Никифоров_учебное пособие. московский государственный университет дизайна и технологии
![]()
|
2.4.8. Параллельность прямой и плоскости. Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости. Пусть, например, через точку М необходимо провести прямую d общего положения параллельно плоскости, заданной в виде треугольника - Σ (АВС) (рис. 2.51). Р ![]() Если через точку К необходимо провести горизонталь b параллельно плоскости Σ (АВС), то построения следует выполнять в следующей последовательности: 1) Строим фронтальную проекцию A2D2 горизонтали AD параллельно оси х12. 2) В проекционной связи находим горизонтальную проекцию A1D1. 3) Через точки К1 и К2 проводим проекции b1║ A1D1 и b2 ║ A2D2искомой горизонтали b. Следует отметить, что вовсе не обязательно горизонталь проводить через точку А, в чем рекомендуем читателю убедиться. 2.4.9. Параллельные плоскости. Для построения параллельных плоскостей используем признак их параллельности, известный из стереометрии: «Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости». П ![]() ![]() ![]() Н ![]() ![]() ![]() 2.4.10. Построение проекций плоскости при замене плоскостей проекций.Для того, чтобы построить проекции плоскости при замене плоскости проекций, плоскость должна быть задана тремя точками. При построениях каждая точка, задающая плоскость, преобразуется подобно рассмотренному ранее при замене плоскостей проекций. На рис. 2.54 показано преобразование плоскости при произвольной замене плоскости проекций П2 на П4. Самое сложное положение плоскости в пространстве – плоскость общего положения, более простое – проецирующая плоскость и самое простое - плоскость уровня. При решении задач плоскость обычно ставят из более сложного положения в более простое. Таким образом, ряд п ![]() Сделаем первое преобра-зование. Пусть дана плоскость общего положения Σ(АВС) (рис. 2.55), и ее необходимо преобразовать во фронтально- проецирующую. В проецирующей плоскости всегда содержится проецирующая прямая. Любую прямую способом замены плоскостей проекций можно преобразовать в проецирующую: прямую общего положения - с помощью двух преобразований, прямую уровня – с помощью одного преобразования. ![]() Для решения задачи выполним первое преобразование. Для этого: 1) В плоскости Σ(АВС) строим горизонталь АЕ (А2Е2, А1Е1). 2) Ставим АЕ в проецирующее положение, заменив П2 на П4 , причем х14 ![]() 3) Проецируем треугольник на новую плоскость П4. При этом в системе П1–П4 треугольник АВС - проецирующий. Его новая фронтальная проекция А4В4С4 представляет собой прямую. Выполним второе преобразование. В системе П1–П4 (рис. 2.53) Σ (ABC) - фронтально–проецирующая плоскость, и ее необходимо преобразовать в плоскость уровня. Любая плоскость уровня параллельна одной плоскости проекций и перпендикулярна двум другим. В данном случае Σ (АВС) ![]() Произведем построения. Для этого:
2) В системе П4–П5 строим проекции точек А5, В5 и С5. Проекция треугольника А5В5С5 представляет его натуральную величину, т. к. плоскость Σ (АВС) ║ П5. При преобразовании плоскости общего положения в положение уровня выполнено два последовательных преобразования. Сначала заменена одна плоскость проекций, затем другая. 2.4.11. Классификация поверхностей. Произведем классификацию поверхностей по двум признакам: По форме образующей: 1) Прямолинейную образующую имеют плоскости, многогранные поверхности и линейчатые кривые поверхности. 2) Криволинейную образующую, неизменяемую и изменяемую, - все остальные кривые поверхности. По развертываемости поверхности на плоскость: 1) Развертываемые. 2) Неразвертываемые. Развертыванием называется такая изометрическая деформация поверхности, при которой она может быть совмещена с плоскостью. Изометрическую деформацию поверхности называют изгибанием. При изгибании отрезки линий, расположенных на поверхности, не меняют своей длины. Если поверхность может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов, то она развертываемая. Большинство поверхностей не совмещаемы с плоскостью без складок и разрывов и называются неразвертываемыми. Развертываемыми являются многогранные поверхности и часть линейчатых – цилиндрические, конические и торсовые. О развертываемости плоскости говорить не приходится – она может быть совмещена с любой плоскостью. Рассмотрим особенности построения изображений отдельных видов поверхностей. 2.4.12. Многогранные поверхности и многогранники. Принято считать ,что многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями (отсеками) пересекающихся плоскостей. Поверхностью многогранного угла называется поверхность, ребра и грани которой пересекаются в одной точке (вершине). Если пересечь поверхность многогранного угла плоскостью, то образуется геометрическая фигура – пирамида. Поверхность многогранного угла можно получить движением образующей прямой, которая все время проходит через вершину угла и в то же время скользит по направляющему многоугольнику. Если вершину многогранного угла отнести в бесконечность, то ребра поверхности станут параллельными, и образуется призматическая поверхность. Если ограничить призматическую поверхность двумя параллельными плоскими основаниями, то образуется геометрическая фигура – призма. Определитель многогранной поверхности включает в себя направляющий многоугольник, вершину для многогранного угла и какое–либо ребро для призматической поверхности. На рис. 2.56 показана поверхность многогранного угла Ф (ABCD, S) в пространственном изображении с направляющим четырехугольником ABCD и вершиной S. На рис. 2.56, а дан определитель поверхности. На рис. 2.56, б построен каркас поверхности. ![]() ![]() На рис. 2.57, а показана призматическая поверхность Ф (АВС, l) в пространственном изображении с направляющим треугольником АВС и образующей l; на рис. 2.57, б показана призма. О ![]() При изображении многогранников их стараются расположить так, чтобы на проекциях их ребра и грани проецировались по возможности без искажения или с наименьшими искажениями. Из всего многообразия многогранных поверхностей в качестве примера рассмотрим последовательность построения лишь правильных трёхгранных прямой призмы и пирамиды. Прямая трехгранная правильная призма. На рис. 2.58, а дано графическое задание призмы Ф (АВС, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проведем анализ элементов боковой поверхности призмы. Боковые ребра – горизонтально–проецирующие прямые. Ребра оснований – горизонтали, из них ребра АС и ![]() Боковые грани – горизонтально–проецирующие плоскости, из них грань ![]() ![]() Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть дана проекция К2 точки К. Найти К1, считая, что точка лежит на видимой грани призмы (рис. 2.58, б). На фронтальной проекции видны грани ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть задана проекция М1 точки М. Найти М2, считая, что точка лежит на видимом основании призмы. ![]() (A1)≡ ![]() (C1)≡ ![]() B1≡ ![]() (A1)≡ ![]() ![]() На горизонтальной проекции видно верхнее основание призмы ![]() ![]() Правильная трехгранная пирамида. Определителем пирамиды Ф(АВС,S) служат её основание и вершина (рис. 2.59, а). Соединив вершину S с вершинами основания, получим полный каркас пирамиды. Комплексный чертеж пирамиды, заданный своим каркасом, приведен на рис. 2.59, б. Проведем анализ элементов боковой поверхности пирамиды. В данной пирамиде все боковые ребра являются прямыми общего положения и проецируются в отрезки, меньшие их натуральных величин. Боковые грани ASB и BSC являются плоскостями общего положения, а грань ASC – профильно-проецирующей плоскостью, так как она содержит профильно-проецирующее ребро АС. Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть задана проекция К2 точки К. Найти К1 (рис. 2.59, б). Точка К лежит на видимой грани BSC. Горизонтальную проекцию находим, например, с помощью прямой общего положения, проходящей через точку К и вершину S (построения 1, 2, 3 и 4). Самостоятельно постройте проекцию К1 на рис. 2.59, а, где каркас пирамиды еще не построен. Пусть задана проекция М2 точки М, построить М1. На фронтальной проекции видны грани ASB и BSC, а грань ASC не видна. Точка М должна лежать на видимой грани ASB. П ![]() 2 ![]() Поверхность вращения может быть задана определителем Ф (i, l), где i – ось вращения, l – образующая (рис.2.60). Тогда при вращения образующей l вокруг оси i получим следующие поверхности: сферическую (рис.2.60, а); коническую (рис.2.60, б); цилиндрическую (рис.2.60, в); торовую (открытую) (рис.2.60, г); торовую (закрытую) (рис.2.60, д). При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения. При вращении точки вокруг оси имеем пять элементов процесса вращения (рис.2.61): 1) вращающаяся точка А; 2) ось вращения i; 3) плоскость вращения Т (проходит через точку А перпендикулярно оси вращения i); ![]() ![]() 4 ![]() 5) радиус вращения R=OA (отрезок, соедияющий центр О с точкой А). В ![]() Пусть требуется повернуть точку А вокруг оси i на 1200 против часовой стрелки (рис. 2.62). Из пяти элементов процесса вращения точка А и ось i (i П1) заданы. Строим третий элемент – плоскость вращения Т. Плоскость вращения Т всегда перпендикулярна оси i, следовательно Т||П1и ТП2. Плоскость Т – горизонтальная уровня, поэтому ее фронтальная проекция Т2, сливаясь в линию (проецирующий след плоскости), проходит через проекцию А2. Находим четвертый элемент процесса вращения – центр вращения - точку О. Фронтальная проекция центра вращения О2 находится на пересечении i2 с Т2, а горизонтальная О1 совпадает с i1. Пятый элемент процесса вращения – радиус R=OA. Так как фронтальная проекция О2А2||x12, то отрезок R=OA, являясь горизонталью, имеет горизонтальную проекцию О1А1, равную натуральной величине радиуса вращения (O1A1=R). Окружность вращения расположена в плоскости Т и на П1 проецируется без искажения. Поэтому проводим окружность радиусом R=O1A1 с центром в точке О1. После поворота А1 по окружности на 1200 против часовой стрелки получаем горизонтальную проекцию точки А в новом положении ![]() ![]() Элементы поверхностей вращения. Рассмотрим основные элементы поверхностей вращения, необходимые при построении проекций тел вращения. Введем понятие тела вращения. Тело вращения – геометрическая объемная фигура, ограниченная поверхностью вращения. Помимо поверхности вращения тело вращения может иметь одно или два основания. Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность вращения по окружности, которая называется параллелью (рис. 2.63). Окружности вращения точек, принадлежащих поверхности, являются параллелями. Самая большая параллель называется экватором, самая маленькая – горлом. П ![]() Рассмотрим построение проек-ций наиболее распространенных тел вращения (конуса, цилиндра, сферы, тора). Конус вращения. Имеет определитель вида Ф(i, l), где i – ось вращения, l – образующая. Фронтальная проекция конуса вращения является его фронтальным очерком (рис. 2.64), который представляет из себя проекции S2A2 и S2C2 образующей в крайних левом и правом положениях относительно наблюдателя. При этом часть поверхности ABCS, обращенная к ![]() На горизонтальной проекции видна вся боковая поверхность конуса вращения. Пусть требуется построить недостающие проекции точек М и К, расположенных на поверхности конуса вращения, определитель которого (l, i) (рис.2.65, а); требуется также построить фронтальный и горизонтальный очерки конуса. Для решения задачи через М2 проводим главную проекцию ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Фронтальные очерковые образующие конуса проходят через точки ![]() ![]() Для нахождения М1 через М2 проводим линию проекционной связи до пересечения с построенной окружностью. Далее находим К2. Для этого через К1 проводим параллель радиусом R=O1K1, отмечаем крайнее правое (можно крайнее левое) положение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Очерк поверхности конуса содержит не только проекции очерковых образующих, но и проекции основания. Поэтому, обозначая некоторую точку А на образующей l и используя рассмотренный прием введения плоскости вращения Р точки А, имеем фронтальный очерк конуса в виде треугольника ![]() ![]() ![]() Линию на поверхности строят по точкам, задаваясь крайними точками на границе видимости (при наличии таковых), ближайшими к оси вращения и промежуточными. Следует иметь в виду, что очерковые образующие являются границей видимости. Общее количество выбранных на кривой линии точек должно быть не менее 4-6. Аналогичный подход сохраняется и для других поверхностей вращения, рассматриваемых ниже. Цилиндр вращения. Имеет определитель Ф(l, i), где l – образующая прямая линия, i – ось вращения. Боковая поверхность такого цилиндра горизонтально–проецирующая, т.к. все его образующие перпендикулярны П1 и, перемещаясь в пространстве, пересекают все точки окружности основания (рис.2.66). Проекции образующих ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() С ![]() M1 M2 Каждая точка образующей m, в том числе и крайняя правая точка М, при вращении вокруг оси i описывают окружности. Наибольшую окружность Э (экватор) описывает точка М; горизонтальная проекция экватора Э1 есть его натуральная величина и является горизонтальным очерком сферы (рис. 2.68). Две другие проекции экватора проецируются в отрезки прямых Э ![]() Если рассечь сферу профильной плоскостью уровня Т, проходящей через центр О и ось i, то поверхность сферы также рассечется по окружности L. Фронтальная L2 и горизонтальная L1 проекции ее являются отрезками прямых, равными диаметру сферы. Профильная проекция L3 есть натуральная величина окружности и является профильным очерком сферы. ![]() ![]() На рис. 2.68 показаны проекции точек К, Е и F, расположенных на соответствующих очерковых окружностях Э, N и L. Все проекции точек видимые, поскольку на горизонтальной проекции видно верхнее полушарие, ограниченное экватором Э (нижнее не видно), на фронтальной проекции видно переднее полушарие, ограниченное проекцией окружности N фронтального очерка (задняя часть не видна) и на профильной проекции видно левое полушарие, ограниченное проекцией окружности L профильного очерка. Для нахождения проекций G1 и G3 точки G, заданной на сфере проекцией G2, через точку G проводим горизонтальную уровня плоскость Р, которая рассекает сферу по параллели. На горизонтальной проекции радиусом этой параллели в зоне расположения точки G проводим дугу окружности и на пересечении её с линией проекционной связи, проведенной из точки G2, находим G1. Проекция G3 расположена на линии проекционной связи, проведенной из точки G2, на расстоянии у от i3. Проекции G1 и G3 не видны. Если задана G1 и необходимо найти G2 и G3, то построения проводят в обратном порядке. Тор. Имеет определитель вида Ф (а, i), где а – окружность или часть ее, i – ось вращения. Поверхность тора образуется вращением окружности а или части ее вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности или ее дуги и не проходящей через центр О (рис. 2.69). В зависимости от расположения оси i относительно образующей а имеем различные разновидности поверхностей торов. Если ось i лежит вне окружности (рис. 2.69, а), то образуется открытая торовая поверхность, похожая на поверхность баранки. Если ось i пересекается с дугой окружности или её продолжением, то может получится вогнутая (рис. 2.69, б) или выпуклая (рис. 2.69, в) закрытая торовая поверхность. ![]() ![]() Пусть требуется найти горизонтальную проекцию К1 точки К, расположенной на поверхности тора, заданного фронтальным и горизонтальным очерками (рис. 2.70). Тогда через точку К проводим плоскость вращения ![]() Если задана проекция К1, и надо найти проекцию К2 , то построение выполняем в обратном порядке. |