Метрология. все ответы к теории-1. На входе линии связи называют входным сигналом, или воздействием, а сигнал
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
8. Периодические сигналы и их спектры. Примеры. Периодическим считается такое колебание, которое повторяется через одинаковые промежутки времени s(t) = s(t + Т, Т – период колебания, а -∞ t ∞. Примеры периодических сигналов. 1) Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.3). Ее параметры A m – амплитуда и – длительность импульса, T - период. Это пример импульсного сигнала. 2) Гармонические колебания (рис. 2.4). s(t) = A m cos( t – 0 ). Его параметрами являются A m – амплитуда, – частота, 0 – начальная фаза. Это пример непрерывного сигнала. Спектры периодических сигналов Простейшим периодическим сигналом являются гармоническое колебание S(t)=A m cos(ω 0 t+ 0 ). Оно состоит из одной гармонической составляющей с амплитудой A m и начальной фазой 0 , которые расположены на частоте ω 0 . Для наглядного изображения спектров сигналов их изображают в виде графиков, при этом рассматривают по отдельности амплитудный спектр и фазовый спектр. Амплитудным или амплитудно-частотным спектром (АЧС) называется зависимость амплитуд гармонических составляющих от частоты (АЧС→A mn (ω), риса. Фазово-частотным спектром (ФЧС) называется зависимость начальных фаз гармонических составляющих от частоты (ФЧС→ (ω), рис. 2 б. Из математики известно, что любой периодический сигнал s(t), удовлетворяющий условиям Дирихле, может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье ) Ω cos( 2 ) Ω sin( ) Ω cos( 2 ) ( 1 0 1 0 n n mn mn n mn t n A a t n b t n a a t s , где T / 2 Ω – основная частота следования сигнала (первая гармоника сигнала, n – номер гармоники сигнала, nΩ – частота й гармоники сигнала, 0 , , 2 mn mn a a b – коэффициенты ряда Фурье 0 1 ( ) 2 T a s t dt T – постоянная (средняя) составляющая сигнала 2 ( ) cos T mn a s t n t dt T – косинус составляющая амплитуды й гармоники спектра сигнала 2 ( )sin T mn b s t n t dt T – синус составляющая амплитуды й гармоники спектра сигнала 2 2 mn mn mn A a b – амплитуда й гармоники nm mn n a b arctg – начальная фаза й гармоники. Из ряда Фурье следует, что спектр периодического сигнала имеет дискретный (линейчатый) характер по оси частот (рис. 2.12). Рис. 2.3 s(t) и t 0 9. Операторное представление сигналов и операторные функции электрических цепей. Преобразование Фурье применяется лишь для сигналов с конечной энергией, те. для сигналов, удовлетворяющих условию 2 ( ) t s t dt Функция s(t), удовлетворяющая записанному условию, называется абсолютно интегрируемой. Более универсальным является операторное представление сигнала, которое основано на преобразовании Лапласа. При операторном представлении сигналу s(t), как функции действительной переменной t, ставится в соответствие функция комплексной переменной р – S(p), где p = σ + jω (p называется комплексной частотой. Эта функция вводится следующим выражением 0 ) ( ) ( dt e t s p S pt – прямое преобразование Лапласа (ППЛ), (S(p) = L[s(t)]); 1 ( ) ( ) 2 pt s t S p e dp j – обратное преобразование Лапласа (ОПЛ), (s(t) = L –1 Сигнал s(t) называют оригиналом, а S(p) – изображением, или операторным представлением сигнала. Для нахождения функции спектральной плотности S(jω) по известному операторному представлению S(p) сигнала необходимо оператор р заменить нате S(р)| р = Пример Найти спектральную плотность S(jω) для единичной функции (рис. 2.15). 0, 0; 1 1, 0. t t t p e p dt e p S pt pt 1 1 1 0 0 ; 1 1 S j j S 10. Методы расчета цепей постоянного и переменного тока. Законы Ома и Кирхгофа. Эквивалентное преобразование электрических цепей. Примеры Эквивалентные преобразования электрических цепей Часто исходная электрическая схема состоит из большого числа элементов и представляет интерес замены ее другой, более простой – состоящей из меньшего числа элементов, но эквивалентной исходной. Такая замена называется одной цепи другой называется преобразованием цепи. Преобразования электрических цепей считают эквивалентными, если при их выполнении напряжения и токи на интересующих нас участках не изменяются. Электрические цепи считают простыми если они содержат только последовательное или только параллельное соединение элементов. Участок цепи, содержащий и параллельное, и последовательное соединение элементов называют сложным или участком со смешанным соединением элементов. При преобразовании сложных электрических цепей пользуются последовательным методом, то есть последовательно преобразуют участки цепи, имеющие простое соединение элементов. Эквивалентное преобразование схемы при последовательном соединении элементов Рассмотрим комплексную схему замещения электрической цепи, состоящей из последовательного соединения отдельных элементов (рис. 4.6). Данная цепь представляет собой контуру которого через все элементы протекает общий для всех элементов ток. Эквивалентно преобразуем схему к одному элементу, но так, чтобы напряжение и ток на выводах схемы сохранили свои значения. Это возможно, когда сопротивление исходной и эквивалентной цепи одинаковы. На основании закона Ома и второго закона Кирхгофа в комплексной форме можно записать уравнение электрического равновесия 1 2 1 экв Z I Z I Z I Z Z Z I Z Отсюда напряжение и ток для обеих схем одинаковы когда 1 экв Вывод. При эквивалентном преобразовании при последовательном соединении элементов их комплексные сопротивления складываются. 1) Эквивалентное преобразование сопротивлений. Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.7. Эквивалентно преобразуем сопротивления R 1 и R 2 к одному сопротивлению R экв Учитывая, что Z R = R, и полученное соотношение, имеем экв = R 1 + R 2 2) Эквивалентное преобразование емкостей. Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.8. Эквивалентно преобразуем емкости Си С к одной эквивалентной емкости С экв Учитывая, что Си полученное соотношение, имеем 1 экв С С C С С 3) Эквивалентное преобразование индуктивностей. Рассмотрим электрическую цепь схема, которой приведена на рис. 4.9. Эквивалентно преобразуем индуктивности L 1 и L 2 к одной эквивалентной индуктивности L экв Учитывая, что Z L = jωL, и полученное соотношение, имеем экв = L 1 + Эквивалентное преобразование схемы при параллельном соединении элементов Рассмотрим комплексную схему замещения электрической цепи, состоящей из параллельного соединения отдельных элементов (рис. 4.10). Данная цепь содержит два узла, между которыми включены все элементы. Общим для всех элементов является напряжение на них. Эквивалентно преобразуем схему к одному элементу, но так, чтобы напряжение и ток на выводах схемы сохранили свои значения. Это возможно, когда сопротивление исходной цепи и эквивалентной цепи одинаково. На основании закона Ома и первого закона Кирхгофа в комплексной форме можно записать уравнение электрического равновесия I = I 1 +I 2 +…+I n , или (экв) = (U/Z 1 ) + (U/Z 2 ) + … +(U/Z n ) . Отсюда следует, что экв) = (1/Z 1 ) + (1/Z 2 ) + … +(1/Z n ), или экв = 1/[(1/Z 1 ) + (1/Z 2 ) + … +(1/Z n )]. Учитывая, что (1/Z) = Y – комплексная проводимость элемента, можно записать экв = Y 1 + Y 2 + … + Вывод. При эквивалентном преобразовании при параллельном соединении элементов их комплексные проводимости складываются. 1) Эквивалентное преобразование сопротивлений. Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.10. Эквивалентно преобразуем сопротивления R 1 и R 2 к одному сопротивлению R экв Учитывая, что Z R = R, и полученное соотношение, получим экв = R 1 R 2 /(R 1 +R 2 ). 2) Эквивалентное преобразование емкостей Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.11. Эквивалентно преобразуем емкости Си С к одной эквивалентной емкости С экв . Учитывая, что Си полученное соотношение, имеем экв = C 1 + С 3) Эквивалентное преобразование индуктивностей. Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.12. Эквивалентно преобразуем индуктивности L 1 и L 2 к одной эквивалентной индуктивности L экв Учитывая, что Z L = jωL, и полученное соотношение, имеем экв = L 1 L 2 /(L 1 +L 2 ). Эквивалентное преобразование схемы при смешанном соединении элементов Такое преобразование выполняется последовательным методом, те. последовательно преобразуются участки цепи, имеющие простое соединение элементов. Рассмотрим такое преобразование на примере для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис. 4.13). Эквивалентное сопротивление находим методом последовательных эквивалентных преобразований. Этот методсостоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис. 4.14: 4.3.4. Эквивалентное преобразование источников электрических сигналов Любой источник электрического сигнала может быть представлен одной из двух схем (рис. 4.15–4.16), поскольку при определенном выборе параметров элементов эти схемы эквивалентны, теток нагрузки ни напряжение на нагрузки н в этих схемах одинаковы. Схему 1 можно заменить схемой 2, если параметры схемы 2 выбраны из условий I = E/Z i1 , Z i2 = Схему 2 можно заменить схемой 1, если параметры схемы 1 выбраны из условий E =I Z i1 , Z i1 = Z i2 11. Гармоническое колебание. Основные параметры. Комплексная амплитуда и ее свойства. Гармоническим называется колебание, которое описывается гармонической функцией времени sin(t), cos(t). Сигналы произвольной формы могут иметь следующие формы представления - временное представление сигнала - комплексное представление - векторное представление - спектральное - операторное. 1. При временном представлении сигнал записывается в виде аналитической функции времени. Например, гармонический сигнал записывается гармонической функцией времени 0 ( ) cos m s t A t Его график называется временной диаграммой (рис. 2.8.). Основными параметрами гармонического сигнала являются 1) Амплитуда A m наибольшее отклонение от нуля гармонической функции. Размерность амплитуды связана с физической природой сигнала. 2) Период T минимальное расстояние, повремени, между точками, находящимися водной фазе, ω = 2π/T – круговая частота, f = 1/T – частота. Их размерность T с f Гц ω [рад/с]. 3) 0 = ωt 0 – начальная фаза гармонического колебания t 0 – временной сдвиг, если t 0 > 0, это означает опережение, если t 0 < 0, это означает задержку сигнала относительно сигнала с t 0 = 0. 4) Ψ(t) = (ωt + φ 0 ) – полная фаза гармонического колебания. 5) ω(t) = dΨ(t)/dt – мгновенная частота. 2. При комплексном представлении гармоническое колебание как функция времени заменяется комплексной амплитудой, те. комплексным числом, независящим от времени. Это делается для упрощения записи и выполнения операций над гармоническими функциями. Вспомним комплексные числа. Z – комплексное число. Его можно записать водной из трех форм алгебраической, показательной и тригонометрической. Z = a + jb = cos sin j Ae A jA , где a = Re [Z] = A cos ; b = Im[Z] = A sin Re [Z] – реальная часть, Im[Z] – мнимая часть комплексного числа Z . А – mod[Z] – модуль комплексного числа Z, или А = (а – длина векторов комплексного числа. φ = arg[Z] – аргумент комплексного числа Z, или φ = arctg(b/a) – начальная фаза. Переход от одной формы записи косинусоидальной функции к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера На рис. 2.9 показано геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости. Его можно представлять точкой построенной в декартовой (с координатами Re [Z], Im[Z] ) или вектором в полярной системе координат (с координатами А – длина вектораи φ – начальная фаза. Выражение А называют комплексом гармонической функции. Тогда, учитывая, что А m cosφ = Re{А m e jφ }, можно записать 0 ( ) 0 ( ) cos( ) Re Re Re t j t j j t j m m m m s t A t A e A e e A e Комплексную величину 0 j m m A A e называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а е – множителем вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени при известной частоте ω связаны взаимноодно-значно, те. 0 0 ( ) cos( ) j m m m s t A t A A e Например, гармоническому колебанию u(t) = 256 cos(2π100t – 45 ) соответствует комплексная амплитуда U m = 256 e –j45 . Справедливо и обратное. 3. Векторное представление сигналов – это представление сигнала вектором на комплексной плоскости. При расчетах удобно использовать следующие понятия о гармоническом сигнале. а) Комплексное гармоническое колебание – гармонический комплекс s(t) = А e j(ωt+φ) = A m e jωt , где e jωt – множитель вращения. На комплексной плоскости гармонический комплекс представляется вектором А c начальной фазой φ 0 , вращающимся против часовой стрелки с частотой ω. б) Гармоническое колебание s(t) = A m cos(ωt+φ 0 ) = Re{A m e jφ }. На комплексной плоскости гармоническое колебание представляется проекцией вращающегося с частотой ω против часовой стрелки вектора гармонического комплекса на реальную ось (рис. 2.10). в) Комплексная амплитуда 0 j m m A A e . На комплексной плоскости она представляется в виде неподвижного вектора с амплитудой A m и начальной фазой Рис. 2.10 Im 0 A m Re Re{A m e j } 12. Комплексное сопротивление. Закон Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Под комплексным сопротивлением понимают отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде входного тока . (1.6) где Z модуль комплексного сопротивления, φ=ψ u - ψ i – начальная фаза или аргумент комплексного сопротивления R - активного сопротивления, X– реактивному сопротивлению, причем Z=(R 2 +X 2 ) 1/2 , а φ z (ω)=ψ u -ψ i =arctg(X/R). 1. Закон Ома. Он устанавливает связь между комплексными амплитудами тока и напряжения на участке цепи. 1.1. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС рис. 4.2): 1 2 12 m U I Z Z , где Z – комплексное сопротивление участка цепи, 1 2 12 U – напряжение на данном участке цепи. 1.2. Закон Ома для участка цепи, содержащего источники ЭДС, представлен на рис. 4.3. Закон Ома позволяет определить ток на этом участке цепи. Члены алгебраической суммы берутся со знаком «+», если направления ЭДС и тока совпадают, и со знаком «–», если не совпадают. k k Z – арифметическая сумма комплексных сопротивлений на данном участке, все члены суммы берутся со знаком «+». 12 1 2 1 2 U E E I Z Z |