Метрология. все ответы к теории-1. На входе линии связи называют входным сигналом, или воздействием, а сигнал
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
2. Законы Кирхгофа в комплексной форме. 2.1. Первый закон Кирхгофа (для узла алгебраическая сумма комплексных амплитуд тока в узле равна нулю. При записи первого закона Кирхгофа (рис. 4.4) пользуются следующим правилом токи, втекающие в узел, берутся со знакома вытекающие – со знаком «–»: 0 4 3 2 1 m m m m I I I I 2.2. Второй закон Кирхгофа (для контура алгебраическая сумма падений напряжений на пассивных элементах контура (рис. 4.5) равна алгебраической сумме источников ЭДС, входящих в контур При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа 1) выбирают условно-положительное направление обхода элементарного контура 2) члены суммы mk k k I Z берутся со знаком «+», если ток через элемент и направление обхода совпадают, и со знаком «–» в противном случае 3) слагаемые правой суммы mi i E берутся со знаком «+», если направление источника ЭДС и направление обхода совпадают, и со знаком «–» в противном случае. 13. Резистивный, емкостной и индуктивный элементы вцепи синусоидального тока. Резистивный элемент вцепи синусоидального тока Рассмотрим цепь, содержащую только резистивный элемент (резистор) с сопротивлением R. Мгновенное значение тока вцепи с резистором (риса) определяется по закону Ома i R = u R / R, 1. если u R = U m sin t, получим i R = (U m / R) sin t = I m sin t, где I m = U m / R, разделив левую и правую части на 2 , получим закон Ома для цепи с резистором, выраженный через действующие значения напряжения и тока в нем I = U / R. Сравнивая выражения для тока и напряжения u R можно сделать вывод о том, что на резистивном элементе фазы напряжения и тока совпадают. Для цепи с резистором закон Ома в комплексной форме имеет вид R U I / , Мгновенная мощность произвольного участка цепи может быть определена как произведение мгновенных значений напряжения и тока этого участка и представляет собой скорость изменения энергии в данный момент времени. Учитывая отсутствие фазового сдвига между напряжением u R и током i R на резистивном элементе, а также принимая значения начальных фаз напряжения и тока равными нулю, получим для мгновенной мощности резистивного элемента p R : p R = u R i R = U m sin( t)I m sin( t) = Мгновенная мощность p R содержит две составляющие постоянную, равную произведению действующих значений напряжения и тока, и переменную, частота изменения которой в два раза больше, чем частота напряжения (или тока. Мгновенная мощность резистора никогда не принимает отрицательных значений. Физически это означает, что имеет место только односторонняя передача энергии от источника энергии к резистору. В резисторе энергия не накапливается, а преобразуется в другие виды энергии (например, в тепловую. Векторная диаграмма цепи риса) изображена на рис. 3, б, а графики мгновенных значений тока i R , напряжения u R и мощности резистивного элемента представлены на рис. 3, в. Индуктивный элемент вцепи синусоидального тока Рассмотрим электрическую цепь, содержащую катушку, активное сопротивление которой настолько мало, что им можно пренебречь. Пусть ток вцепи с индуктивностью L (риса) изменяется синусоидально: i L = I m sin t. Этот ток создает в катушке синусоидально изменяющийся магнитный поток, который наводит в ней ЭДС самоиндукции e L = L d i L /dt. Напряжение источника u = u L уравновешивается ЭДС самоиндукции e L : u = u L = – e L = L d i L / dt. Выполнив дифференцирование, получим u L = LI m cos t = LI m sin( t + /2)= U Lm sin( t + /2), 2. где U Lm = LI m , или U L = LI. Произведение L имеет размерность сопротивления, его обозначают X L и называют индуктивным сопротивлением катушки. X L = L = 2 f L, U L = X L I. Сравнивая выражения для тока и напряжения u L , можно сделать вывод, что на индуктивном элементе напряжение опережает по фазе ток на угол /2. Для цепи с индуктивностью закон Ома в комплексной форме записывается так Учитывая фазовый сдвиг ( = /2), для мгновенной мощности индуктивного элемента p L получим p L = u L i L = U m sin( t+ /2)I m sin( t) = U m I m cos( t)sin( t) = Мгновенная мощность p L имеет только переменную составляющую, частота которой в два раза превышает частоту напряжения (или тока) и представляет собой скорость прироста энергии магнитного поля индуктивности. За первую четверть периода тока, когда u L и положительны, мгновенная мощность p L 0. Это означает, что энергия поступает от источника и идет на увеличение энергии магнитного поля в индуктивной катушке (этот интервал времени отмечен знаком “+” на рис. 4, в. Во вторую четверть периода, когда ток i L уменьшается от максимального значения до нуля, энергия магнитного поля отдается обратно источнику, при этом мгновенная мощность индуктивного элемента отрицательна (этот интервал времени отмечен знаком “–” на рис. 4, в. Далее все повторяется. Следовательно, энергия периодически то забирается индуктивной катушкой от источника, то отдается ему обратно. Векторная диаграмма цепи с индуктивностью (риса) изображена на рис. 4, б, а графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности на рис. 4, в. Емкостный элемент вцепи синусоидального тока Рассмотрим цепь, содержащую конденсатор, емкость которого С. Если к емкостному элементу (риса) приложено синусоидальное напряжение u c = U m sin t, то ток зарядки-разрядки емкости i C = С / dt = CU m со t = I m sin( t + /2). Таким образом, на емкостном элементе напряжение отстает по фазе оттока на угол /2. Амплитуда тока I m = CU m , а его действующее значение I = CU. Множитель C имеет размерность проводимости (м. Величину, обратную C, обозначают Си называют емкостным сопротивлением С = 1 / C = 1 / С. Закон Ома в комплексной форме для цепи с емкостным элементом записывается так Мгновенная мощность емкости С представляет собой скорость изменения энергии электрического поля и определяется следующим образом (с учетом сдвига фаз С = u С i С = U m sin( t)I m sin( t+ /2) = Мгновенная мощность С имеет только переменную составляющую, частота которой в два раза превышает частоту напряжения (или тока. За первую четверть периода напряжения конденсатор потребляет от источника питания энергию, которая идет на создание в нем электрического поля и увеличение энергии поля (этот интервал времени отмечен знаком “+” на рис. 5, в. Во вторую четверть периода напряжение на конденсаторе уменьшается от максимального до нуля и запасенная в электрическом поле энергия отдается источнику. Мгновенная мощность отрицательна (этот интервал времени отмечен знаком “–” на рис. 5, в. Векторная диаграмма цепи с емкостью (риса) приведена на рис. 5, б, а графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности — на рис. 5, в. 14. Мощности вцепи гармонического тока. Коэффициент мощности Мощности цепи гармонического тока. Пусть через участок цепи (рис. 2.21) протекает гармонический ток i(t) = I m При этом на нем возникает напряжение u(t) = U m cos( 0 + u ). Отсюда мгновенная мощность определяется выражением p(t) = i(t) U(t) = 1/2U m I m cos( u – i ) + 1/2U m I m cos(2 0 t + u – i ). Рис. 2.21 Она состоит из двух слагаемых. Первое зависит от времени и изменяется с частотой в 2 раза выше, чем ток или напряжение на этом участке цепи, а второе от времени не зависит, его называют средней мощностью. Оно зависит от сдвига фаз между напряжением и током. Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 2.22), когда u и i разных знаков, те. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания. Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. В цепях гармонического тока пользуются следующими мощностями 1. Среднее значение мгновенной мощности (активная мощность) Р Р А = T dt t P T 0 ) ( 1 UI cos( u – i ); φ = u – i – фазовый сдвиг между током и напряжением. Р А - максимальна, когда токи напряжение находятся водной фазе φ = те. u = Активная мощность выделяется (поглощается) на участке цепи, совершая полезную работу, превращаясь в тепловую или механическую форму энергии. Активная мощность измеряется в ваттах (Вт. 2. Реактивная мощность P Q = UI sin( u – i ). P Q характеризует энергию, которая накапливается реактивными элементами цепи и возвращается затем в цепь. P Q иногда называют кажущаяся мощность т.к., она P Q не потребляется участком цепи и не выполняет никакой работы. Реактивная мощность измеряется в варах (Вар – вольт-ампер реактивный. 3. Полная мощность P s = 2 Величину cos = P A /P s называют коэффициентом мощности. Он показывает, какая доля от P s совершает полезную работу, те. является активной мощностью (P A ). Фактически это кпд участка цепи, например электродвигателя. Полная мощность измеряется в ВА (вольт-ампер). 4. Комплексная мощность. Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности , где - комплекс, сопряженный с комплексом U(t) 15. Расчет цепей методом комплексных амплитуд. Пример. Метод комплексных амплитуд состоит в следующем 1) Исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27. б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, тех) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, те. Y m = Y m e –j y . 3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, те. Y m =Y m e –j y y(t) = Y m cos( 0 t – Пример 1. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, схема которой приведена на рис. 4.29. На вход цепи подается синусоидальное воздействие . Параметры воздействия и элементов цепи известны U m =1 В, ω =1 с , φ u =90 0 , R=1 Ом, L=1 Гн, C=1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму. Решение. 1. Представим воздействие в комплексной форме 2. Построим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30. 3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. При этом можно воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей 3. Построим векторную диаграмму для токов и напряжений вцепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31. Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. При необходимости записать временную функцию тока или напряжения, это всегда можно сделать, имея векторную диаграмму. Например, напряжение на элементе имеет амплитуду , а начальную фазу 135 0 , значит, во временной области это напряжение можно записать так 16. Расчет цепей постоянного и переменного тока методом токов ветвей, Данный метод основан на применении го иго законов Кирхгофа. За неизвестные величины в этом методе принимаются искомые токи во всех ветвях схемы. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы, состоящей из b ветвей (b = N), необходимо составить N независимых уравнений. Порядок решения данным методом. 1) Проводится топологический анализ схемы. а) Во всех ветвях стрелками показывают положительное направление токов и нумеруют их I 1 , I 2 , …, I N . Отсюда определяют число ветвей b = N. б) Подсчитывают число узлов у и определяют число независимых узлов у = у – 1. в) Подсчитывают число независимых контуров по формуле N k = b – у + 1. На схеме независимые контуры выделяют дугами. Стрелкой на дуге показывают положительное направление обходов элементов контуров. Эти контуры нумеруют. За положительное направление принимают направление почасовой стрелке. 2) По 1-му и 2-му законам Кирхгофа относительно токов ветвей записывают уравнения. Общее число уравнений составляет N y + N k = b, это означает, что записанная система относительно токов ветвей имеет однозначное решение. В общем случае для схемы из b = N ветвей составленные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений го порядка 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ; ; N N N N N N NN N N a x a x a в x a x a в x a в где x i – искомые токи ветвей a ji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы в – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы. 3) Токи в ветвях находят по правилу Крамера x i = i ; nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 , где – главный определитель системы i – определитель, получается из главного путем замены i- го столбца на столбец свободных членов в i Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.28). Определить токи во всех ветвях схемы. 1) Проведем топологический анализа б) y = 2, у =1; в) N k = b – y + 1 = 2. 2. Запишем систему уравнений, составленную по методу токов ветвей. Рис. 4.28 Z 2 I Z 1 Z 3 II I E 1 E 2 I 1 I 2 I 3 17. Расчет цепей постоянного и переменного тока методом контурных токов. Пример. Метод основан нам законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих поданной ветви. Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29). Эта схема эквивалентна, если а) E = IZ i I ; б) Z i II = Z i I 1) Топологический анализ схемы. а) Как ив предыдущем методе, определяют число ветвей b. б) Определяют число узлов у. в) Подсчитывают число независимых контуров N k = b – y + Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода. Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток I k1 ; I k2 ; За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура. 2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N k = N k порядка где I ki – контурный ток го контура Z ii – собственное сопротивление го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в й контур Z ji – сопротивление смежных ветвей между мим контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно E ki – контурная ЭДС й ветви. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в й контур. Контурная ЭДС E ki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно. 3) По правилу Крамера находят контурные токи I ki = i . 4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. Если токи оказались положительными, то выбранное направление совпадает с истинными наоборот. Пример Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях. Проводим топологический анализа б) y = 4; в) N k = 6 – 4 + 1=3. 2) Составим систему уравнений по методу МКТ 3) По методу Крамера находим контурные токи I ki = i 4) Находим токи в ветвях = I k1 ; I 2 = I k1 – I k2 ; I 3 = I k1 – I k3 ; I 4 = –I k2 + I k3 ; I 5 = I k2 ; I 6 = Рис. 4.30 I Z 1 II III I 1 E 1 I 5 I 2 I 3 I 4 Z 3 Z 6 Z 5 Z 4 Z 2 I k2 I k3 I k1 |