Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 1.4. Плоска система збіжних сил. Визначення рівнодійної системи геометричним способом. Якщо всі сили, що прикладені до тіла, розташовані в одній площині та лінії їх дії перетинаються в одній точці, то така система сил носить назву плоскої системи збіжних сил. Покажемо довільне тіло, до якого прикладена плоска система збіжних сил n P P P P , , , , 3 2 1 (рис. 1.6). При цьому лінії дії всіх сил перетинаються в точці A Рис. 1.6 Для визначення рівнодійної цієї системи необхідно додати всі вектори сил, що утворюють систему. Геометричний спосіб додавання збіжних сил зводиться до побудови силового багатокутника. Він будується шляхом паралельного перенесення векторів сил у масштабі, коли початок наступної сили співпадає з кінцем 16 попередньої сили (рис.1.6). Тоді вектор рівнодійної з'єднує початок першої сили з кінцем останньої сили. Це можна записати так: n 3 2 1 P ... P P P R , (1.3) або в скороченому вигляді: n 1 k k P R (1.4) Тобто, рівнодійна плоскої системи збіжних сил дорівнює векторній сумі цих сил і є замикаючою стороною силового багатокутника, побудованого на векторах сил цієї системи. Величина рівнодійної сили не зміниться, якщо буде змінено порядок приєднання (додавання) сил до багатокутника, але конфігурація силового багатокутника буде іншою. § 1.5. Умова рівноваги плоскої системи збіжних сил у геометричній формі Якщо до вільного матеріального тіла прикладена одна сила певної величини, то про рівновагу цього тіла мови бути не може. Тобто, якщо розглядати плоску систему збіжних сил, яка зведена до рівнодійної, то тіло не може бути у рівновазі. Тільки у випадку, коли рівнодійна системи дорівнює нулю (рис. 1.7), ця система буде знаходитись у стані рівноваги. Таким чином, для рівноваги тіла під дією плоскої системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб рівнодійна всіх сил дорівнювала нулю. Ця умова виражається векторним рівнянням: 0 P ... P P P R n 3 2 1 , (1.5) або скорочено: 17 n 1 k k 0 P R (1.6) Рівнодійна такої системи сил буде дорівнювати нулю, коли силовий багатокутник буде замкненим, тобто коли початок вектора першої сили буде співпадати з кінцем вектора останньої сили. Рис. 1.7 Геометричну умову рівноваги можливо застосовувати при розв’язанні деяких задач статики графічним методом. При цьому: 1) вибирають тіло, рівновагу якого будуть розглядати; 2) відкидають в’язі, замінюючи їх реакціями; 3) користуючись умовою рівноваги, будують замкнений силовий багатокутник і визначають невідомі величини (у більшості випадків – це реакції в’язей). Розв’язання задач на рівновагу за допомогою графічної побудови силових багатокутників має певні незручності, пов’язані з відкладанням векторів на площині і точністю отриманих результатів. Доцільніше при розв’язанні таких задач користуватись не геометричною, а аналітичною умовою рівноваги, яка базується на методі проекцій сил на осі координат. 18 § 1.6. Проекція сили на осі координат Проекцією сили на вісь – називається напрямлений відрізок на осі, утворений між перпендикулярами, які опущені із початку і кінця вектора сили на цю вісь. Правило знаків для проекції наступне: якщо напрямок проекції сили на вісь співпадає з позитивним напрямком осі, то така проекція буде додатною, якщо ні – то від’ємною. Розглянемо вектор сили P , що довільно розташований у площині прямокутної декартової системи координат y x O (рис. 1.8). Проекціями сили P на осі координат x і y будуть відповідні відрізки x P і y P , величину яких можна визначити за відомими із геометрії виразами: cos P P x , (1.7) sin P P y Рис. 1.8 19 За знаком ці проекції будуть додатні, коли кут (кут перетину напрямку вектора сили або лінії дії сили з віссю x ) гострий. Цілком зрозуміло, якщо цей кут дорівнює о 90 , то проекції x P =0, y P = P . Тобто, сила, яка направлена паралельно осі, проектується на цю вісь в натуральну величину, а її проекція на перпендикулярну вісь дорівнює нулю. Коли кут буде тупим, то практично зручніше знайти інший гострий кут перетину лінії дії сили з віссю x і визначати проекції за його допомогою та правила знаків. Таким чином, по величині та напрямку вектора сили P завжди можна визначити його проекції на осі координат. Але справедливим буде і зворотне ствердження. По величині проекцій x P та y P завжди можна визначити модуль вектора самої сили P , а також його напрямок. Модуль сили P , як діагональ прямокутника, побудованого на його проекціях, визначається з наступного виразу: 2 2 y x P P P (1.8) Кути між вектором сили P та осями x та y визначаються за допомогою напрямних косинусів: , cos cos , , cos cos ^ ^ P P P y P P P x y x (1.9) Знаючи напрямні косинуси, через арккосинуси можна знайти і самі кути. 20 § 1.7. Визначення рівнодійної плоскої системи збіжних сил аналітичним способом Рис. 1.9 Рівнодійна R плоскої системи збіжних сил 4 3 2 1 P , P , P , P дорівнюєвекторній сумі цих сил і є замикаючою стороною силового багатокутника, побудованого на векторах сил цієї системи (рис. 1.9). Знайдемо проекцією рівнодійної сили R на вісь x . Для цього введемо на площині прямокутну декартову систему координат y x O і спроектуємо на вісь x всі сили системи. Позначимо кінці векторів всіх сил літерами – K D С В А , , , , і проведемо перпендикуляри з кожної точки на вісь x . Точки перетину перпендикулярів з віссю, які позначені відповідними малими літерами – k d с в а , , , , , утворили на осі x напрямлені відрізки, які і є проекціями всіх сил на цю вісь. Кожна проекція, відповідно, дорівнює: x x x x P dk P cd P bc P ab 4 3 2 1 ; ; ; (1.10) Додамо алгебраїчно всі проекції і підрахуємо, чому ця сума 21 дорівнюватиме: k a k d d c c b b а (1.11) Але відрізок k a і є проекцією рівнодійної сили R на вісь x . Поширюючи цю суму на п сил, можна записати: n k kx nx x x x x P P ... P P P R 1 3 2 1 , (1.12) або: n k kx x P R 1 (1.13) Проекція вектора рівнодійної сили на вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій векторів складових сил на ту ж саму вісь. Аналогічно проекція рівнодійної сили R на вісь y буде дорівнювати n k ky ny y y y y P P ... P P P R 1 3 2 1 (1.14) Тоді модуль рівнодійної сили дорівнює через її проекції: 2 2 y x R R R (1.15) Кути між вектором рівнодійної R та осями координат x та y визначимо через напрямні косинуси: , cos , , cos ^ ^ R R R y R R R x y x (1.16) Знаючи напрямні косинуси, через арккосинуси є можливість знайти самі кути. 22 § 1.8. Умови рівноваги тіла під дією плоскої системи збіжних сил в аналітичній формі Як показано раніше, плоску систему збіжних сил можна замінити однією силою, яка буде рівнодійною цієї системи. Для рівноваги плоскої системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб рівнодійна системи дорівнювала нулю. А якщо рівнодійна дорівнює нулю, то і її проекції на осі x і y теж повинні дорівнювати нулю. Оскільки проекції рівнодійної дорівнюють алгебраїчним сумам проекцій складових сил, то, остаточно, матимемо умови рівноваги тіла під дією плоскої системи збіжних сил: . P , P n k ky n k kx 0 0 1 1 (1.17) Для рівноваги тіла, що перебуває під дією плоскої системи збіжних сил, необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил на осі координат дорівнювали нулю. Наведемо приклад розвязання задач на рівновагу тіла, що перебуває у рівновазі під дією плоскої системи збіжних сил. Приклад Визначити зусилля у стрижнях АВ і ВС кронштейна АВС, який тримає два вантажі вагою кН 40 P . Вантажі підвішені на тросах і закріплені в точці В кронштейна (рис. 1.10). Вагою стрижнів і тросів знехтувати. 23 Рис. 1.10 Розв'язання Розглянемо рівновагу точки В заданої конструкції. До неї прикладені дві активні сили – сили натягу тросів, які за умовою задачі однакові і дорівнюють вазі вантажів кН 40 P .Так як троси розтягнуті, то ці сили спрямовані вздовж тросів від точки В. Відкидаємо в’язі (стрижні АВ і ВС), замінивши їх дію реакціями стрижнів AB R і BC R . Реакції AB R і BC R спрямуємо вздовж стрижнів від точки В, тобто першопочатково будемо вважати їх розтягнутими. Якщо це припущення помилкове, то при розв'язанні задачі отримаємо перед величиною реакції знак "мінус", що буде означати, що стрижень стиснутий. В умові задачі вагою стрижнів, тросів і тертям на блоці нехтують. Тому точка В конструкції врівноважена тільки двома активними силами P і двома реакціями AB R , BC R , які разом утворюють плоску систему збіжних сил (рис 1.11). 24 Рис. 1.11 Для отриманої плоскої системи збіжних сил через точку В проводимо координатні осі так, щоб вісь y співпадала з напрямком невідомої реакції AB R . Кути нахилу сил системи до вибраних осей x або y визначаються із геометричних міркувань і показані на розрахунковій схемі (рис 1.11). При розв'язанні задачі використаємо аналітичні рівняння рівноваги для плоскої системи збіжних сил . 0 F , 0 F n 1 k ky n 1 k kx Складемо відповідні рівняння рівноваги 25 0 30 cos 30 sin 15 sin , 0 30 sin 30 cos 15 cos P P R R P P R AB BC BC З першого рівняння визначимо BC R , підставивши значення відомих величин: . кH 16 , 15 966 , 0 5 , 0 866 , 0 40 15 cos 30 sin 30 cos P 15 cos 30 sin P 30 cos P R BC З другого рівняння визначимо AB R : . кН 57 , 58 866 , 0 5 , 0 40 259 , 0 16 , 15 30 cos 30 sin P 15 sin R R BC AB Виконаємо перевірку розв'язання задачі. Для цього виберемо нове розміщення координатної осі y і складемо додаткове аналітичне рівняння рівноваги, яке має дорівннювати нулю: . 0 P 60 cos R 45 cos R ; 0 F AB BC n 1 k y k Підставивмо задані та знайдені значення у це рівняння рівноваги і отримаємо: . 0 40 003 , 40 40 5 , 0 57 , 58 707 , 0 16 , 15 40 60 cos 57 , 58 45 cos 16 , 15 Отримана невелика розбіжність у третьому знаку після коми допустима і пояснюється похибкою підрахунків. Таким чином, в заданій конструкції кронштейна АВС стрижень АВ розтягнутий зусиллям кН 57 , 58 R AB , стрижень ВС також розтягнутий зусиллям . кН 16 , 15 R BC 26 Запитання для самоконтролю 1. Що вивчає теоретична механіка? Що таке механічний рух? 2. Що вивчає статика? Які задачі статики? 3. В чому полягає суть понять матеріальна точка та абсолютно тверде тіло? 4. Що таке сила? Назвіть три параметри, що характеризують силу? 5. Що таке система сил? 6. Яка сила є рівнодійною системи сил? 7. Як формулюються аксіоми статики? 8. В якому випадку матеріальне тіло буде вільним? 9. Що таке в'язь і що таке реакція в'язі? 10. Які основні типи в'язей зустрічаються при розв'язуванні задач статики і які напрями мають їх реакції? 11. Яку систему сил називають системою збіжних сил? 12. Для чого і яким чином будується силовий многокутник? 13. Як формулюється умова рівноваги системи збіжних сил у геометричній формі? 14. Як формулюється теорема про рівновагу тіла під дією трьох непаралельних сил? 15. Як визначаються проекції сили на вісь і площину? 16. Який напрям має сила, якщо її проекція на вісь дорівнює нулю? 17. Як визначити силу за її проекціями? 18. Чому дорівнює проекція рівнодійної сили на вісь через її складові? 19. Як знайти аналітично рівнодійну силу? 20. Які умови і які рівняння рівноваги системи збіжних сил? 27 РОЗДІЛ 2 ПЛОСКА СИСТЕМА ПАРАЛЕЛЬНИХ ТА ДОВІЛЬНИХ СИЛ § 2.1. Плоска система паралельних сил. Додавання двох паралельних сил Система сил, лінії дії яких паралельні і знаходяться в одній площині називається плоскою системою паралельних сил. Розглянемо питання про додавання двох паралельних сил з лініями дії в одній площині. При цьому паралельні сили можуть мати однаковий напрямок або бути протилежно напрямлені. 1. Розглянемо випадок, коли дві паралельні сили мають однаковий напрямок (рис. 1.12). Додати сили – це означає визначити їх рівнодійну. Рівнодійна двох паралельних сил, які спрямовані в один бік, є сумою цих сил, паралельна цим силам і спрямована в той же бік, точка її прикладання ділить внутрішнім чином відрізок, що з'єднує сили, на частини, які обернено пропорційні силам. Рис. 1.12 28 Таким чином, якщо в точках А і В довільного тіла діють в одному напрямку дві паралельні сили 1 P і 2 P , то їх рівнодійна R має той же напрямок і буде прикладена в точці С , яка ділить пряму АВ на відрізки АС і ВС у співвідношенні: AC BC P P 2 1 (1.18) Модуль рівнодійної R при цьому дорівнює: 2 1 P P R (1.19) 2. Розглянемо випадок, коли дві паралельні сили, мають протилежний напрямок. При цьому вважаємо, що модулі сил 1 P і 2 P не однакові (рис. 1.13). Випадок, коли такі сили однакові за модулем буде розглянутий окремо. Рівнодійна двох паралельних сил, які спрямовані в протилежні сторони, дорівнює різниці цих сил і напрямлена у бік більшої сили; точка прикладання рівнодійної сили ділить зовнішнім чином відстань між точками прикладання заданих сил на відрізки, які обернено пропорційні цим силам. Рис. 1.13 29 Тобто, якщо в точках А і В довільного тіла діють дві паралельні сили 1 P і 2 P , що мають протилежний напрямок, то їх рівнодійна направлена в бік більшої сили 1 P і буде прикладена в точці С , яка розміщена за межами відрізку AB за точкою A ( точкою прикладення більшої сили 1 P ). При цьому точка С ділить відрізки АС і ВС у співвідношенні: AC BC P P 2 1 (1.20) В даному випадку модуль рівнодійної дорівнює різниці сил: 2 1 P P R (1.21) |