Никифоров_учебное пособие. московский государственный университет дизайна и технологии

• Название: московский государственный университет дизайна и технологии
• Анкор: Никифоров_учебное пособие.doc
• Дата: 11.05.2017
• Размер: 17.89 Mb.
• Имя файла: Никифоров_учебное пособие.doc
• Тип: Учебное пособие; #7451
• страница: 6 из 10

2.4.8. Параллельность прямой и плоскости. Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости. Пусть, например, через точку М необходимо провести прямую d общего положения параллельно плоскости, заданной в виде треугольника - Σ (АВС) (рис. 2.51).

Решение: в плоскости Σ(АВС) проводим произвольную прямую общего положения ED(E₁D₁,E₂D₂). Далее через точку М₁проводим горизонтальную проекцию d₁║ E₁D₁ и фронтальную проекцию d₂║E₂D₂ прямой d.

Если через точку К необходимо провести горизонталь b параллельно плоскости Σ (АВС), то построения следует выполнять в следующей последовательности:

1) Строим фронтальную проекцию A₂D₂ горизонтали AD параллельно оси х₁₂.

2) В проекционной связи находим горизонтальную проекцию A₁D₁.

3) Через точки К₁ и К₂ проводим проекции b₁║ A₁D₁ и b₂ ║ A₂D₂искомой горизонтали b. Следует отметить, что вовсе не обязательно горизонталь проводить через точку А, в чем рекомендуем читателю убедиться.

2.4.9. Параллельные плоскости. Для построения параллельных плоскостей используем признак их параллельности, известный из стереометрии: «Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости».

Пусть требуется через точку К (рис. 2.52) провести плоскость Σ (а b) параллельно плоскости Т (с d). Для решения задачи через точку К проводим а ║ с так, чтобы а₁║ с₁ и а₂║ с₂, и b ║ d, чтобы b₁ ║ d₁ и b₂ ║ d₂.

На рис. 2.53 рассмотрена задача, когда требуется прямые а и b заключить в пару параллельных плоскостей. Условие задачи дано на рис. 2.53, а. Для решения ее возьмем на прямых а и b произвольные точки К и М (рис. 2.53, б). Далее через точку К проводим прямую с ║ b, а через точку М прямую d ║ а. В результате получим параллельные плоскости Σ (а с) и Т (b d), т. к. две пересекающиеся прямые а и с плоскости Σ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым b и d плоскости Т.

2.4.10. Построение проекций плоскости при замене плоскостей проекций.Для того, чтобы построить проекции плоскости при замене плоскости проекций, плоскость должна быть задана тремя точками. При построениях каждая точка, задающая плоскость, преобразуется подобно рассмотренному ранее при замене плоскостей проекций. На рис. 2.54 показано преобразование плоскости при произвольной замене плоскости проекций П₂ на П₄.

Самое сложное положение плоскости в пространстве – плоскость общего положения, более простое – проецирующая плоскость и самое простое - плоскость уровня. При решении задач плоскость обычно ставят из более сложного положения в более простое. Таким образом, ряд преобразований плоскости имеет вид: плоскость общего положения → плоскость проецирующая → плоскость уровня.

Сделаем первое преобра-зование. Пусть дана плоскость общего положения Σ(АВС) (рис. 2.55), и ее необходимо преобразовать во фронтально- проецирующую. В проецирующей плоскости всегда содержится проецирующая прямая. Любую прямую способом замены плоскостей проекций можно преобразовать в проецирующую: прямую общего положения - с помощью двух преобразований, прямую уровня – с помощью одного преобразования.



Для решения задачи выполним первое преобразование. Для этого:

1) В плоскости Σ(АВС) строим горизонталь АЕ (А₂Е₂, А₁Е₁).

2) Ставим АЕ в проецирующее положение, заменив П₂ на П₄ , причем х₁₄ А₁Е₁.

3) Проецируем треугольник на новую плоскость П₄. При этом в системе П₁–П₄ треугольник АВС - проецирующий. Его новая фронтальная проекция А₄В₄С₄ представляет собой прямую.

Выполним второе преобразование. В системе П₁–П₄ (рис. 2.53) Σ (ABC) - фронтально–проецирующая плоскость, и ее необходимо преобразовать в плоскость уровня. Любая плоскость уровня параллельна одной плоскости проекций и перпендикулярна двум другим. В данном случае Σ (АВС) П₄. Поэтому, если заменить П₁ на П₅, поставив П₅ ║ Σ (АВС), то в системе П₄–П₅ плоскость Σ (АВС) станет плоскостью уровня.

Произведем построения. Для этого:

1. 
   Проведем ось х₄₅ ║ Σ₄.
   

2) В системе П₄–П₅ строим проекции точек А₅, В₅ и С₅. Проекция треугольника А₅В₅С₅ представляет его натуральную величину, т. к. плоскость Σ (АВС) ║ П₅. При преобразовании плоскости общего положения в положение уровня выполнено два последовательных преобразования. Сначала заменена одна плоскость проекций, затем другая.

2.4.11. Классификация поверхностей. Произведем классификацию поверхностей по двум признакам:

По форме образующей:

1) Прямолинейную образующую имеют плоскости, многогранные поверхности и линейчатые кривые поверхности.

2) Криволинейную образующую, неизменяемую и изменяемую, - все остальные кривые поверхности.

По развертываемости поверхности на плоскость:

1) Развертываемые.

2) Неразвертываемые.

Развертыванием называется такая изометрическая деформация поверхности, при которой она может быть совмещена с плоскостью.

Изометрическую деформацию поверхности называют изгибанием. При изгибании отрезки линий, расположенных на поверхности, не меняют своей длины. Если поверхность может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов, то она развертываемая. Большинство поверхностей не совмещаемы с плоскостью без складок и разрывов и называются неразвертываемыми.

Развертываемыми являются многогранные поверхности и часть линейчатых – цилиндрические, конические и торсовые. О развертываемости плоскости говорить не приходится – она может быть совмещена с любой плоскостью.

Рассмотрим особенности построения изображений отдельных видов поверхностей.

2.4.12. Многогранные поверхности и многогранники. Принято считать ,что многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

Поверхностью многогранного угла называется поверхность, ребра и грани которой пересекаются в одной точке (вершине). Если пересечь поверхность многогранного угла плоскостью, то образуется геометрическая фигура – пирамида.

Поверхность многогранного угла можно получить движением образующей прямой, которая все время проходит через вершину угла и в то же время скользит по направляющему многоугольнику.

Если вершину многогранного угла отнести в бесконечность, то ребра поверхности станут параллельными, и образуется призматическая поверхность.

Если ограничить призматическую поверхность двумя параллельными плоскими основаниями, то образуется геометрическая фигура – призма.

Определитель многогранной поверхности включает в себя направляющий многоугольник, вершину для многогранного угла и какое–либо ребро для призматической поверхности.

На рис. 2.56 показана поверхность многогранного угла Ф (ABCD, S) в пространственном изображении с направляющим четырехугольником ABCD и вершиной S. На рис. 2.56, а дан определитель поверхности. На рис. 2.56, б построен каркас поверхности.

+

На рис. 2.57, а показана призматическая поверхность Ф (АВС, l) в пространственном изображении с направляющим треугольником АВС и образующей l; на рис. 2.57, б показана призма.

Определителем пирамиды может быть ее основание и вершина. Определителем призмы – ее основание и одно боковое ребро или одна вершина другого основания.

При изображении многогранников их стараются расположить так, чтобы на проекциях их ребра и грани проецировались по возможности без искажения или с наименьшими искажениями.

Из всего многообразия многогранных поверхностей в качестве примера рассмотрим последовательность построения лишь правильных трёхгранных прямой призмы и пирамиды.

Прямая трехгранная правильная призма. На рис. 2.58, а дано графическое задание призмы Ф (АВС,) своим определителем. Для того, чтобы получить комплексный чертеж призмы (рис. 2.58, б), необходимо достроить два горизонтально–проецирующих ребра В и С и три горизонтальных ребра верхнего основания , и .

Проведем анализ элементов боковой поверхности призмы.

Боковые ребра – горизонтально–проецирующие прямые. Ребра оснований – горизонтали, из них ребра АС и - профильно–проецирующие прямые.

Боковые грани – горизонтально–проецирующие плоскости, из них грань - фронтальная плоскость. Основания – горизонтальные плоскости. На горизонтальной проекции оба основания и их ребра проецируются в натуральную величину. На фронтальной проекции боковые ребра и задняя фронтальная грань проецируются в натуральную величину.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть дана проекция К₂ точки К. Найти К₁, считая, что точка лежит на видимой грани призмы (рис. 2.58, б).

На фронтальной проекции видны грани и , грань не видна. Поэтому считаем, что точка К лежит на видимой грани , и ее горизонтальная проекция К₁ попадает на вырожденную проекцию грани (проецирующий след грани).

Пусть задана проекция М₁ точки М. Найти М₂, считая, что точка лежит на видимом основании призмы.


(A₁)≡


(C₁)≡


B₁≡


(A₁)≡



На горизонтальной проекции видно верхнее основание призмы , а нижнее основание не видно. Поэтому фронтальная проекция М₂точки будет лежать на фронтальной проекции верхнего основания, слившегося в линию.

Правильная трехгранная пирамида. Определителем пирамиды Ф(АВС,S) служат её основание и вершина (рис. 2.59, а). Соединив вершину S с вершинами основания, получим полный каркас пирамиды. Комплексный чертеж пирамиды, заданный своим каркасом, приведен на рис. 2.59, б.

Проведем анализ элементов боковой поверхности пирамиды. В данной пирамиде все боковые ребра являются прямыми общего положения и проецируются в отрезки, меньшие их натуральных величин.

Боковые грани ASB и BSC являются плоскостями общего положения, а грань ASC – профильно-проецирующей плоскостью, так как она содержит профильно-проецирующее ребро АС.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть задана проекция К₂ точки К. Найти К₁ (рис. 2.59, б). Точка К лежит на видимой грани BSC. Горизонтальную проекцию находим, например, с помощью прямой общего положения, проходящей через точку К и вершину S (построения 1, 2, 3 и 4). Самостоятельно постройте проекцию К₁ на рис. 2.59, а, где каркас пирамиды еще не построен.

Пусть задана проекция М₂ точки М, построить М₁. На фронтальной проекции видны грани ASB и BSC, а грань ASC не видна. Точка М должна лежать на видимой грани ASB.
Проекцию М₁ находим с помощью горизонтали, лежащей в плоскости грани ASB (построения 5, 6, 7 и 8). Фронтальная проекция горизонтали проведена через М₂ параллельно оси х₁₂ до пересечения с А₂S₂ в точке D₂ (построение 5). С помощью линии связи на A₁S₁ находим точку D₁ (построение 6). Проводим горизонтальную проекцию горизонтали параллельно ребру АВ, которое также является горизонталью. Известно, что все горизонтали одной плоскости параллельны (построение 7). Проекцию М₁ с помощью линии связи находим на построенной проекции горизонтали (построение 8).

2.4.13. Поверхности вращения. В соответствии с принятым в начертательной геометрии кинематическим способом образования поверхности, поверхность вращения образуется вращением прямолинейной или криволинейной образующей линии вокруг некоторой оси, как след движущейся линии.

Поверхность вращения может быть задана определителем Ф (i, l), где i – ось вращения, l – образующая (рис.2.60). Тогда при вращения образующей l вокруг оси i получим следующие поверхности: сферическую (рис.2.60, а); коническую (рис.2.60, б); цилиндрическую (рис.2.60, в); торовую (открытую) (рис.2.60, г); торовую (закрытую) (рис.2.60, д).

При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения. При вращении точки вокруг оси имеем пять элементов процесса вращения (рис.2.61):

1) вращающаяся точка А;

2) ось вращения i;

3) плоскость вращения Т (проходит через точку А перпендикулярно оси вращения i);


4) центр вращения О (точка пересечения плоскости Т с осью i);

5) радиус вращения R=OA (отрезок, соедияющий центр О с точкой А).

Вращаясь вокруг оси i, точка А описывает окружность, которая полностью лежит в плоскости вращения Т. Враща-ющаяся точка А и ось вращения i всегда известны, либо ими задаются.

Пусть требуется повернуть точку А вокруг оси i на 120⁰ против часовой стрелки (рис. 2.62).

Из пяти элементов процесса вращения точка А и ось i (i П₁) заданы. Строим третий элемент – плоскость вращения Т. Плоскость вращения Т всегда перпендикулярна оси i, следовательно Т||П₁и ТП₂.

Плоскость Т – горизонтальная уровня, поэтому ее фронтальная проекция Т₂, сливаясь в линию (проецирующий след плоскости), проходит через проекцию А₂.

Находим четвертый элемент процесса вращения – центр вращения - точку О. Фронтальная проекция центра вращения О₂ находится на пересечении i₂ с Т₂, а горизонтальная О₁ совпадает с i₁.

Пятый элемент процесса вращения – радиус R=OA. Так как фронтальная проекция О₂А₂||x₁₂, то отрезок R=OA, являясь горизонталью, имеет горизонтальную проекцию О₁А₁, равную натуральной величине радиуса вращения (O₁A₁=R).

Окружность вращения расположена в плоскости Т и на П₁ проецируется без искажения. Поэтому проводим окружность радиусом R=O₁A₁ с центром в точке О₁. После поворота А₁ по окружности на 120⁰ против часовой стрелки получаем горизонтальную проекцию точки А в новом положении . Фронтальная проекция повернутой точки находится на пересечении линии связи, проводимой через , и следа Т₂ плоскости Т.

Элементы поверхностей вращения. Рассмотрим основные элементы поверхностей вращения, необходимые при построении проекций тел вращения. Введем понятие тела вращения.

Тело вращения – геометрическая объемная фигура, ограниченная поверхностью вращения. Помимо поверхности вращения тело вращения может иметь одно или два основания.

Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность вращения по окружности, которая называется параллелью (рис. 2.63). Окружности вращения точек, принадлежащих поверхности, являются параллелями. Самая большая параллель называется экватором, самая маленькая – горлом.

Плоскость, проходящая через ось вращения, называется меридианальной. Она пересекает поверхность по линии (кривой или прямой), которая называется меридианом. Можно сказать, что поверхность вращения образуется при вращении меридиана вокруг оси.

Рассмотрим построение проек-ций наиболее распространенных тел вращения (конуса, цилиндра, сферы, тора).

Конус вращения. Имеет определитель вида Ф(i, l), где i – ось вращения, l – образующая. Фронтальная проекция конуса вращения является его фронтальным очерком (рис. 2.64), который представляет из себя проекции S₂A₂ и S₂C₂ образующей в крайних левом и правом положениях относительно наблюдателя. При этом часть поверхности ABCS, обращенная к

наблюдателю, видна, а часть поверхности ADCS не видна. Плоскость основания конуса параллельна П₁. Поэтому фронтальная проекция основания есть прямая A₂C₂, параллельная оси х₁₂ (ось х₁₂ не показана).

На горизонтальной проекции видна вся боковая поверхность конуса вращения.

Пусть требуется построить недостающие проекции точек М и К, расположенных на поверхности конуса вращения, определитель которого  (l, i) (рис.2.65, а); требуется также построить фронтальный и горизонтальный очерки конуса.

Для решения задачи через М₂ проводим главную проекцию плоскости вращения так, что i₂ (рис.2.65, б). Строим О₂=i₂ и N₂=l₂. По линии проекционной связи находим О₁  i₁ и N₁l₁. Очевидно, радиус вращения R точки N равен О₁N₁. Радиусом вращения R=O₁N₁ с центром в точке О₁ строим горизонтальную проекцию окружности вращения точки N. Фронтальная проекция окружности вращения проецируется в виде отрезка , совпадающего с , где и - соответственно фронтальные проекции точки N в крайнем левом и крайнем правом положениях относительно наблюдателя.

Фронтальные очерковые образующие конуса проходят через точки , S₂ и , S₂.

Для нахождения М₁ через М₂ проводим линию проекционной связи до пересечения с построенной окружностью. Далее находим К₂. Для этого через К₁ проводим параллель радиусом R=O₁K₁, отмечаем крайнее правое (можно крайнее левое) положение и по линии проекционной связи в точке пересечения с фронтальной очерковой образующей, проходящей через точки S₂ и , находим . Проекция расположена на главной проекции Т₂ плоскости вращения точки К. На фронтальной проекции окружности вращения по линии проекционной связи находим К₂. Проекция К₂ не видна.

Очерк поверхности конуса содержит не только проекции очерковых образующих, но и проекции основания. Поэтому, обозначая некоторую точку А на образующей l и используя рассмотренный прием введения плоскости вращения Р точки А, имеем фронтальный очерк конуса в виде треугольника и горизонтальный очерк в виде окружности радиуса R=O₁A₁.



Линию на поверхности строят по точкам, задаваясь крайними точками на границе видимости (при наличии таковых), ближайшими к оси вращения и промежуточными. Следует иметь в виду, что очерковые образующие являются границей видимости. Общее количество выбранных на кривой линии точек должно быть не менее 4-6. Аналогичный подход сохраняется и для других поверхностей вращения, рассматриваемых ниже.

Цилиндр вращения. Имеет определитель Ф(l, i), где l – образующая прямая линия, i – ось вращения. Боковая поверхность такого цилиндра горизонтально–проецирующая, т.к. все его образующие перпендикулярны П₁ и, перемещаясь в пространстве, пересекают все точки окружности основания (рис.2.66).

Проекции образующих и вместе с проекциями верхнего и нижнего A₂B₂C₂D₂ оснований являются фронтальным очерком цилиндра. На фронтальной проекции видна часть поверхности и не видна . На горизонтальной проекции боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность. Верхнее основание видно на горизонтальной проекции, нижнее ABCD не видно. Построение проекций точек М и N и их видимость показаны на рис.2.66.
Сфера. Имея определитель вида Ф(m, i), поверхность сферы образуется вращением полуокружности (меридиана) m вокруг оси i, проходящей через её центр и лежащей в плоскости этой полуокружности (рис. 2.67).


M₁


M₂

Каждая точка образующей m, в том числе и крайняя правая точка М, при вращении вокруг оси i описывают окружности. Наибольшую окружность Э (экватор) описывает точка М; горизонтальная проекция экватора Э₁ есть его натуральная величина и является горизонтальным очерком сферы (рис. 2.68).

Две другие проекции экватора проецируются в отрезки прямых

Э₂ || х₁₂ и Э₃ || у₃. При рассечении сферы фронтальной плоскостью уровня , проходящей через центр сферы О и ее ось i, поверхность рассекается по окружности N. Горизонтальная проекция N₁ этой окружности есть отрезок прямой, равный диаметру сферы. Фронтальная проекция N₂ есть натуральная величина окружности и является фронтальным очерком сферы. Профильная проекция N₃ также представляет из себя отрезок прямой, равный диаметру сферы.

Если рассечь сферу профильной плоскостью уровня Т, проходящей через центр О и ось i, то поверхность сферы также рассечется по окружности L. Фронтальная L₂ и горизонтальная L₁ проекции ее являются отрезками прямых, равными диаметру сферы. Профильная проекция L₃ есть натуральная величина окружности и является профильным очерком сферы.



На рис. 2.68 показаны проекции точек К, Е и F, расположенных на соответствующих очерковых окружностях Э, N и L. Все проекции точек видимые, поскольку на горизонтальной проекции видно верхнее полушарие,

ограниченное экватором Э (нижнее не видно), на фронтальной проекции видно переднее полушарие, ограниченное проекцией окружности N фронтального очерка (задняя часть не видна) и на профильной проекции видно левое полушарие, ограниченное проекцией окружности L профильного очерка.

Для нахождения проекций G₁ и G₃ точки G, заданной на сфере проекцией G₂, через точку G проводим горизонтальную уровня плоскость Р, которая рассекает сферу по параллели. На горизонтальной проекции радиусом этой параллели в зоне расположения точки G проводим дугу окружности и на пересечении её с линией проекционной связи, проведенной из точки G₂, находим G₁. Проекция G₃ расположена на линии проекционной связи, проведенной из точки G₂, на расстоянии у от i₃. Проекции G₁ и G₃ не видны.

Если задана G₁ и необходимо найти G₂ и G₃, то построения проводят в обратном порядке.

Тор. Имеет определитель вида Ф (а, i), где а – окружность или часть ее, i – ось вращения. Поверхность тора образуется вращением окружности а или части ее вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности или ее дуги и не проходящей через центр О (рис. 2.69).

В зависимости от расположения оси i относительно образующей а имеем различные разновидности поверхностей торов. Если ось i лежит вне окружности (рис. 2.69, а), то образуется открытая торовая поверхность, похожая на поверхность баранки. Если ось i пересекается с дугой окружности или её продолжением, то может получится вогнутая (рис. 2.69, б) или выпуклая (рис. 2.69, в) закрытая торовая поверхность.




Пусть требуется найти горизонтальную проекцию К₁ точки К, расположенной на поверхности тора, заданного фронтальным и горизонтальным очерками (рис. 2.70). Тогда через точку К проводим плоскость вращения i, которая рассекает поверхности по окружности, фронтальная проекция которой есть отрезок прямой А₂В₂. Радиусом R=О₂А₂=О₂В₂ строим горизонтальную проекцию параллели – окружность, на пересечении с которой линии проекционной связи, проведенной из точки К₂, находим проекцию К₁. Проекция К₁ видимая, т.к. лежит на верхней половине тора выше экватора.

Если задана проекция К₁, и надо найти проекцию К₂ , то построение выполняем в обратном порядке.