Метрология. все ответы к теории-1. На входе линии связи называют входным сигналом, или воздействием, а сигнал
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
18. Расчет цепей постоянного и переменного тока методом узловых потенциалов. Пример. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы. Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока риса б) Z i II = Z i I 1) Топологический анализа) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов N y = y – 1. б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где 0 – потенциал нулевого узла. 2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов где Y ii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в м узле, все они берутся со знаком «+»; Y ij – межузловая проводимость между мим узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»; I ii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знакома вытекающие – со знаком «–». 3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера i i 4) Токи в ветвях находят по закону Ома I = ( 1 – 2 )/Z. Пример Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях. Предварительно преобразуем все источники напряжения (рис. 4.32) в источники тока (рис. 4.33). Проведем топологический анализа) число ветвей b = 4 стоками б) число независимых узлов у = 2, их потенциалы φ 1 ирис. Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов 11 1 12 2 11 21 1 22 2 22 ; Y Y I Y Y I 11 12 21 22 1 2 3 2 2 4 1 1 1 1 1 1 ; ; Y Y Y Y Z Z Z Z Z Z ; ; 2 1 11 I I I I I I 2 По методу Крамера найдем потенциалы узлов По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы 1 0 1 1 2 1 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 ; ; ; I I I I Z Z Z Z Z 19. Расчет цепей методом комплексных амплитуд. Пример СМ ВОПРОС 15) Пример 1. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, схема которой приведена на рис. 4.29. На вход цепи подается синусоидальное воздействие . Параметры воздействия и элементов цепи известны U m =1 В, ω =1 с , φ u =90 0 , R=1 Ом, L=1 Гн, C=1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму. Решение. 1. Представим воздействие в комплексной форме 2. Построим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30. 3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. При этом можно воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей 3. Построим векторную диаграмму для токов и напряжений вцепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31. Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. При необходимости записать временную функцию тока или напряжения, это всегда можно сделать, имея векторную диаграмму. Например, напряжение на элементе имеет амплитуду , а начальную фазу 135 0 , значит, во временной области это напряжение можно записать так 20. Расчет цепей методом наложения. Пример. 21. Комплексные параметры и частотные характеристики электрических цепей. Примеры Большинство электрических цепей служат средством связи для передачи сигналов от источника сигнала в нагрузку (рис. 5.1), где x(t) – сигнал на входе цепи. Он называется входным сигналом, или воздействием y(t) – выходной сигналили отклик) = F(x(t), a, b, c). В общем случае связь между откликом и воздействием имеет вид дифференциального уравнения. Если цепь линейная, то уравнение линейное, где a, b, c – параметры элементов, входящих в цепь. Если входной сигнал гармонический, то его представляют комплексной амплитудой. Если цепь линейная, то откликом такой цепи является гармонический сигнал с комплексной амплитудой Причем связь между комплексной амплитуды отклика и воздействия имеет вид линейного алгебраического уравнения где H (a, b, c) – параметр электрической цепи (это комплексное число. Параметр цепи есть отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия. 5.1. Параметры двухполюсника Двухполюсником является цепь с двумя выводами рис. 5.2. Его режим работы характеризуется двумя величинами 1 1 , m m U I 1. Если воздействием считать амплитуду тока, то откликом будет являться напряжение на нем. По закону Ома 1 1 m m U Z I , где Z – сопротивление двухполюсника. (Z = R+jX – комплексное число, где R и X – резистивная и реактивная составляющие сопротивления двухполюсника). Обобщенная схема замещения двухполюсника приведена на рис. 5.3. 2. Если воздействием считаем амплитуду напряжения, тогда откликом будет амплитуда тока, связанная с напряжением где Y – второй параметр двухполюсника, он называется комплексной проводимостью двухполюсника: Y = G + jB, G и B – резистивная и реактивная составляющие проводимости двухполюсника. Вторая схема замещения двухполюсника приведена на рис. 5.4. Эти схемы замещения при определенном выборе параметров эквивалентны. Поскольку сопротивления элементов цепей зависят от частоты, то параметры цепей оказываются частотно- зависимыми. Зависимости параметров цепей от частоты называют частотными характеристиками (ЧХ), или частотными функциями цепи. Каждый параметр цепи имеет свою частотную характеристику. Название ЧХ дают в соответствии с названием параметра, например ЧХ входного сопротивления, ЧХ коэффициента передачи напряжения. ЧХ есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия. Как всякую комплексную функцию ее можно записать водной из трех форм записи показательной, алгебраической и тригонометрической (применяется редко. H(ω) = Y m /X m – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), или ее называют модуль комплексной функции АЧХ есть зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе (без учета начальных фаз. ( ) = y – x – фазочастотная характеристика (ФЧХ), или ее называют аргументом комплексной функции – arg[H(jω)] = ] Re[ ] Im[ arctg ) ω ( ) ω ( ) ω ( j j H H ФЧХ есть зависимость от частоты сдвига по фазе между выходными входным сигналами. ] Re[ ) ω ( j H , ] Im[ ) ω ( j H – реальная и мнимая составляющие ЧХ электрической цепи. Для наглядности ЧХ цепей представляют в графическом виде. Графики строят двумя способами. 1. Виде двух графиков – АЧХ и ФЧХ. При построении графиков АЧХ и ФЧХ пользуются следующими масштабами по осям линейными логарифмическим. На риса приведен график в линейном масштабе, на рис. 5.6, б – в полулогарифмическом масштабе, а на рис. 5.6, в – в логарифмическом масштабе. 2. В виде графика функции, построенного на комплексной плоскости координат, который называют годографом. Годограф – это геометрическое место точек, которые описывает конец вектора комплексной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до бесконечности. Для построения годографа обычно используют алгебраическую форму записи частотной характеристики Н) = = Н + j Н. Далее для определенных частот рассчитывают значения Н = Ни Н = Ни составляют таблицу данных для построения АФХ, а затем, как обычно, наносят эти точки на плоскость и, соединив их, получают график годографа (рис. 5.7). Частота f, Гц Н = Н) Н = Н) Пример 1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис. 5.8), рассчитать ее частотные характеристики Z вх (j ), Z вх ( ), Z ( ); K(j ), K( ), K ( ). Решение. По определению Z вх (j ) = 1 1 m m U I . Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления Z вх (j ) = U 1m /I 1m = I 1m (Z 1 + Z 2 ); I 1m = (R 1 +R 2 ) + j(X 1 +X 2 ) = R + jX; Используя определение K(j ) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ; ; arctg arctg ; m m u m m u U I Z Z R jX K j U I Z Z Z Z R R j X X R X X X X K j k R R R R R X X 22. Параллельный колебательный контур. Схема замещения. Условие резонанса. Частотные характеристики и параметры колебательного контура. Параллельный колебательный контур Он состоит из параллельно соединенных двух реактивных элементов L и C. Его принципиальная схема приведена на риса. Схема замещения контура с учетом резистивных потерь реактивных элементов приведена на рис. 5.27, б. Определим комплексное входное сопротивление параллельного колебательного контура к.к 1 2 к.к 1 1 2 1 ( ) 1 C L m L C R R j C j C U Z Z Z j I Z Z R R j L C Обозначим R R R C L – общие резистивные потери параллельного контура. При условии, что вблизи от резонанса L R L 0 ; 0 1 C R R , получим окончательное выражение для сопротивления параллельного колебательного контура. 2 к.к 1 (1 ) 1 L Q C Z R ja ja R j L C Характер сопротивления параллельного колебательного контура зависит от частоты. 1) На НЧ C X L X C L 1 – характер индуктивный. Схема замещения состоит из элементов R, L и приведена на риса. Сопротивление контура Z к.к (ω = 0) = R L 2) На ВЧ C L X X сопротивление носит емкостной характер, рис. 5.28, б. Сопротивление контура Z к.к (ω ) = R C 3) На 0 , когда C L X X , сопротивление контура имеет резистивный характер Z к.к (ω 0 ) = ρQ (рис. 5.28, в, где ω 0 = (LC) 1/2 – резонансная частота. Отметим свойства параллельного контура на резонансной частоте. 1) Сопротивление контура имеет резистивный характер, и его модуль имеет максимальное значение по сравнению с сопротивлением на других частотах. 2) Токи напряжение совпадают по фазе. 3) ) ( ) ( 0 0 C L X X – сопротивление реактивных элементов одинаково и равно L C 4) Амплитуда тока через реактивные элементы враз превышает ток во внешней цепи 1 Lm Cm m I I Q I , поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов. Это вытекает из следующего кк кк 1 1 1 m m Q U I Z I ja ; к.к 1 1 Lm m m U Q I I Q I 5) Токи через реактивные элементы сдвинуты по фазе на 180 Построим графики АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного контура, которые определяются выражениями АЧХ: вх 2 ( ) 1 Q Z a ; ФЧХ: Построенные графики приведены на рис. 5.29. Резонансная характеристика параллельного колебательного контура Она представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды напряжения на контуре к амплитуде напряжения на резонансной частоте к.к 1 вх к.к 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 m m U I Z j n j U I Q ja Вид резонансной характеристики для последовательного и параллельного контуров одинаков, это их и объединяет. По характеру зависимости сопротивления от частоты они обладают противоположными свойствами (см. рис. 5.29). Влияние сопротивлений источника сигнала и нагрузки на добротность параллельного колебательного контура Схема замещения контура с учетом этих добавочных элементов приведена на рис. 5.30. Добротность контура с учетом паразитных элементов называется эквивалентной и определяется выражением н н 2 экв 1 Для того чтобы экв, необходимо 1) i R , те. контур питать от источника тока. 2) н, те. контур по выходу должен работать в режиме холостого хода. 23. Последовательный колебательный контур. Схема замещения. Условие резонанса. Частотные характеристики и параметры колебательного контура. Последовательный колебательный контур Последовательный колебательный контур состоит из последовательного соединения индуктивности L и емкости C (рис. 5.17). Для анализа процессов, протекающих в контуре, воспользуемся эквивалентной схемой замещения контура, в которой учтем резистивные сопротивления потерь реальных реактивных элементов (рис. 5.18). Схемы замещения реактивных элементов с учетом их резистивных сопротивлений приведены на рис. 5.19. Здесь R L – резистивное сопротивление провода катушки индуктивности, R ут – сопротивление утечки диэлектрика конденсатора, R C – сопротивление утечки, пересчитанное в последовательную ветвь. Схема замещения последовательного контура приведена на рис. 5.19. В ней C L R R R – резистивное сопротивление контура, учитывает резистивные сопротивления реактивных элементов. Определим частотную характеристику входного сопротивления последовательного колебательного контура где R и Х резистивная и реактивная составляющая сопротивления последовательного колебательного контура R C L R x a 1 – обобщенная расстройка колебательного контура. Характер входного сопротивления Z вх (jω) зависит от частоты. 1) На низких частотах НЧ) C X L X C L 1 ; X < 0. Это означает, что сопротивление носит емкостной характер, его можно представлять эквивалентной схемой, приведенной на риса) На высоких частотах (ВЧ) C X L X C L 1 , Х > 0, сопротивление последовательного контура носит индуктивный характер (рис. 5.20, б. 3) На некоторой частоте 0 , 0 1 0 0 C L X , Х = 0, сопротивление контура имеет резистивный характера его схема замещения состоит из резистора R. Частота, на которой выполняется это условие, называется резонансной, она определятся как ω 0 = (Отметим свойства последовательного контура на резонансной частоте 1) R j Z ) ( 0 вх сопротивление имеет резистивный характер и минимально по сравнению с сопротивлением на других частотах. 2) Начальные фазы напряжения и тока на контуре одинаковы φ u = φ i , сдвиг по фазе равен φ = φ u – φ i = 0. 3) Амплитуда тока в контуре максимальна и равна R U I m m 1 max 1 4) Сопротивления реактивных элементов L и C одинаковы и равны – характеристическому сопротивлению контура, те. 5) Амплитуды напряжений на реактивных элементах контура одинаковы ив (добротность) раз больше амплитуды напряжения на входе. m m m mL QU U R I U 1 1 max 1 , Q – добротность контура, 1000 Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений. 6) Амплитуды напряжений на реактивных элементах находятся в противофазах, а поэтому суммарное напряжение на реактивных элементах равно нулю Резонансная характеристика последовательного колебательного контура Это есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуде тока к комплексной амплилитуде тока при резонансной частоте, те. Отсюда АЧХ: 2 1 ( ) 1 n a (рис. 5.21); ФЧХ: a arctg ) ( R C L a 1 – обобщенная расстройка, На остальных частотах резонансная характеристика убывает. Важным параметром колебательного контура является его полоса пропускания (S). Это диапазон частот, в котором резонансная характеристика превышает уровень 1 2 , те. 1 ( ) 0,707 2 n , S = в – н, где в, н – верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания (рис. 5.22). Параметры контура S, Q и ω 0 связаны соотношением Q S 0 . Отсюда следует, что чем больше добротность, тем меньше полоса пропускания, тем лучше избирательные свойства колебательного контура. Зависимость добротности контура Q от сопротивления источника сигнала (R i ) и сопротивления нагрузки (н) Схема замещения последовательного колебательного контура с учетом добавочных элементов R i , н представлена на рис. 5.23. На рис. 5.24 показано эквивалентное преобразование паралельной RC цепи в последовательную, где C 0 Добротность контура с учетом добавочных элементов R i , н называется эквивалентной и определяется из следующего выражения Она меньше собственной добротности контура Q. Для того чтобы экв, необходимо 1) 0 i R . Это означает, что последовательный колебательный контур необходимо питать от источника ЭДС, те. источника с нулевым сопротивлением. 2) н. В этом случае нагрузка не будет влиять на добротность контура. Последовательный колебательный контур как четырехполюсник На практике используются две схемы включения рис. 5.25. Для четырехполюсника основной частотной характеристикой является передаточная по напряжению. 1) 0 1 вх ( ) ( ) ( ) Сm C C m U jX К j j Qn j U Z j 2) 1 вх 0 ( ) ( ) ( ) Lm L L m U jX K j j Qn j U Z j Построим графики амплитудно- частотные характеристик этих зависимостей (рис. 5.26). Подробный анализ показывает, что при высоких добротностях резонансные частоты обеих схем совпадают и равны ω 0 R Q R R R R Q R R R Q i i н 2 н экв |