Никифоров_учебное пособие. московский государственный университет дизайна и технологии
![]()
|
3.4. Пересечение линии с поверхностью 3 ![]() Так как плоскость Σ и прямая mпроецирующие, то проекции точки их пересечения (точка K) на чертеже уже определены, их надо только отметить (K2 и K1). 3 ![]() Так как прямая m┴Π2 (рис. 3.17, а), то K2≡m2 (рис. 3.17, б), а K1 находим из условия принадлежности точки K плоскости Σ с помощью вспомогательной прямой CEΣ. Ход построения указан на чертеже. На рис. 3.18 показано построение точек пересечения прямых d и mс конической поверхностью Φ. d∩Φ=K, m∩Φ=C и B. Так как d┴Π1, то K1≡d1, а K2 находим с помощью образующей S ![]() П ![]() 3.4.3. Пересечение линии с поверхностью, когда оба геометрических объекта непроецирующие. Для определения точек пересечения линии с поверхностью (рис. 3.19) необходимо: 1 ![]() ![]() 2) определяем линию пересечения ℓ вспомогательной поверхности Σ и Φ. Σ∩Φ=ℓ; 3) определяем точки пересечения построенной линии ℓ с m, то есть ℓ∩m=Kί; 4) определяем видимость заданной линии. На рис. 3.20 показано построение точки пересечения прямой общего положения m с плоскостью Φ (a||b) (рис. 3.20, а) иm∩Φ=K(рис. 3.20, б). Ход построения: 1) заключаем прямую m во фронтально-проецирующую плоскость Σ (Σ ![]() 2) строим линию пересечения плоскостей Σ и Φ. Это прямая CM (C1M1, C2M2). CM=Σ∩Φ; 3) определяем точку K пересечения m с CM. Сначала определяем точку K1(K1= m1∩C1M1), а затем с помощью линии проекционной связи - точку K2 (K2 ![]() 4) видимость прямой m и плоскости Φ определяем с помощью конкурирующих точек: на Π1 – с помощью N и F; на Π2 – с помощью L и M. ![]() ![]() На рис. 3.21 показано построение точек пересечения горизонтали h со сферой Φ. Ход построения: 1) заключаем прямую h в горизонтальную плоскость Σ ![]() 2) строим линию пересечения ℓ (окружность радиуса R) плоскости Σ со сферой. Σ ∩Φ=ℓ; 3) определяем точки пересечения линии ℓ с горизонталью h. ℓ∩h=K и M. Сначала отмечаем точки K1 и M1, а затем с помощью линий проекционной связи находим K2 и M2 на h2; 4) определяем видимость линии m. Построение точек пересечения прямой общего положения m со сферой Φ приведено на рис 3.22. ![]() Для определения искомых точек пересечения выполним следующие построения: 1) заключаем прямую m в горизонтально-проецирующую плоскость Σ (Σ1 ![]() При пересечении Σ со сферой получается окружность, которая на Π2 спроецируется в виде эллипса. Чтобы избежать построения эллипса, с помощью метода замены плоскостей проекций преобразуем прямую m в положение линии уровня, тогда дальнейшее построение будет подобно примеру на рис. 3.21. Для этого: 2) на прямой m задаём две точки A и B; 3) проводим дополнительную плоскость Π4||m (х14||m1); 4) Проецируем на Π4 прямую AB и сферу. В новой системе Π1-Π4 прямая m стала фронталью (m1, m4); 5) Σ∩Φ=ℓ (окружность радиуса R); 6) ℓ ∩ m=K и M, то есть ℓ4 ∩ m4=K4 и M4 . K1 и M1, K2 и M2 находим по линиям проекционной связи; 7) Определяем видимость m на Π1 и Π2. Н ![]() В данном случае удобнее всего, чтобы вспомогательная плоскость Σ пересекала конус по двум образующим, то есть вспомогательная плоскость должна проходить через вершину конуса S. Эта плоскость уже задана на чертеже прямой m и точкой S, то есть Σ (S, m). Для удобства построений переходим к заданию плоскости Σ пересекающимися прямыми. Для этого на прямой m задаём точку E (E1, E2) и соединяем её с вершиной S. Теперь плоскость Σ задана двумя пересекающимися прямыми: Σ (m∩SE). Далее строим линию пересечения Σ с Π1, это линия CM. Для этого находим горизонтальные следы прямых mиSE, это C1 и M1. Горизонтальный след Σ (CM) и основание конуса лежат в одной плоскости, поэтому линия CM пересекает основание конуса в точках A и B, которые соединяем с вершиной S и получаем образующие ASи SB, по которымΣ пересекает конус. Затем строим точки пересечения ASи SB с прямой m. AS∩m=K, BS∩m=F. Таким образом точки K и F - искомые точки. Далее определяем видимость прямой m. 3.5. Перпендикулярные геометрические объекты 3 ![]() Прямая a - горизонталь, то есть a||Π1. Из теоремы о частном случае проецирования прямого линейного угла (см. рис. 1.10) следует, что если одна сторона прямого линейного угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол спроецируется в натуральную величину. Следовательно, через A1 проводим ℓ1┴ a1, отмечаем точку K1, находим K2 по линии проекционной связи на a2 и проводим ℓ2, то есть ℓ1┴ a1 так как a||Π1 и ℓ┴ a (рис. 3.24). 3.5.2. Перпендикулярные прямая и плоскость. Как известно, прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. ![]() Пусть необходимо (рис. 3.25) из точки K ![]() Для этого через точку K проведём горизонталь h и фронталь f и перпендикулярно к ним проведём прямую n (n┴ h и n┴ f). На основании теоремы о частном случае проецирования прямого линейного угла угол между n и h на Π1 спроецируется без искажения, то есть угол между горизонтальной проекцией горизонтали h1 и горизонтальной проекцией перпендикуляра n1 будет прямым (n1┴ h1). Аналогичным образом можно доказать, что если n┴ f, то n2┴ f2, где f2 – фронтальная проекция фронтали. Следовательно, если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекции перпендикулярны к одноимённым проекциям одноимённых линий уровня, то есть если n┴ Σ (h∩f), то n1┴ h1 и n2┴ f2. Пусть требуется из точки K(K1, K2)восстановить перпендикуляр к плоскости Σ (a||b)(рис. 3.26, а). ![]() В плоскости Σ проведены горизонталь h (h1, h2) и фронталь f (f1, f2). Через точку K1 проведена n1┴ h1 и через точку K2проведена n2┴ f2. 3.5.3. Перпендикулярные плоскости. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую линию, перпендикулярную другой. Поэтому при проведении плоскости, перпендикулярной к другой плоскости, сначала строят прямую, перпендикулярную к плоскости, и затем заключают её в какую-либо плоскость. На рис. 3.27 через точку B проведена плоскость T(m∩n) перпендикулярно Σ (a||b). Для этого в плоскости Σ (a||b) построены горизонталь h (h1, h2) и фронталь f (f1, f2). Затем через точку B проводим n┴Σ, то есть n1┴ h1, n2┴ f2. Прямую m (m1, m2) через точку B (B1 , B2) проводим произвольно. Построенная плоскость T (m∩n) будет перпендикулярна Σ. ![]() 4. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 4.1. Образование и виды аксонометрических проекций Проекция предмета вместе с заданной системой координат на одну плоскость называется аксонометрической проекцией или аксонометрией. Плоскость проекций в этом случае называется аксонометрической. Наиболее часто применяется параллельное аксонометрическое проецироввание. Образование аксонометрической проекции рассмотрим на примере построения аксонометрии точки В, отнесённой к натуральной системе координат xyz(рис. 4.1). Здесь ПА – аксонометрическая плоскость проекций, s– направление проецирующих лучей, ВА – аксонометрическая проекция точки В; xA, yA, zA – аксонометрические проекции осей координат x, y, z; эти проекции также называются аксонометрическими координатными осями. При аксонометрическом проецировании происходит искажение линейных размеров проецируемых объектов, которое характеризуется коэффициентами искажения по направлениям вдоль координатных осей. Коэффициент искажения по оси х определяется отношением длины аксонометрической проекции отрезка, отложенного вдоль этой оси, к натуральной величине этого отрезка: к=ОАЕА /ОЕ. Аналогично определяются коэффициенты искажения по осям y и z – соответственно величины m и n. ![]() zB xВ yВ В зависимости от положения аксонометрической плоскости проекций ПА относительно координатной системы xyzаксонометрические оси xA, yA, zA могут занимать различные положения, а коэффициенты искажения принимают различные значения. Аксонометрические проекции, в которых k = m = n , называются изометрическими; если k = n ≠ m – диметрическими; если k ≠ m ≠ n – триметрическими. Аксонометрические проекции также различают в зависимости от угла наклона проецирующих лучей sк аксонометрической плоскости проекций ПА. Если sПА , аксонометрическая проекция называется прямоугольной; если проецирующие лучи не перпендикулярны аксонометрической плоскости, аксонометрическая проекция называется косоугольной. Аксонометрические проекции, рекомендуемые к применению при выполнении чертежей, включены в Государственный стандарт ГОСТ 3.317-69 «Аксонометрические проекции» Единой системы конструктрской документации. Далее рассмотрим эти проекции подробнее. 4.2. Прямоугольные аксонометрические проекции 4.2.1. Прямоугольная изометрическая проекция.В данной проекции k = m = n = 0,82. Для упрощения построений принимают k = m = n = 1, то есть масштаб при откладывании координат по всем трём аксонометрическим осям равен 1:1. Расположение аксонометрических осей показано на рис. 4.2. С ![]() Для построения в прямоугольной изометрии аксонометрической проекции точки В по её координатам xВ, yВ, zB(рис. 4.1) вдоль оси Oх (рис. 4.2) откладываем отрезок, равный xВ. Из полученной точки ВХпараллельно оси Oy проводим отрезок длиной yВи получаем точку В1. Точка В1 (на рис. 4.1 ей соответствует точка В1А)называется вторичной проекцией точки В. Далее, проведя через точку В1 отрезок, равный zВ параллельно оси Oz, получим аксонометрическую проекцию точки В. Ломаная линия OВХВ1В называется трёхзвенной координатной линией. Для построения аксонометрической проекции отрезка прямой необходимо построить проекции двух точек концов отрезка с помощью трёхзвенной координатной линии и соединить построенные точки прямой линией. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис. 4.3), причём малая ось эллипса совпадает с направлением оси координатной системы, отсутствующей в данной плоскости. Так, если окружность расположена в плоскости хOy, то малая ось эллипса параллельна оси Oz, а большая перпендикулярна ей. При k = m = n = 1 большая ось 2a=1,22d, малая ось 2b = 0,71d, где d – диаметр окружности. На рис. 4.3 эллипсы построены по восьми точкам. На рис. 4.4 показано построение эллипса по большой оси AB (2a = 1,22d) и малой оси CD (2b = 0,71d). Из точки O проведены две концентрические окружности. Большую из них делят на несколько частей. Через точки деления и центр O проводят радиусы, которые делят также вторую окружность. 1 3 2 b b a a 0 1 3 2 a a b b Затем через точки деления проводят прямые, параллельные осям AB и CD, точки пересечения которых расположены на эллипсе. ![]() ![]() |