Метрология. все ответы к теории-1. На входе линии связи называют входным сигналом, или воздействием, а сигнал
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
24. Переходные процессы. Законы коммутации. Начальные условия, схемы замещения. Классический метод анализа. Процессы, протекающие в электрических цепях, в общем случае характеризуются токами и напряжениями на элементах (участках) цепи. Если параметры токов и напряжений остаются постоянными во времени, то такой режим цепи называется стационарным или установившемся. В таком режиме энергетическое состояние цепи, которое связано стоками и напряжениями на элементах, остается постоянным во времени. Любое изменение в электрической цепи, приводящее к изменению энергетического состояния цепи называется коммутацией. Коммутация это различные включения и выключения пассивных или активных элементов, что приводит к изменению топологии цепи или изменению параметров элементов, а также изменения параметров воздействующих на цепь сигналов. Обычно считают, что коммутация совершается мгновенно. В результате коммутации возникает процесс перехода электрической цепи от одного энергетически стационарного состояния к другому. Этот процесс называется переходным или нестационарным процессом. Переходной процесс протекает не мгновенно (скачком, а, постепенно, в течение определенного времени в силу того, что энергия энергоемких элементов скачком изменяться не может и, следовательно, не может изменяться скачком обусловливающая ее величина. Если предположить, что энергия W изменится мгновенно за время t = 0, то мощность P=W/t, необходимая для этого, оказалась бы равной бесконечности, а источников с бесконечной мощностью в природе не существует. Время, за которое протекает переходной процесс, называется временем переходного процесса. К энергоемким элементам относят емкость и индуктивность. Вследствие того, что запасенная ими энергия (W L =LI L 2 /2, W C =CU C 2 /2) является непрерывной функцией времени, то ток через индуктивность i L и напряжение на емкости u C также являются непрерывными функциями времени, что и приводит к переходному процессу в электрической цепи. Причины, приводящие к переходным процессам, формулируются в виде законов коммутации, без знания которых невозможно рассчитывать и анализировать переходные процессы. Первый закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации ток через индуктивность сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией i L (+0) = Второй закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией u C (+0) = Задача анализа цепи заключается в отыскании отклика при известном входном сигнале (воздействии) и схеме электрической цепи. При импульсном воздействии x(t) – произвольная функция времени. При произвольном входном сигнале основными методами анализа цепей являются 1) классический метод 2) спектральный метод 3) операторный метод 4) временной (метод интеграла Дюамеля). Классический метод анализа Данный метод сводится к составлению и решению дифференциального уравнения, устанавливающего связь между откликом и воздействием. Порядок применения метода следующий. 1) Составление дифференциального уравнения и приведение его к стандартному виду. Уравнение составляется на основе законов Ома и Кирхгофа, а также с использованием метода контурных токов, узловых потенциалов и других. При составлении уравнения используют следующие соотношения При составлении уравнения за неизвестные принимают переменные состояния цепи, те. величины, которые отражают энергетическое состояние цепи. К ним относят u C и i L . Составленные уравнения цепи после преобразований, приведения подобных членов и дифференцирования сводят к неоднородному линейному уравнению. Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ): , , 0 1 1 х, где y(t) – отклик х) – воздействие a i – постоянные, зависящие от R, L, C; n – порядок дифференциального уравнения (ДУ). Порядок ДУ зависит от числа реактивных элементов и схемы их соединения. В простейшем случае число реактивных элементов равно n. 2) Запись общего решения ЛНДУ. Оно состоит из суммы двух составляющих y(t) = y 1 (t) + y 2 (t). y 1 (t) – общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, когда f = 0. Это решение не зависит от воздействия (x) и называется свободной составляющей общего решения, которое известно и равно где p i – корни характеристического уравнения, A i – постоянные интегрирования. y 2 (t) – это частное решение НЛДУ, оно зависит от x(t), а потому называется вынужденной составляющей общего решения. 3) Нахождение вынужденной составляющей y 2 (t). Она зависит от воздействия. Если входной сигнал имеет стационарный режим, то за частное решение принимают решение уравнения в установившемся (стационарном) режиме. При ступенчатом воздействии такой режим имеет место, когда t . Это соответствует постоянной составляющей, те. гармоническому сигналу с нулевой частотой, 0 0 0 0 ) cos( ) ( t x x t x , а потому y 2 (t) находят из схемы замещения исходной цепи при = 0. 4) Нахождение Коэффициенты экспоненты находятся как корни характеристического уравнения, которое получают из дифференциального путем замены производных на n p : 0 0 1 1 a p a p a n n n n 5) Нахождение постоянных интегрирования Постоянные интегрирования общего решения определяются изначальных условий (при t = 0) для искомой функции и ее производных 1 ) 0 ( f t y ; 2 0 f dt dy t ; 1 0 1 Конкретные значения этих функции при t = 0 находят из схем замещения исходной цепи при t = +0 с учетом законов коммутации для L, элементов. Если входной сигнал – ступенчатая функция, то мгновенному изменению входного сигнала при t = 0 соответствует гармонический сигнал с , а потому искомые значения находят из схемы замещения исходной цепи при 6) Анализ корней характеристического уравнения и запись окончательного решения. 25. Импульсные сигналы. Переходная и импульсная характеристика цепи. Метод интеграла Дюамеля. В электрических цепях наряду с непрерывными сигналами, которые описываются непрерывными функциями времени, часто применяются и импульсные сигналы. Они существуют не на всей временной оси, и их величина непроизвольна. Названия импульсным сигналам дают в соответствии сих формой. Основными простейшими импульсными сигналами являются сигналы, представленные на рис. 6.1: 1 – положительный перепад амплитуды Е 2 – отрицательный перепад амплитуды Е, задержанный на t u ; 3 – одиночный прямоугольный импульс, есть сумма двух предыдущих сигналов. Кроме перечисленных сигналов в импульсной технике широко применяются сигналы, показанные на рис. 6.2: 1 – треугольный импульс, 2 – пилообразный импульс, 3 – экспоненциальный импульс. Выделяют две временных характеристики цепей. 1. Переходная характеристика – это отклик цепи на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. 2. Импульсная характеристика – это отклик цепи на воздействие сигнала в виде дельта-функции. Метод интеграла Дюамеля Он позволяет находить отклик цепи при нулевых начальных условиях при произвольном входном сигнале и известной переходной импульсной) характеристике цепи h(t) (рис. 6.8). Произвольный импульсный сигнал рис. 6.9) заменим совокупностью элементарных ступенчатых сигналов с амплитудами х, возникающими в моменты времени к со сдвигом повремени на Как следует из рис. 6.9, х – амплитуда нулевого ступенчатого сигнала. Тогда отклик на него 0 ) ( ) 0 ( x t h y ; x – амплитуда элементарного ступенчатого сигнала, рассчитывается из выражения к ) x x , где х' (τ к ) – производная от сигнала в момент времени кона равна тангенсу угла наклона сигнала в момент времени к. Тогда отклик на элементарный ступенчатый сигнал к t к к ) ( ) t x h t Используя принцип суперпозиции и переходя к пределу суммы при Δτ→0 (Δτ = dτ), можно записать 'к к 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) t y t h t x x h t x h t x h t d Последнее выражение и называется интегралом Дюамеля. Оно позволяет получить отклик на заданное воздействие в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование ведется по τ – текущее время (0 < τ < t), причем выражениях) и h(t – τ) получают из выражений для хи) путем замены t на τ и t – τ. 26. Спектральный и операторный методы анализа цепей при импульсном воздействии. Спектральный метод анализа Спектральный метод применяется в тех случаях, когда входной сигнал может быть представлен спектром. Сигнал имеет спектр, когда он обладает конечной энергией, те. удовлетворяет условию Этапы применения метода (рис. 6.3): 1) по известному сигналу находится его спектр dt e t S j S t j ) ( ) ( 1 1 – прямое преобразование Фурье 2) по известной схеме электрической цепи определяется частотная передаточная характеристика ( ) m m Y H j X ; 3) находится спектральная плотность выходного сигнала ) ( ) ( ) ( 1 2 i S j H j S ; 4) по известному спектру выходного сигнала находится сам выходной сигнал d e j S j S t j ) ( 2 1 ) ( 2 Операторный метод анализа Операторный метод расчета переходных процессов применим при любых входных сигналах.Метод основан на том, что функции s(t) вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F(p) комплексной переменной p = α + j , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него, что, в свою очередь, определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Соответствие между изображением F(p) и оригиналом s(t) в сокращенной записи обозначается F(p) = s(t) или F(p) = L{s(t)}. Порядок расчета переходных характеристик заключается в следующем (рис. 6.4): 1) находим операторное представление входного сигнала dt e t S p S pt ) ( ) ( 1 1 – прямое преобразование Лапласа 2) находим операторную передаточную функцию цепи p j j H p H ) ( ) ( ; 3) находим операторное представление отклика ) ( ) ( ) ( p S p H p S t t ; 4) с помощью обратного преобразования Лапласа находим отклик цепи 2 2 1 ( ) ( ) 2 pt s t S p e Такое интегрирование является сравнительно сложным, поэтому в инженерной практике пользуются справочными таблицами. Когда получается сложное изображение, которого нет в справочниках, то его раскладывают на более простые, используя теорему разложения изображения S(p). Если изображение S(p) представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 , n n n n n n n n a p a p a p a N(p) S(p) M(p) b p b p b p причем m > n, а уравнение M(p) = 0 не имеет кратных корней p k , то для перехода к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения pkt k k N p N(p) e dM В качестве примера в таблице приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов. Оригинал s(t) А e t sin t cos t sh t ch Изображение 2 2 p 2 2 p p 2 2 p 2 Свойства изображений. 1) Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых 1 1 n n k k k k f t F p 2) Приумножении оригинала на коэффициент А на тот же коэффициент умножается изображение AF(t) = AF(p). С использованием этих свойств и данных таблицы, можно показать, например, что 0 0 0 1 t U U U e p p Изображение для напряжения на индуктивном элементе записывается в виде 0 L di u t L LpI или при нулевых начальных условиях L di u t L LpI Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности Z(p) = Lp. С учетом ненулевых начальных условий изображение для напряжения на конденсаторе записывается 0 C C I или при нулевых начальных условиях C I p u t Cp , откуда операторное сопротивление конденсатора Z(p) = 1/Cp. 27. Четырехполюсники. Основные уравнения, параметры. Эквивалентные схемы. Способы соединения четырехполюсников. Параметры четырехполюсника Четырехполюсник – это цепь с четырьмя выводами рис. 5.5). Параметры четырехполюсника можно разбить на четыре группы 1. Входные параметры связывают 1m U и 1m I : По отношению к источнику сигнала четырехполюсник является двухполюсником, а поэтому его входные параметры аналогичны параметрам двухполюсника: 1 вх 1 m m U Z I , 1 вх 1 m m I Y U , где Z вх – входное сопротивление четырехполюсника Y вх – входная проводимость четырехполюсника. 2. Передаточные параметры характеризуют передачу сигнала с входа на выходили, как говорят, передачу в прямом направлении. Передаточных параметров четыре 2 1 m u m U K U ; 2 1 m i m I K I ; 2 1 m iu m U K I ; 2 1 m ui m I K U , где K u – коэффициент передачи по напряжению K i – коэффициент передачи потоку сопротивление прямой передачи, или коэффициент преобразования ток – напряжение K ui – проводимость прямой передачи, или коэффициент преобразования напряжение – ток. 3. Выходные параметры а) Z вых = 2 x.x 2 к.з m m U I , где Z вых – комплексное выходное сопротивление 2 x.x m U – комплексная амплитуда выходного напряжения в режиме холостого хода (х.х). Холостой ход – это режим, когда выполняются условия İ 2m = 0, н = ∞; 2 к.з m I – комплексная амплитуда выходного тока в режиме короткого замыкания (к.з). Короткое замыкание – это режим, когда н = 0. б) вых вых 1 Y Z – комплексная выходная проводимость. 4. Параметры обратной передачи сигнала. Они характеризуют передачу сигнала с выхода на вход. Таких параметра четыре, и они аналогичны параметрам второй группы (K u , K i , K iu , K ui ). Эквивалентные схемы четырехполюсника Электрическая схема реального четырехполюсника может быть сложной или даже недоступной, например, транзистор. Поэтому представляет интерес замена схемы реальной электрической цепи некоторой простой эквивалентной схемой. Схемы называются эквивалентными, если при их взаимной замене входные и выходные токи и напряжения не изменяются. Эквивалентные схемы можно составлять разными способами 1) по заданной топологии (по расположению элементов) электрической цепи 2) по основным уравнениям четырехполюсника. Такие схемы называют формальными схемами замещения 3) по физической модели. Это физическая схема замещения. Схемы замещения по заданной топологии Обычно в качестве эквивалентных схем выбирают схемы с минимальным числом элементов. Наиболее распространены Т, Пи Г- образные схемы замещения (рис. 7.3). Для Т-образной схемы замещения покажем связь между ее параметрами (Z 1 , Z 2 , Z 3 ) и параметрами четырехполюсника. образная схема имеет два контура с контурными токами I 1 и I 2 . Используя метод контурных токов, запишем контурные уравнения 1 2 2 1 2 1 ( ) Z Z I Z I U ; Z 2 I 1 = (Z 2 + Z 3 ) I 2 = U 2 + E. Если цепь пассивна, то E = 0, при этом составленные уравнения совпадают с уравнениями Z- параметров четырехполюсника, отсюда и определим параметры 11 1 2 Z Z Z ; 12 21 2 Z Z Z ; 22 Отсюда получим 1 11 12 Z Z Z ; 2 12 Z Z ; 3 22 Электрические цепи, не содержащие источников электрической энергии, называются пассивными. Для пассивных электрических цепей выполняется условие 12 21 Z Z . Пассивные цепи для своего описания требуют трех параметров, четвертый определяется из условия пассивности 12 Активные четырехполюсники делятся на автономные и неавтономные. Автономные четырехполюсники содержат независимые источники, а неавтономные содержат только зависимые источники. Четырехполюсники называются симметричными, если при замене местами входных и выходных зажимов его параметры не изменяются. 11 22 Z Z – условие симметричности четырехполюсников. Симметричные четырехполюсники называют взаимными. Формальные схемы замещения Их составляют по основным уравнениям четырехполюсника. Запишем основные уравнения четырехполюсника в системе параметров 2 12 1 11 2 1 1 ) , ( U h I h U I f U ; (7.6) 2 22 1 21 2 1 2 ) , ( U h I h U I f I . (7.7) Схему замещения входной цепи четырехполюсника составляют по уравнению (7.6), а выходной – по уравнению (7.7). Схема замещения четырехполюсника в системе параметров приведена на рис. 7.4. Уравнение (7.6) представляет собой второй закон Кирхгофа (закон для контура, поэтому входная цепь изображается в виде контура. При этом первое слагаемое – это падение напряжения от входного тока на входном сопротивлении, те. h 11 I 1 , а второе слагаемое – это напряжение, возникающее во входном контуре в результате обратной связи. Это учитывается введением во входную цепь зависимого источника ЭДС – 2 Уравнение (7.7) представляет собой первый закон Кирхгофа (закон для узла. Выходной ток состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое – это 1 21 I h , зависимый источник тока, учитывающий передачу входного тока в выходную цепь, а второе слагаемое – это h 22 U 2 , ток через проводимость h 22 Соединение четырехполюсников При анализе электрических цепей часто возникает задача определения параметров сложных четырехполюсников, которые образованы соединением нескольких простых четырехполюсников, параметры которых известны. Нахождение параметров сложных четырехполюсников значительно упрощается, если воспользоваться формулами, устанавливающими связь между параметрами простых и параметрами составного четырехполюсника. Четырехполюсники могут быть соединены так, как показано на рис. 7.6. Название составных четырехполюсников обычно состоит из двух слов. Первое слово характеризует способ соединения четырехполюсников на входе (последовательно или параллельно, а второе – на выходе последовательно или параллельно. Каждую из схем составного четырехполюсника можно заменить на один четырехполюсник (рисе, параметры которого определяются следующим образом. 1) Последовательно- последовательное соединение риса. матрица составного четырехполюсника равна сумме |