Никифоров_учебное пособие. московский государственный университет дизайна и технологии
![]()
|
1.2.4. Свойства параллельных проекций. Рассмотрим некоторые свойства параллельных проекций. Точка в натуре проецируется в точку на плоскость проекций. Это свойство вытекает из правил построения в методе проекций. Прямая в натуре, в общем случае, проецируется в прямую на плоскость проекций. Если прямая направлена вдоль проецирующего луча, то ее проекцией будет точка. Для того, чтобы спроецировать прямую, необходимо взять все ее точки и каждую спроецировать на плоскость проекций. Множество полученных проекций точек будет представлять собой проекцию прямой. Возьмем на прямой АВ (рис. 1.7) точки С1, С2 и С3 и спроецируем их на плоскость ПN параллельно некоторому заданному направлению. Образовавшееся множество лучей представляет собой плоскость, так как все лучи пересекают прямую АВ и остаются параллельными некоторому направлению. П ![]() Инцидентность – взаимная принадлежность. Если точка лежит на прямой, то проекции точки лежат на проекциях прямой. Доказательство: пусть на прямой АВ (рис. 1.7) даны точки С1, С2 и С3. Проецирующие лучи, проходящие через эти точки, лежат в проецирующей плоскости Σ и пересекаются с проекцией прямой АN BN в точках ![]() ![]() ![]() Эти три свойства относятся также и к центральной системе проецирования. Деление отрезка в данном отношении. Если точка делит отрезок в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении. Доказательство: пусть точка С1 (рис. 1.7) делит отрезок АВ в отношении ![]() Проецирующие лучи ААN, С1С ![]() ![]() Проекции параллельных прямых. Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции также параллельны (рис. 1.8). Доказательство: прямые АВ и CD проецируются с помощью проецирующих плоскостей Σ и Т, но Σ║Т, т. к. АВ║CD по условию и ААN║ССN- по построению. Известно, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то образуются параллельные прямые. Здесь две параллельные плоскости Σ и Т пересекаются плоскостью проекций ПN и образуются параллельные прямые (АNВN║CNDN). П ![]() ![]() ![]() Так же доказывается теорема относительно любой плоской кривой и любой плоской фигуры. Частный случай проецирования прямого линейного угла. Если плоскость угла не параллельна плоскости проекций, то в общем случае угол проецируется с искажением. В ![]() ![]() ![]() Пусть АВ проецируется с помощью плоскости Σ, а ВС - с помощью плоскости Т, тогда: 1) ВС ![]() ![]() ![]() 2) ВNСN ![]() ![]() 3) ВNСN ![]() 1.2.5. Проецирующие геометрические фигуры. Это геометрические фигуры, образованные проецирующими лучами. Проецирующими геометрическими фигурами могут быть: - прямые - проецируют точки; - плоскости - проецируют прямые линии и плоские фигуры; - цилиндрические поверхности в параллельной системе проецирования и конические поверхности в центральной системе проецирования - проецируют пространственные кривые линии и пространственные фигуры. Основное свойство проецирующей геометрической фигуры заключается в том, что точки, прямые или кривые линии, плоские и пространственные фигуры, расположенные на проецирующей геометрической фигуре, проецируются на линию пересечения этой фигуры с плоскостью проекций. Эта линия называется следом данной проецирующей геометрической фигуры или ее главной проекцией. На рис. 1.11 показаны проецирующие геометрические фигуры в ортогональной системе проецирования: проецирующая прямая а, проецирующая плоскость Σ и проецирующая цилиндрическая поверхность Ф. П ![]() 1.2.6. Дополнения однокартинного чертежа. Ранее было показано, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве. Для того, чтобы чертеж был полным и обратимым, т.е. для того, чтобы по чертежу можно было представить положение точки в пространстве, применяются разные способы. Способ числовых отметок. Около проекции точки ставится число, выражающее в некоторых линейных единицах расстояние данной точки от плоскости проекций. На рис. 1.12 даны проекции различных геометрических фигур с числовыми отметками. ![]() ПN ![]() Около проекции точки А стоит цифра 20. Это означает, что точка А отстоит от плоскости проекций на расстоянии 20 линейных единиц. Концы отрезка ВС отстоят от плоскости на расстояниях 15 и 30, вершины треугольника DEF- на расстояниях соответственно 0, 10 и 25. Кривая поверхность задана кривыми линиями, принадлежащими поверхности и параллельными плоскости проекций (горизонталями, если плоскость ПN горизонтальна). Около каждой горизонтали стоит число, выражающее ее расстояние от плоскости ПN. С помощью горизонталей изображается рельеф земной поверхности на топографических картах и сложные кривые поверхности, в том числе поверхности манекена и обувной колодки. Способ применения двух плоскостей проекций. Точка проецируется на две плоскости проекций П1 и П2 (рис. 1.13). При ортогональном проецировании принято располагать плоскости проекций перпендикулярно друг другу (П1 ![]() П ![]() Линия пересечения плоскостей проекций обозначается буквой х, около которой ставятся индексы плоскостей, линией пересечения которых она является, т.е. х12. Вторая плоскость проекций П2 является дополнением однокартинного чертежа на П1. Если даны проекции точек А1 и А2 на П1 и П2, то всегда можно определить положение точки в пространстве на пересечении перпендикуляров, восстановленных к плоскостям проекций из этих точек. Таким образом, проекции точки на две взаимноперпендикулярные плоскости проекций дают полное представление о положении точки в пространстве. Способ дополнения однокартинного чертежа с помощью второй плоскости проекций в настоящее время принят в технике как основной. 2. Ортогональные проекции геометричЕских фигур Как было показано ранее, проекцией точки при ортогональном проецировании называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекций. Число, выражающее длинуэтого перпендикуляра от точки до ее проекции, называется координатой точки. Поэтому пространственная модель ортогонального проецирования точки на две или на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций совпадает с прямоугольной системой декартовых координат. В методе ортогонального проецирования положение точки определяется двумя проекциями (изображениями), а в методе прямоугольных координат тремя координатами (числами). П ![]() 2.1. Проекции точки 2.1.1. Комплексный двухкартинный чертеж точки. Плоскости П1 и П2 принято называть горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций, а проекции точек и других геометрических фигур на эти плоскости - соответственно горизонтальными и фронтальными проекциями. П ![]() ![]() Совмещенные плоскости проекций изображаются с помощью проекций осей координат - оси x12, представляющей собой слившиеся горизонтальную и фронтальную проекции оси x, оси z2 - фронтальной проекции оси z , и оси y1 - горизонтальной проекции оси y. Оси z2 и y1 расположены вертикально по одной прямой и по разные стороны от точки О. В ряде случаев оси z2 и y1 не обозначают (рис. 2.4). П ![]() Вместе с проекциями А1, А2 точки А и прямой, связывающей эти проекции, рис. 2.3 и рис. 2.4 каждый представляют собой двухкартинный комплексный чертеж точки (эпюр точки). Впервые описал и обосновал комплексный чертеж точки, применяя совмещение плоскостей проекций, известный французский ученый Гаспар Монж, который жил и творил во времена Великой Французской революции. Труд «Начертательная геометрия» был написан Монжем в 1775 году. В те времена метод Монжа было военной тайной, так как этот метод давал большие преимущества французской промышленности. Монжу разрешили опубликовать свой труд только в 1795 году, через 20 лет. Метод изображения с помощью совмещения плоскостей проекций вошел в историю техники как метод Монжа. Отличительной особенностью комплексного чертежа точки является то, что горизонтальная и фронтальная проекции точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к горизонтальной оси x12 эпюра. Действительно, порознь имеет место А1Аx1 ![]() ![]() Перпендикуляр к оси эпюра, связывающий проекции А1 и А2, называется линией проекционной связи. Комплексный чертеж точки вполне определяет ее положение в пространстве. |