 2.4).

Поле чертежа представляет собой проекции совмещенных плоскостей проекций, а весь чертеж является моделью трехмерного пространства.

Вместе с проекциями А₁, А₂ точки А и прямой, связывающей эти проекции, рис. 2.3 и рис. 2.4 каждый представляют собой двухкартинный комплексный чертеж точки (эпюр точки).

Впервые описал и обосновал комплексный чертеж точки, применяя совмещение плоскостей проекций, известный французский ученый Гаспар Монж, который жил и творил во времена Великой Французской революции.

Труд «Начертательная геометрия» был написан Монжем в 1775 году. В те времена метод Монжа было военной тайной, так как этот метод давал большие преимущества французской промышленности. Монжу разрешили опубликовать свой труд только в 1795 году, через 20 лет.

Метод изображения с помощью совмещения плоскостей проекций вошел в историю техники как метод Монжа.

Отличительной особенностью комплексного чертежа точки является то, что горизонтальная и фронтальная проекции точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к горизонтальной оси x₁₂ эпюра. Действительно, порознь имеет место А₁Аx₁x₁ и А₂Аx₂x₂, но так как горизонтальная и фронтальная проекции оси x₁ и x₂ совпадают, образуя x₁₂, и проекции точки Аx₁ и Аx₂ совпадают, образуя А₁₂, а при вращении П₁ вокруг оси x отрезки А₁Аx₁ и А₂Аx₂ не меняют своего положения по отношению к одноименным проекциям оси x, то после совмещения получается, что из одной точки А₁₂ слившихся проекций оси x₁₂ выходят два отрезка А₁₂А₂ и А₁₂А₁ , порознь перпендикулярные к этой оси. Следовательно, эти отрезки лежат на одной прямой.

Перпендикуляр к оси эпюра, связывающий проекции А₁ и А₂, называется линией проекционной связи.

Комплексный чертеж точки вполне определяет ее положение в пространстве.