|
|
Математическое моделирование - Никишев. Н. Ульянова В. К. Никишев Математическое моделирование
38. Cмоделировать траектории подлета космического аппарата вблизи Луны. Пусть скорость объекта равна v перпендикулярна направлению на центр Луны. Прицельное расстояние p=5*10^3 км. Как будет двигаться космический аппарат при скоростях 500 м/с, 1000 m/c, 1500 m/c. Радиус Луны ранен 1.7*10^3 км
39. Cмоделировать различные космические траектории. Задать различные значения для величии р, а, v и исследовать вопрос о движении аппарата вблизи Луны (или Земли) более подробно.
9. Cмоделировать посадку спутника в атмосфере. Спутник Земли массой «м» «т» вошел в атмосферу на высоте S км со скоростью V км/с, параллельной поверхности Земли. Атмосфера тормозит полет силой, равной Av, где для простоты расчетов выражение А/т не зависит от высоты и равно 10^(-4) с-1 .Начертите траекторию посадки. Радиус Земли равен 6370 км, масса Земли равна 5,96*10^24 кг.
10. Исследовать движение болида. Каменная глыба (болид) массой «м» «т» приближается из космоса к планете, у которой радиус R= 1,74*106 м. ,масса т == 7,3*1022 кг и толщина атмосферы h=1,26*106 м. Пусть трение в атмосфере характеризуется силой Av, причем A/m=5*10^(-4) c-1. (коэффициент А не зависит от высоты).
11. Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
12. Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость третьего закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
13. Промоделировать траекторию движения малого космического аппарата, запускаемого с борта космической станции, относительно Земли. Запуск осуществляется путем толчка в направлении, противоположном движению станции, по касательной к ее орбите.
14. Промоделировать траекторию движения малого космического аппарата, запускаемого с борта космической станции, относительно Земли. Запуск осуществляется путем толчка в направлении, перпендикулярном к плоскости орбиты движения станции.
15. Как будет выглядеть полет искусственного спутника Земли, если учесть возмущающее действие Луны?
16. Разработать и реализовать модель движения искусственного спутника Земли при учете воздействия на него малой постоянной силы, обусловленной «солнечным ветром». Считать, что плоскость орбиты движения спутника изначально перпендикулярна к «солнечному ветру».
17. Считая, что движение Луны вокруг Земли происходит практически по круговой орбите, проанализировать воздействие на эту орбиту со стороны Солнца для малого участка движения, на котором плоскость орбиты перпендикулярна к оси «Солнце—Земля».
18. Проанализировать особенности движения искусственного спутника Земли, движущегося практически по круговой орбите на высоте порядка 300 км, связанные с малым сопротивлением атмосферы.
19.Проанализировать изменение круговой орбиты астероида, движущегося вокруг Солнца, под влиянием вулканического выброса с его поверхности.
Моделирование биологических систем
Модель однородной популяции
X(i+1) = x(i)+ax(i)-bx(i)2; x0 = c, i = 0.1...n, (3.82)
где n предельное время моделирования.
Усложнение модели может быть выполнено за счет учета переменности коэффициентов - a (скорости роста) и b (скорости гибели) - в зависимости от времени, а также с учетом половых, возрастных различий индивидумов.
Модель межвидовой конкуренции
dN1/dt=r1*N1(K1-N1-a12*N2)/k1
dN2/dt=r2*N2(K2-N2-a21*N1)/k2
где k1,k2 плотности насыщения
r1, r2 врожденные скорости роста
a12, a21- коэффициенты конкуренции
Эпидемия болезней
В изолированном поселке с населением m человек возникла эпидемия болезни, распространение которой описывается соотношениями:
xi+1 = xi – b*xi*yi;
yi+1 = yi - cyi + bxi*yi;
zi+1 = zi + cyi;
x0=a0, y0=b0, z0=c0,
где xi, yi, zi - число здоровых, больных (инфицированных) и невосприимчивых (переболевших) в момент времени i=0.1...n;
b - частота контактов больных и здоровых;
c - величина, обратная среднему времени выздоровления и зависящая от эффективности лекарств 0
Более строго соотношение может быть получено из системы дифференциальных уравнений:
Модель “хищник - жертва”
Имеются популяции двух видов, которые представляются отношениями
xi+1 = xi + a1xi - b1xi2 - g1xiyi , x0 = c1,
yi+1 = yi - a2yi + b2yi2 - g2xiyi , y0 = c2,
где xi - численность (плотность) жертв,
yi - численность хищников,
g1 - коэффициент защиты жертв,
g2 - коэффициент прожорливости хищников.
Рост опухоли
Раковая опухоль обычно увеличивается экспоненциально в соответствии с дифференциальным уравнением:
, где v - размер опухоли,
с,a,b - константы.
Определить, при каких значениях параметров С существует предельный размер опухоли. Выяснить, при каких значениях С рост опухоли не превосходит некоторой конечной величины.
  
1. Изучить характер эволюции популяции, при значениях параметров a, b, n в зависимости от значения параметра b в диапазоне 0,1 < b < 10,
Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения b?
2. Изучить характер эволюции популяции при значениях параметров b, a,n в зависимости от значения параметра aв диапазоне 1 < a < 10,
Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения a?
3. Изучить характер эволюции популяции а, b,v в зависимости от значения параметра V в диапазоне 1
Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения v?
4. Реализовать модель при различных наборах значений параметров: n, a, b и изучить влияние параметров на характер эволюции.
5. Для модели в фазовой плоскости (b, a) найти границы зон, разделяющих режимы монотонного и колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы.
6. Для модели в фазовой плоскости (a,b) найти границы зон, разделяющих режим колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы и режим устойчивых предельных циклов.
7. Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам при значениях параметров r1 = 2,r2= 2,k1 = 200, k2 = 200, a12 = 0,5,a21= 0,5. Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений их начальной численности n1,n2.
8. Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам при значениях параметров r1 = 2,r2 = 2, k1 = 200, k2= 200, a12= 100, a21 = 100. Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений коэффициентов конкуренции a12, a21,.
9. Построить в фазовой плоскости (n1n2) границы зон, разделяющих какие-либо два режима эволюции конкурирующих популяций (в соответствии с моделью ). Остальные параметры модели выбрать произвольно. Учесть при этом, что режим устойчивого сосуществования популяций может в принципе реализовать только при ф12 < 1.
10. Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» при значениях параметров r = 5, a= = 0, q = 2 c= 0,6 Проанализировать зависимость исхода эволюции от соотношения значений параметров n, c0.
11. Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник—жертва» при значениях параметров r = 5, а = 0,1, q = 2, f = 100, Со = 6. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра a в диапазоне 0,1 : 2.
12. Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник—жертва» при значениях параметров r = 5, а = 0,1, f= 2, N = 100,
13. Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник—жертва» при значениях параметров а = 0,! f= 2, q = 2, N= 100, Со=б. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра r в диапазоне 0,1 < r < 2.
14. Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник—жертва» при значениях параметров a, q, No ,Co. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра «а» в диапазоне 0,1 < а < 2.
15. Модель «хищник—жертва» предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра а. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.
16. Модель «хищник—жертва» предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра q. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.
17.Модель предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв и зависимости от значений параметра a. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.
18. Модель предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра f, Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.
19.Модель предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от соотношения значений начальных численностей популяции N0, С0. Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.
2 3.Промоделировать процесс распространения инфекции стригущего лишая по участку кожи размером n*n (п — нечетное) клеток.
1.Внутривидовая конкуренция в популяции с
дискретным размножением Одна из центральных задач при моделировании случайных процессов — нахождение характеристик случайных величин, являющихся объектом моделирования. Главная такая характеристика — функция распределения. Ее вид можно качественно оценить по гистограмме, построенной в ходе моделирования, а гипотезу о функциональной форме . Однако это не всегда целесообразно, особенно если в задаче требуется определить лишь некоторые характеристики случайной величины — чаще всего среднее значение и дисперсию. Их можно найти без моделирования самой функции распределения проверить с помощью одного из стандартных критериев, используемых в математической статистике. При этом статистическая оценка достоверности результатов является обязательной.
Результаты моделирования уместно выводить на экран компьютера в следующем виде: в виде таблиц значений рассчитываемой величины (как правило, в нескольких выборках), в виде гистограмм распределения случайных величин, построенных в ходе моделирования.
Целесообразно там, где это возможно, сопровождать имитационное моделирование визуальным отображением соответствующего процесса на экране компьютера (процесс формирования очереди, рождение и исчезновение объектов в задачах моделирования популяций и т.д.).
Моделирование случайных процессов
1. Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при равновероятных законах распределения описанных выше случайных величин: прихода покупателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей. Оценить их достоверность. Оценить характер функции распределения величин g и h.
2. Провести то же моделирование при пуассоновских законах распределения вероятностей входных событий: прихода покупателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).
3.Провести то же моделирование при нормальном законе распределения вероятностей входных событий: прихода покупателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).
4. В рассмотренной выше системе может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем, В самом деле, если покупатели заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), очередь начинает расти, и в рассматриваемой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис. Построить зависимость между величинами (a max, b min), отражающую границу указанной критической ситуации, при равновероятном распределении входных событий.
5. На междугородней телефонной станции две телефонистки обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Если обе в момент поступления заказа заняты, то звонок аннулируется и требуется звонить снова. Смоделировать процесс, считая входные потоки пуассоновскими.
6.Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, но считать, что, если в момент попытки сделать заказ обе телефонистки занять;, формируется очередь.
7. Пусть на телефонной станции с одним входом используется обычная система: если абонент занят, то очередь не формируется и надо звонить снова. Смоделировать ситуацию: три абонента пытаются дозвониться до одного и того же владельца номера и в случае успеха разговаривают с ним некоторое (случайное по длительности) время. Какова вероятность того, что некто, пытающийся дозвониться, не сможет сделать это за определенное время Т?
8. Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, но считать, что, если в момент попытки связаться телефон абонента занят, формируется очередь.
9. На травм. пункте работает один врач. Длительность лечения больного и промежутки времени между поступлениями больных — случайные величины, распределенные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три категории, поступление больного любой категории — случайное событие с равновероятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяжелыми травмами (в порядке их поступления), затем, если таковых нет, — больными с травмами средней тяжести (в порядке их поступления) и лишь затем — больными с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий,
10.Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, при условии, что в травм. пункте работают два врача, а больные делятся не на три, а на две категории.
11.Одна ткачиха обслуживает группу станков, осуществляя по мере необходимости краткосрочное вмешательство, длительность которого — случайная величина.Какова вероятность простоя сразу двух станков? Как велико среднее время простоя одного станка?
12.Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, если группу станков совместно обслуживают две ткачихи.
13.В городском автохозяйстве две ремонтные зоны. Одна — обслуживает ремонты краткой и средней продолжительности, другая — средней и долгой (т.е. среднесрочный ремонт может осуществлять каждая из зон). По мере поломок в автохозяйство доставляют транспорт; промежуток времени между доставками — случайная пуассоновская величина. Продолжительность ремонта — случайная величина с нормальным законом распределения. Смоделировать описанную систему. Каковы средние времена ожидания в очереди транспорта, требующего соответственно краткосрочного, среднесрочного и длительного ремонта?
14. Реализовать имитационную модель статистического моделирования для решения задачи Бюффона (XVIII в.). Автор аналитически нашел, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми L, бросается наугад игла длиной l, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну прямую, определяется формулой р = 2*l/(pi*L) .
Эта задача дала способ имитационному определению числа pi. Действительно, если L =2*l, то p = 1/pi. В ходе моделирования выполнить этот расчет.
15. Разработать модель случайного одномерного блуждания (модель «пьяницы»). Блуждание задается по правилу: если случайное число из отрезка [0,1] меньше 0,5, то делается шаг вправо на расстояние h, в противном случае
влево. Распределение случайных чисел принять равновероятным. Решить задачу: какова вероятность при таком блуждании удалиться от начальной точки на п шагов?
16.В условиях задачи из предыдущего варианта получить ответ на вопрос: какова вероятность «пьяницей вернуться через п шагов в начальную точку?
17.Точка хаотически блуждает на плоскости по узлам квадратной сетки с возможностью делать с равной вероятностью шаги влево-вправо-вверх-вниз на фиксированный (за один ход) шаг. Движение происходит в замкнутом прямоугольном объеме, и при соприкосновении со стенкой происходит зеркальное отражение от нее.
Ответить в ходе моделирования на вопрос: как связана частота посещения каждого узла с расстоянием от него до того узла, из которого начинается движение?
|
|
|
Скачать 6.84 Mb.