Никифоров_учебное пособие. московский государственный университет дизайна и технологии

• Название: московский государственный университет дизайна и технологии
• Анкор: Никифоров_учебное пособие.doc
• Дата: 11.05.2017
• Размер: 17.89 Mb.
• Имя файла: Никифоров_учебное пособие.doc
• Тип: Учебное пособие; #7451
• страница: 5 из 10

2.4.2. Каркас поверхности. Если построить некоторое количество образующих по описанному в алгоритме определителя способу, то получим каркас или сеть поверхности (рис. 2.36).

Изображенный на рис. 2.36, а каркас называется однопараметрическим, т.к. он состоит из линий, принадлежащих одному семейству. Это дискретный каркас, он состоит из конечного числа линий.

Можно представить себе и непрерывный каркас образующих. Непрерывный каркас – это множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит только одна линия каркаса.

На одной и той же поверхности, в зависимости от определителя, можно представить себе и другие каркасы. Если в определителе цилиндрической поверхности образующую и направляющую поменять местами и считать, что кривая а будет образующей, которая движется параллельно самой себе и все время пересекает направляющую l, то получится другой однопараметрический каркас (рис. 2.36, б).

Если на поверхности построить два каркаса, то получится двупараметрический каркас (рис. 2.36, в). Через каждую точку поверхности, заданной двупараметрическим каркасом, проходят две линии каркаса.




2.4.3. Задание поверхности, не имеющей определителя. Существуют незакономерные поверхности, к которым относятся манекен, обувная колодка, кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса морских и речных судов, рельеф земной поверхности и др. Такие поверхности называются графическими и задаются дискретным каркасом. Чаще всего линии этого каркаса представляют собой плоские кривые, параллельные какой-либо плоскости проекций. Если плоскости линий каркаса параллельны горизонтальной плоскости проекций, то такие линии называются горизонтальными.

2.4.4. Очерк поверхности. Линия пересечения проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность, с плоскостью проекций называется очерком поверхности. На рис. 2.37 показано проецирование сферы Т на плоскость П₁. Множество горизонтально-проецирующих лучей, касательных к поверхности сферы, образуют огибающую горизонтально–проецирующую цилиндрическую поверхность Ф. Линия пересечения Ф и П₁ представляет собой горизонтальный очерк поверхности – окружность а₁.

Очерковой линией повер-хности называется линия, по которой огибающая проеци-рующая поверхность касается данной поверхности. В нашем случае очерковой линией будет большая окружность сферы а (экватор).

Изображения поверхнос-тей, заданных определителем, не всегда наглядны. Более наглядны изображения поверхностей с помощью очерков. Очерк поверхности почти всегда включает в себя ее определитель. При построении проекций точки, лежащей на поверхности, изображенной очерком, необходимо сначала выделить проекции определителя, а потом, пользуясь алгоритмом определителя, построить проекции точки.

На рис. 2.38, а поверхность наклонного эллиптического цилиндра задана определителем, а на рис. 2.38, б очерком. Горизонтальный очерк представляет собой линию, состоящую из отрезков прямых и кривых ; фронтальный очерк представляет собой параллелограмм .

Образующие горизонтального очерка и и образующие фронтального очерка и не совпадают друг с другом. Из проекций очерка можно выделить геометрическую часть определителя, которая будет состоять из эллипса и какой-нибудь образующей, например .

2.4.5. Проекции плоскостей. Плоскость можно рассматривать как частный случай поверхности. Плоскость Σ может быть образована за счет движения прямолинейной образующей l параллельно самой себе, при этом образующая пересекает все точки направляющей прямой а (рис. 2.39). Определитель плоскости в этом случае имеет вид: Σ(а, l).

Из геометрии известно, что плоскости вполне определяются:

1) Тремя точками А, В и С, не лежащими на одной прямой (рис.2.40, а).

2) Прямой а и точкой А вне её (рис. 2.40, б).

3) Двумя параллельными прямыми а и b (рис. 2.40, в).

4) Двумя пересекающимися прямыми а и b (рис. 2.40, г).

Задание плоскости пересекающимися прямыми а и b (рис. 2.40, г) можно рассматривать, как универсальный способ задания плоскости, так как все остальные можно привести к нему. Так, например, если плоскость задана тремя точками А, В и С (рис. 2.40, а), то, соединяя точки А с В и В с С, получаем пересекающиеся прямые АВ и ВС.



2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве. По расположению относительно плоскостей проекций плоскости можно разбить на три вида:

1) плоскости общего положения – плоскости, не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций;

2) плоскости проецирующие – плоскости, перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций;

3) плоскости уровня – плоскости, параллельные какой-либо одной плоскости проекций и перпендикулярные двум другим.

Рассмотрим некоторые особенности каждого из перечисленных видов плоскостей.

Плоскости общего положения. На рис. 2.40 изображены плоскости общего положения. Для этих плоскостей характерно, что задающие их элементы (точки, прямые и др.) ни на одной проекции не сливаются в прямую линию, т.е. не лежат на одной прямой.

На рис. 2.41 задана плоскость Σ() и одна проекция А₂ точки А, принадлежащей плоскости Σ. Будем считать, что а – направляющая, а b - образующая плоскости Σ. Помня, что все образующие параллельны между собой и все пересекаются с направляющей, выполним следующие построения:

1) Через точку А₂ проведем проекцию образующей m₂║b₂ и построим точку К₂ пересечения m₂ с а₂ (этап 1).

2) На линии связи и на а₁ находим К₁ (этап 2).

3) Через К₁ проводим m₁║b₁ (этап 3).

4) С помощью линии связи на m₁ находим А₁ (этап 4).

В данном построении образующая m₁, лежащая в плоскости Σ, строилась по точке и известному направлению. Однако при построении точки, лежащей в плоскости, можно воспользоваться не только образующей, лежащей в плоскости. На рис. 2.42 горизонтальная проекция точки А построена с помощью произвольной прямой. При этом выполнены построения:

1) Через заданную проекцию А₂ проводим произвольную прямую m₂ и, считая, что m лежит в плоскости Σ(), отмечаем точки ее пересечения К₂ и М₂ с а₂ и b₂ (этап 1).

2) Строим К₁ и М₁ на а₁ и b₁ с помощью линий связи (этап 2).

3) Соединим К₁ и М₁ и получим m₁ (этап 3).

4) На m₁ с помощью линии связи находим А₁ (этап 4).

Очевидно, для того, чтобы в плоскости построить точку, необходимо в этой плоскости провести прямую и затем на прямой взять точку. При этом прямая расположена в плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости.

Проецирующие плоскости. Различают три вида проецирующих плоскостей:

1. 
   Горизонтально-проецирующие, перпендикулярные П₁.
   
2. 
   Фронтально-проецирующие, перпендикулярные П₂.
   
3. 
   Профильно-проецирующие, перпендикулярные П₃.
   

При изображении проецирующих плоскостей надо иметь в виду, что одноименная проекция такой плоскости всегда вырождается в прямую, как было показано ранее. Эта прямая называется главной проекцией или следом проецирующей плоскости; эту проекцию также называют вырожденной. Для того, чтобы отличать проецирующую плоскость от прямой, главную проекцию проецирующей плоскости на чертеже часто изображают с утолщением конца.

На рис. 2.43, а показано наглядное изображение произвольной горизонтально-проецирующей плоскости Σ (а║b) и ее главной проекции Σ₁. Комплексный чертеж этой плоскости приведен на рис.2.43, б. На главную проекцию плоскости проецируются все точки, лежащие в плоскости.



Фронтально-проецирующая плоскость Т(сd) изображена на рис. 2.44, а, профильно-проецирующая плоскость Г (е f) - на рис. 2.44, б и профильно-проецирующая плоскость Р (а ║ b ) - на рис. 2.44, в.



Благодаря проецирующему свойству проецирующие плоскости можно задавать одной своей главной проекцией (следом, вырожденной проекцией). На рис. 2.45 задана фронтально-проецирующая плоскость Σ.

Из стереометрии известно, что плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Поэтому в каждой проецирующей плоскости можно построить одноименную проецирующую прямую. На рис. 2.43, б в плоскости Σ (а║b) построена горизонтально-проецирующая прямая с. На рис. 2.44, а в плоскости Т (с d) построена фронтально-проецирующая прямая f .

В плоскостях Г (е f) (рис. 2.44, б) и Р (а ║ b ) (рис. 2.44, в) есть прямые, перпендикулярные П₃ . Следовательно, эти плоскости являются профильно-проецирующими. Таким образом, профильно-проецирующие плоскости можно задавать только проекциями на П₁ и П₂.

Вопрос о принадлежности точки и прямой к проецирующей плоскости решается проще, чем у плоскости общего положения. Проекция точки или прямой всегда находится в главной проекции плоскости, выродившейся в линию. Так, на рис.2.46, а показаны проекции точки А, а на рис. 2.46, б - прямой а, принадлежащих соответственно горизонтально- проецирующей плоскости Σ и фронтально-проецирующей плоскости Т.

Плоскости уровня. Различают три вида плоскостей уровня:

1) Горизонтальная плоскость, параллельная П₁ и перпендикулярная П₂ и П₃.

2) Фронтальная плоскость, параллельная П₂ и перпендикулярная П₁ и П₃.

3) Профильная плоскость, параллельная П₃ и перпендикулярная П₁ и П₂.

Плоскости уровня можно назвать дважды проецирующими, т. к. каждая из них перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

Из проецирующего свойства вытекает, что плоскости уровня проецируются в линии, каждая на двух плоскостях проекций. На рис. 2.47 дано наглядное изображение горизонтальной плоскости уровня Σ. Характерной особенностью чертежей плоскостей уровня является параллельность главной (вырожденной) проекции плоскости одной из осей чертежа. На рис. 2.47 Σ║ П₁ и Σ П₂, Σ П₃. Докажем, что Σ₂║ х₁₂.

Известно, что если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то образуются параллельные прямые. При пересечении П₂ и П₁ образуется ось х₁₂. При пересечении П₂ с Σ образуется ее главная проекция Σ₂. Точно также доказывается, что Σ₃║ у₃.

Горизонтальная плоскость Г (а b) представлена на рис. 2.48, а, фронтальная плоскость Т (а ║ b) - на рис. 2.48, б, профильная плоскость Ω (∆ АВС) - на рис. 2.48, в.



2.4.7. Примеры на инцидентность. Рассмотрим несколько задач на взаимную принадлежность точки и прямой плоскости.

1) Через точку А провести плоскость общего положения Σ (а b), где а ║ П₁ и b ║ П₂ (рис. 2.49, а).

Решение: через точку А(А₁, А₂) проводим проекции горизонтали а ║ П₁ и фронтали b ║ П₂. Возможны и другие варианты. Так, через точку А можно провести горизонталь или фронталь и пересечь ее прямой общего положения. Можно также через точку А провести две прямые общего положения. Однако в этом случае необходимо осуществить проверку на отсутствие в полученной плоскости профильно-проецирующих прямых, наличие которых указывает на получение профильно-проецирующей плоскости.

2) Заключить прямую а(а₁, а₂) общего положения в горизонтально- проецирующую плоскость Σ, задав ее своей главной проекцией Σ₁ (рис. 2.49, б).

Решение: проводим главную проекцию Σ₁ совпадающую с горизонтальной проекцией а₁.

3) Построить горизонтальную проекцию прямой b общего положения, пересекающейся с прямой а, чтобы обе прямые принадлежали горизонтально-проецирующей плоскости Т (рис. 2.49, в).

Решение: проводим фронтальную проекцию прямой b так, чтобы b₂ не была параллельна или перпендикулярна х₁₂, а горизонтальная проекция b₁ совпадала с а₁. Главная проекция Т₁ плоскости Т в этом случае совпадает с горизонтальными проекциями пересекающихся прямых а и b.

4) Пересечь прямую а прямой частного положения d так, чтобы обе прямые были заключены в горизонтально-проецирующую плоскость Г (рис. 2.49, г).

Решение: Прямую а в любом месте пересекаем горизонтально-проецирующей прямой d. Главная проекция Г₁ горизонтально-проецирующей плоскости Г совпадает с горизонтальными проекциями а₁ и d₁ прямых.
5) Заключить прямую а в профильно-проецирующую плоскость Ψ (рис. 2.50, а).



Решение: в простейшем случае пересекаем прямую а профильно- проецирующей прямой b П₃. Две пересекающиеся прямые а и b образуют профильно-проецирующую плоскость Ψ, т. к. если в плоскости имеется перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны между собой.

6) Через точку А провести горизонтально-проецирующую плоскость Σ (рис.2.50, б).

Решение: через точку А₁ произвольно, но не перпендикулярно и не параллельно х₁₂ проводим главную проекцию Σ₁плоскости Σ.

7) Через точку В провести горизонтальную плоскость уровня Т (рис. 2.50, в).

Решение: через точку В₂ проводим главную проекцию Т₂ плоскости Т параллельно х₁₂.