Математическое моделирование - Никишев. Н. Ульянова В. К. Никишев Математическое моделирование

• Название: Н. Ульянова В. К. Никишев Математическое моделирование
• Анкор: Математическое моделирование - Никишев.doc
• Дата: 01.04.2018
• Размер: 6.84 Mb.
• Имя файла: Математическое моделирование - Никишев.doc
• Тип: Документы; #17476
• страница: 4 из 6

Тема. Моделирование объектов методом

пространства состояния, динамика которого

описывается дифференциальным уравнением
Задачи исследования:

Исследовать динамику объекта методом пространства состояния с использованием информационных технологий MatLab методом составления программы: решения уравнений пространства состояний.

Исходные данные

Начальные и конечные координаты объекта x(0), x`(0), xk, такт исследования T, управляющее воздействие u(0). Получить зависимости x(T), x`(T) с использованием

программ MatLab , Scilab

Математическая модель объекта.

Исходное дифференциальное уравнение имеет вид



Представим исходное уравнение в нормальной форме Коши, вводя обозначения



В результате получим систему уравнений первого порядка


С целью определения матриц уравнения параметров состояния преобразуем систему:


матрицы коэффициентов соответственно равны
Уравнение параметров состояния будет иметь вид


Решение данных примеров в системе Matlab

Для этого создадим 3 m-файла (для каждого примера отдельно). Далее эти m-файлы запустим в командном окне(command Window).

Описание m-файлов

Пример 1

figure(1); //вызов графического окна;

clf; //очистка фигуры;

title(“solve equation d(dx)+k1*dx=k2*u”); //установка титульной надписи

syms k1 k2 p t T i Y01 Y02; //задание переменных;

//ввод данных;

k2=0.01;

k1=0.5;

//ввод исходных матриц;

B=[0 1;0 -k1];

U=[0.1];

E=eye(size(B)); //создание единичной матрицы

A=[0;k2];

D=E*p;

W=D-B;

W1=inv(W); //нахождение обратной матрицы

W2=ilaplace(W1,p,t); //обратное преобразование Лапласа

H=(int(W2,t,0,T))*A; //матрица управления

Y0=[Y01;Y02]; //матрица начальных условий

Y01=0;Y02=1;

W21=ilaplace(W1,p,T); //матрица состояния

T=0.1; // такт работы

for i=0:10,

Y=W21*Y0+H*U; //расчетная формула

Y1=Y01+(-2*exp(-1/2*T)+2)*Y02+1/500*T+1/250*exp(-1/2*T)-1/250;

Y2=exp(-1/2*T)*Y02-1/500*exp(-1/2*T)+1/500;

Y01=Y1; Y02=Y2;

hold on;.//обеспечение продолжение вывода графиков в текущее окно

plot(i,Y01,’o’,i,Y02,’or’);//построение графиков

legend(“x”,’dx’); //добавление к текущему графику легенды

xlabel(“i”); //установка надписи на оси OX

ylabel(“x,dx”); //становка надписи на оси OYgrid on; //сетка

end

Y2=exp(-1/2*T)*Y02-1/500*exp(-1/2*T)+1/500;

Y01=Y1; Y02=Y2;

hold on;.//обеспечение продолжение вывода графиков в текущее окно

plot(i,Y01,’o’,i,Y02,’or’);//построение графиков

legend(“x”,’dx’); //добавление к текущему графику легенды

xlabel(“i”); //установка надписи на оси OX

ylabel(“x,dx”); //становка надписи на оси OYgrid on; //сетка

end

нач. Условия
k1=0.5, k2=0.01; i=0..10; y10=0; y20=1; n=0.1; u=0.1




Y2=exp(-1/2*T)*Y02-1/500*exp(-1/2*T)+1/500;

Y01=Y1; Y02=Y2;

hold on;.//обеспечение продолжение вывода графиков в текущее окно

plot(i,Y01,’o’,i,Y02,’or’);//построение графиков

legend(“x”,’dx’); //добавление к текущему графику легенды

xlabel(“i”); //установка надписи на оси OX

ylabel(“x,dx”); //становка надписи на оси OYgrid on; //сетка

end



Пример. Для дифференциального уравнения




С целью определения матриц уравнения параметров состояния преобразуем систему:


Пример 2

figure(2); //вызов графического окна;

clf; //очиска фигуры;

title(“solve equation d(dx)+2*dx-3*x=u”); //установка титульной надписи

syms p t T i Y10 Y20; //задание переменных;

//ввод данных;

B=[0 1;3 -2];

E=eye(size(B)); //создание единичной матрицы

U=[0.1];

A=[0;1];

D=E*p;

W=D-B;

W1=inv(W); //нахождение обратной марицы

W2=ilaplace(W1,p,t); //обратное преобразование Лапласа

H=(int(W2,t,0,T))*A; //марица управления

Y10=0;

Y20=1;

T=0.1; // такт работы

for i=0:10,

Y=W21*Y0+H*U;

Y1=(1/4*exp(-3*T)+3/4*exp(T))*Y10+1/16*16^(1/2)*(exp(T*(-

1+1/2*16^(1/2)))-exp(T*(-1-1/2*16^(1/2))))*Y20+1/40*(exp(-

T)*exp(1/2*16^(1/2)*T)*16^(1/2)+8*exp(-T)*exp(1/2*16^(1/2)*T)-exp(-

T)*exp(-1/2*16^(1/2)*T)*16^(1/2)+8*exp(-T)*exp(-1/2*16^(1/2)*T)-

16)/(-2+16^(1/2))/(2+16^(1/2));

Y2=3/16*16^(1/2)*(exp(T*(-1+1/2*16^(1/2)))-exp(T*(-1-

1/2*16^(1/2))))*Y10+(3/4*exp(-3*T)+1/4*exp(T))*Y20-1/40*exp(- 3*T)+1/40*exp(T);

Y10=Y1;

Y20=Y2;

hold on; //обеспечение продолжение вывода графиков в текущее окно

plot(i,Y1,’o’,i,Y2,’or’); //построение графиков

legend(“x”,’dx’); //добавление к текущему графику легенды

xlabel(“i”); //установка надписи на оси OX

ylabel(“x,dx”); //становка надписи на оси OY

grid on; end //сетка



3. Индивидуальные задания

по моделированию

Целью работ по компьютерному моделированию являются:

- выработка практических навыков в выполнении работ по математическому моделированию;

- освоение элементов самостоятельной научно- исследовательской работы;

- закрепление навыков программирования, полученных на занятиях.

После выполнения работ студентами представляется отчет, в котором необходимо иметь следующие разделы:

* постановка задачи ( начальные условия);

* математическая модель;

* метод исследования модели;

* алгоритм моделирования задачи ( блок-схема);

* программа на языке программирования, заданным преподавателем;

* результаты в различных формах представления

( табличный, графический, динамический);

* содержательный анализ результатов моделирования, выводы. 3.1 Движение тел в среде с учетом трения

1. Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте и через какое время ему следует открыть парашют, чтобы к моменту приземления иметь безопасную скорость (не большую 10 м/с)?

2 Исследовать, как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения пара­шюта, чтобы скорость приземления была безопасной.(10 м/с)

3. Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (массой, фор­мой) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.

4. Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (массой, формой и в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно большой, чтобы линейной составляю­щей силы сопротивления можно было пренебрегать (на большей части пути).

5. Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта. Исследовать влияние ветра.

6. Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» верти­кально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается на землю. Исследовать влияние ветра.

7. Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусфе­рической, каплевидной и т.д.).

­8. Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между вре­менем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусфе­рической, каплевидной и т.д.).

9. Провести моделирование взлета ракеты при значениях параметров m0 ,m(кон) ,Fтяги ,a. При каких параметрах ракета может достигнуть значения первой космической скорости.

10. Провести исследование соотношения входных параметров m0 и Fтяги, при которых ракета достигнет первой космической скорости (и в соответствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фиксировать произвольно. По­строить соответствующую фазовую диаграмму в переменных (mo и Fтяги).

11. Разработать и исследовать усовершенствованную модель взлета ракеты, приняв во внимание, что реальные космические ракеты обычно двух- и трехступенчатые и двигатели разных ступеней имеют разную силу тяги.

12 Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстреленного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории двигатель выключается, над зондом раскрывает­ся парашют, и он плавно спускается в точку старта.

13 Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстреленного» вертикально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается пара­шют, и он плавно спускается на землю.

14. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противоло­дочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

15 Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противоло­дочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной).

16. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с подводной лодки на стоящий неподвижно противоло­дочный корабль. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

17. Найти вид зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все ос­тальные параметры. Представить эту зависимость графически и подобрать подходящую аналитическую формулу, определив ее параметры методом наименьших квадратов.

18. Разработать модель подводной охоты. На расстоянии г под углом а подводный охотник видит неподвижную акулу. На сколько метров выше нее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель?

19. Поставить и решить задачу о подводной охоте при дополнительном условии: акула движется.

20. Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» под углом к горизонту. В верхней точке траектории над зондом раскрывается тормозной парашют, затем зонд плавно движется до земли.

21. Глубинная бомба, установленная на взрыв через задав время, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

22. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установлен» на взрыв на заданной глубине, сбрасывается с движущегося противолодочни корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины, прои-денным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусфе­рической, каплевидной и т.д.).

23. Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с лежащей на дне подводной лодки на поражение движущегося надводного корабля. Пуск торпе. производится в момент прохождения корабля над лодкой. Исследовать связь между глубиной залегания лодки, временем поражения цели и расстоянием, который корабль успеет пройти по горизонтали.

24 Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с подводной лодки на стоящий вертикально над ней надводный корабль. Исследовать связь между временем поражения цели и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

25 Построить траектории и найти временные зависимости горизонтальной и вер­тикальной составляющих скорости и перемещения для тела массой «м» кг, брошен­ного под углом «а» к горизонту с начальной скоростью «v» м/с:1) в воздухе; 2) в воде.

26. Смоделировать полет камня без учета силы трения. Камень массой « m» брошен под углом «а» к горизонту со скоростью «v». Представить траекторию полета без учета сопротивления воздуха. Исследовать как ме­няются максимальная высота и дальность полета камня при изменении угла . Показать графически.

27. Смоделировать полет бумажки без учета силы трения. Исследовать влияние массы на дальность и высоту полета? Результаты представить графически.

28.Смоделировать полет камня с учетом сопротивления воздуха и исследовать влияние коэффициентов на максимальные дальность и высоту полета. Камень массой «m» брошен под углом «a» к горизонту со скоростью «v» м/с. Cравнить траектории полета без учета сопротивления воздуха.

29. Дальность полета. Как меняются максимальная дальность полета и время полета комка бумаги массой 20 г в зави­симости от угла бросания?

30. Оптимальный угол бросания бумажки. Найдите оптималь­ный угол бросания комка бумаги для получения максимальной дальности полета.

31. Оптимальный угол бросания камня. Под каким углом к го­ризонту следует бросить камень массой 200 г со скоростью 20 м/с, чтобы дальность полета была наибольшей с учетом силы сопротивле­ния воздуха Сравните со случаем, когда сопротивление воздуха не учитывается.

32. Смоделировать полет бумажки без учета силы трения. Исследовать влияние массы на дальность и высоту полета? Результаты представить графически.

33. Смоделировать полет камня с учетом сопротивления воздуха и исследовать влияние коэффициентов на максимальные дальность и высоту полета. Камень массой «m» брошен под углом «a» к горизонту со скоростью «v» м/с. Cравнить траектории полета без учета сопротивления воздуха.

34. Исследовать полет комка бумаги. Как меняются максимальная дальность полета и время полета комка бумаги массой «m» «г» в зави­симости от угла бросания? Начальная скорость комка бумаги рав­на «v» «м/с», сила трения «F».

35. Определить оптимальный угол бросания бумажки массой «m» «г», начальная скорость рав­на «v» «м/с», сила трения «F». 36. Исследовать приближение космического аппарата к Луне. Космический объект массой «m» кг подлетает к Луне. Когда расстояние «а» становится равным «s» км и прицельное расстояние «р» км и скорость объекта «v»м/с.

37. Рассчитайте траекторию полета вблизи Лу­ны. Масса Луны равна 7.3*10^22 кг, радиус Луны равен 1.7*10^3 км. Напишите уравнения движения по оси х и по оси у с учетом зависимости силы притяжения от расстояния.