Никифоров_учебное пособие. московский государственный университет дизайна и технологии
![]()
|
2.4.2. Каркас поверхности. Если построить некоторое количество образующих по описанному в алгоритме определителя способу, то получим каркас или сеть поверхности (рис. 2.36). Изображенный на рис. 2.36, а каркас называется однопараметрическим, т.к. он состоит из линий, принадлежащих одному семейству. Это дискретный каркас, он состоит из конечного числа линий. Можно представить себе и непрерывный каркас образующих. Непрерывный каркас – это множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит только одна линия каркаса. На одной и той же поверхности, в зависимости от определителя, можно представить себе и другие каркасы. Если в определителе цилиндрической поверхности образующую и направляющую поменять местами и считать, что кривая а будет образующей, которая движется параллельно самой себе и все время пересекает направляющую l, то получится другой однопараметрический каркас (рис. 2.36, б). Если на поверхности построить два каркаса, то получится двупараметрический каркас (рис. 2.36, в). Через каждую точку поверхности, заданной двупараметрическим каркасом, проходят две линии каркаса. ![]() 2.4.3. Задание поверхности, не имеющей определителя. Существуют незакономерные поверхности, к которым относятся манекен, обувная колодка, кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса морских и речных судов, рельеф земной поверхности и др. Такие поверхности называются графическими и задаются дискретным каркасом. Чаще всего линии этого каркаса представляют собой плоские кривые, параллельные какой-либо плоскости проекций. Если плоскости линий каркаса параллельны горизонтальной плоскости проекций, то такие линии называются горизонтальными. 2.4.4. Очерк поверхности. Линия пересечения проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность, с плоскостью проекций называется очерком поверхности. На рис. 2.37 показано проецирование сферы Т на плоскость П1. Множество горизонтально-проецирующих лучей, касательных к поверхности сферы, образуют огибающую горизонтально–проецирующую цилиндрическую поверхность Ф. Линия пересечения Ф и П1 представляет собой горизонтальный очерк поверхности – окружность а1. О ![]() Изображения поверхнос-тей, заданных определителем, не всегда наглядны. Более наглядны изображения поверхностей с помощью очерков. Очерк поверхности почти всегда включает в себя ее определитель. При построении проекций точки, лежащей на поверхности, изображенной очерком, необходимо сначала выделить проекции определителя, а потом, пользуясь алгоритмом определителя, построить проекции точки. На рис. 2.38, а поверхность наклонного эллиптического цилиндра задана определителем, а на рис. 2.38, б очерком. Горизонтальный очерк представляет собой линию, состоящую из отрезков прямых и кривых ![]() ![]() Образующие горизонтального очерка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2 ![]() Из геометрии известно, что плоскости вполне определяются: 1) Тремя точками А, В и С, не лежащими на одной прямой (рис.2.40, а). 2) Прямой а и точкой А вне её (рис. 2.40, б). 3) Двумя параллельными прямыми а и b (рис. 2.40, в). 4) Двумя пересекающимися прямыми а и b (рис. 2.40, г). Задание плоскости пересекающимися прямыми а и b (рис. 2.40, г) можно рассматривать, как универсальный способ задания плоскости, так как все остальные можно привести к нему. Так, например, если плоскость задана тремя точками А, В и С (рис. 2.40, а), то, соединяя точки А с В и В с С, получаем пересекающиеся прямые АВ и ВС. ![]() 2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве. По расположению относительно плоскостей проекций плоскости можно разбить на три вида: 1) плоскости общего положения – плоскости, не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций; 2) плоскости проецирующие – плоскости, перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций; 3) плоскости уровня – плоскости, параллельные какой-либо одной плоскости проекций и перпендикулярные двум другим. Рассмотрим некоторые особенности каждого из перечисленных видов плоскостей. П ![]() На рис. 2.41 задана плоскость Σ( ![]() 1) Через точку А2 проведем проекцию образующей m2║b2 и построим точку К2 пересечения m2 с а2 (этап 1). 2) На линии связи и на а1 находим К1 (этап 2). 3) Через К1 проводим m1║b1 (этап 3). 4) С помощью линии связи на m1 находим А1 (этап 4). В данном построении образующая m1, лежащая в плоскости Σ, строилась по точке и известному направлению. Однако при построении точки, лежащей в плоскости, можно воспользоваться не только образующей, лежащей в плоскости. На рис. 2.42 горизонтальная проекция точки А построена с помощью произвольной прямой. При этом выполнены построения: 1 ![]() ![]() 2) Строим К1 и М1 на а1 и b1 с помощью линий связи (этап 2). 3) Соединим К1 и М1 и получим m1 (этап 3). 4) На m1 с помощью линии связи находим А1 (этап 4). Очевидно, для того, чтобы в плоскости построить точку, необходимо в этой плоскости провести прямую и затем на прямой взять точку. При этом прямая расположена в плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости. Проецирующие плоскости. Различают три вида проецирующих плоскостей:
При изображении проецирующих плоскостей надо иметь в виду, что одноименная проекция такой плоскости всегда вырождается в прямую, как было показано ранее. Эта прямая называется главной проекцией или следом проецирующей плоскости; эту проекцию также называют вырожденной. Для того, чтобы отличать проецирующую плоскость от прямой, главную проекцию проецирующей плоскости на чертеже часто изображают с утолщением конца. На рис. 2.43, а показано наглядное изображение произвольной горизонтально-проецирующей плоскости Σ (а║b) и ее главной проекции Σ1. Комплексный чертеж этой плоскости приведен на рис.2.43, б. На главную проекцию плоскости проецируются все точки, лежащие в плоскости. ![]() ![]() Фронтально-проецирующая плоскость Т(с ![]() ![]() ![]() ![]() Благодаря проецирующему свойству прое ![]() ![]() Из стереометрии известно, что плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Поэтому в каждой проецирующей плоскости можно построить одноименную проецирующую прямую. На рис. 2.43, б в плоскости Σ (а║b) построена горизонтально-проецирующая прямая с. На рис. 2.44, а в плоскости Т (с ![]() В плоскостях Г (е ![]() В ![]() Плоскости уровня. Различают три вида плоскостей уровня: 1) Горизонтальная плоскость, параллельная П1 и перпендикулярная П2 и П3. 2) Фронтальная плоскость, параллельная П2 и перпендикулярная П1 и П3. 3) Профильная плоскость, параллельная П3 и перпендикулярная П1 и П2. Плоскости уровня можно назвать дважды проецирующими, т. к. каждая из них перпендикулярна к двум плоскостям проекций. И ![]() ![]() ![]() Известно, что если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то образуются параллельные прямые. При пересечении П2 и П1 образуется ось х12. При пересечении П2 с Σ образуется ее главная проекция Σ2. Точно также доказывается, что Σ3║ у3. Горизонтальная плоскость Г (а ![]() ![]() ![]() 2.4.7. Примеры на инцидентность. Рассмотрим несколько задач на взаимную принадлежность точки и прямой плоскости. 1) Через точку А провести плоскость общего положения Σ (а ![]() Решение: через точку А(А1, А2) проводим проекции горизонтали а ║ П1 и фронтали b ║ П2. Возможны и другие варианты. Так, через точку А можно провести горизонталь или фронталь и пересечь ее прямой общего положения. Можно также через точку А провести две прямые общего положения. Однако в этом случае необходимо осуществить проверку на отсутствие в полученной плоскости профильно-проецирующих прямых, наличие которых указывает на получение профильно-проецирующей плоскости. 2) Заключить прямую а(а1, а2) общего положения в горизонтально- проецирующую плоскость Σ, задав ее своей главной проекцией Σ1 (рис. 2.49, б). Решение: проводим главную проекцию Σ1 совпадающую с горизонтальной проекцией а1. 3) Построить горизонтальную проекцию прямой b общего положения, пересекающейся с прямой а, чтобы обе прямые принадлежали горизонтально-проецирующей плоскости Т (рис. 2.49, в). Решение: проводим фронтальную проекцию прямой b так, чтобы b2 не была параллельна или перпендикулярна х12, а горизонтальная проекция b1 совпадала с а1. Главная проекция Т1 плоскости Т в этом случае совпадает с горизонтальными проекциями пересекающихся прямых а и b. 4) Пересечь прямую а прямой частного положения d так, чтобы обе прямые были заключены в горизонтально-проецирующую плоскость Г (рис. 2.49, г). Р ![]() 5) Заключить прямую а в профильно-проецирующую плоскость Ψ (рис. 2.50, а). ![]() Решение: в простейшем случае пересекаем прямую а профильно- проецирующей прямой b ![]() 6) Через точку А провести горизонтально-проецирующую плоскость Σ (рис.2.50, б). Решение: через точку А1 произвольно, но не перпендикулярно и не параллельно х12 проводим главную проекцию Σ1плоскости Σ. 7) Через точку В провести горизонтальную плоскость уровня Т (рис. 2.50, в). Решение: через точку В2 проводим главную проекцию Т2 плоскости Т параллельно х12. |