Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 5.1. Центр паралельних сил Центром паралельних сил – називається точка прикладання рівнодійної цих сил, яка не змінює свого положення при повороті усіх сил на однаковий кут в один і той же бік. Знайдемо центр системи паралельних і однаково спрямованих сил n P P P P ,..., , , 3 2 1 ,прикладених до тіла у точках n A A A A ,..., , , 3 2 1 (рис. 1.35). Рис. 1.35 84 Спочатку додамо геометрично сили 1 P і 2 P . Їх рівнодійна 2 , 1 R буде дорівнювати: 2 1 2 , 1 P P R (1.76) Точка 1 C прикладання цієї рівнодійній 2 , 1 R визначається за відомим правилом додавання двох паралельних сил з однаковим напрямком. Оскільки сили 1 P і 2 P прикладені у точках 1 A і 2 A , то, з'єднавши ці точки прямою, знаходимо положення точки 1 C на цій прямій за пропорцією 1 2 2 1 1 1 C A P C A P (1.77) Аналогічно складаємо сили 2 1, R і 3 P , отримуючи їх рівнодійну 3 , 1 R , яка є фактично рівнодійною трьох сил і буде дорівнювати 3 2 1 3 2 , 1 3 , 1 P P P P R R (1.78) Точка 2 C прикладання цієї рівнодійної 3 , 1 R також визначається за вказаним вище правилом на прямій 3 1 A C Аналогічно поводимося з рештою сил, послідовно їх додаючи, і, остаточно, отримаємо рівнодійну R системи паралельних сил. Вона буде прикладена в точці C , спрямована у той же бік, що і задані паралельні сили, а по величині буде дорівнювати n k k n P P P P P R 1 3 2 1 (1.79) Повернемо тепер всі задані сили навколо їх точок прикладання в один бік на один і той же кут і знову знайдемо їх рівнодійну. При цьому також починаємо з додавання сил 1 P і 2 P . Але, як бачимо з рис. 1.35 і рівнянь (1.78) і (1.79), ні модуль рівнодійної 2 , 1 R , ні положення точки її 85 прикладання 1 C на прямій 2 1 A A , не змінюються. Змінюється лише напрямок, який буде паралельним новому напрямку сил. Якщо провести до кінця додавання паралельних сил, які вже мають новий напрямок, то можна побачити, що і рівнодійна R у даному випадку не змінює ні свого модулю, ні точки прикладання C . Змінюється лише напрямок її лінії дії. Таким чином, точка прикладання рівнодійної R системи паралельних сил завжди знаходиться в точці C , положення якої по відношенню до положення точок n A A A A ,..., , , 3 2 1 завжди буде незмінним. Ця точка і є центром паралельних сил. § 5.2. Координати центра паралельних сил Якщо відомі координати точок прикладення системи паралельних сил n P P P P ,..., , , 3 2 1 відносно осей z , y , x : 1 1 1 1 z , y , x A , 2 2 2 2 z , y , x A , 3 3 3 3 , , z y x A , ..., n n n n z y x A , , (рис. 1.36), то координати точки прикладення рівнодіючої R цієї системи – точки C C C z y x C , , , яка є центром паралельних сил, можна знайти наступним чином. Виберемо положення координатних осей z , y , x так, щоб одна з них (наприклад, вісь z ) була паралельна заданим силам. Знайдемо моменти усіх сил відносно осей координат y x, і z . Обчислимо спочатку моменти всіх сил відносно осі y . Оскільки n k k P R 1 , то за теоремою Варіньона 86 n k k y y P m R m 1 , а тому n k k k n n C x P x P ... x P x P x P x R 1 3 3 2 2 1 1 (1.80) Рис. 1.36 Звідки координата C x буде дорівнювати R x P x n k k k C 1 (1.81) Аналогічно визначимо моменти усіх сил відносно осі x . Матимемо n k k k n n C y P y P ... y P y P y P y R 1 3 3 2 2 1 1 , (1.82) 87 звідки координата C y буде дорівнювати R y P y n k k k C 1 (1.83) Далі повернемо всі сили на один і той же кут в один бік (наприклад, на кут 90 о , перпендикулярно до площини z O y і паралельно осі y ). Положення точки C , як відомо, при повороті усіх сил на однаковий кут, в один і той же бік не змінюється. Обчислимо тепер моменти усіх сил відносно осі y : n k k k n n C z P z P z P z P z P z R 1 3 3 2 2 1 1 , (1.84) звідки координата C z буде дорівнювати R z P z n k k k C 1 (1.85) Таким чином, остаточно отримаємо формули для координат центра паралельних сил R x P x n k k k C 1 , R y P y n k k k C 1 , (1.86) R z P z n k k k C 1 88 § 5.3. Центр ваги тіла, об'єму, площі, лінії Сили ваги, що діють на кожну окрему частинку тіла, біля поверхні Землі внаслідок її великого радіуса по відношенню до розмірів тіла в першому наближенні можна розглядати як систему паралельних сил. Рис. 1.37 Центр паралельних сил ваги, діючих на всі частинки тіла, називається центром ваги тіла. Центр ваги тіла не змінює свого положення при будь – якому повороті тіла. Координати центра ваги тіла знаходять по формулам визначення координат центра паралельних сил. Якщо тіло умовно можна поділити на багато частинок (рис. 1.37), кожна з котрих має силу ваги n q ... , q , q , q 3 2 1 , то рівнодійна цієї системи 89 паралельних сил Q (вага тіла) дорівнює: n k k n q q ... q q q Q 1 3 2 1 , (1.87) а координати точки прикладення цієї рівнодійної (центр ваги тіла) можна знайти як: Q x q x n k k k C 1 , Q y q y n k k k C 1 , (1.88) Q z q z n k k k C 1 , де k k y x , і k z - координати прикладання сил ваги кожної частинки тіла k q Якщо тіло однорідне, то вага кожної частинки цього тіла пропорційна її об'єму: k k q , (1.89) де - питома вага (вага одиниці об'єму); k - об'єм частинки тіла. Вага усього тіла визначається V Q , (1.90) де V - об'єм усього тіла; - питома вага тіла. Після підстановки (1.89) і (1.90) у (1.88) питома вага , як загальний множник, скоротиться: 90 V x V x Q x q x n k k k n k k k n k k k C 1 1 1 (1.91) Аналогічні вирази можна отримати і для двох інших координат. В результаті маємо координати центра ваги об'єму: V x x n k k k C 1 , V y y n k k k C 1 , (1.92) V z z n k k k C 1 Як бачимо, центр ваги однорідного тіла залежить тільки від його геометричної форми. А тому, точка C , координати якої визначені виразом (1.92) носить назву – центр ваги об'єму. Рис. 1.38 91 Для однорідних плоских тіл, наприклад, тонкої пластини з відносно малою товщиною h (рис. 1.38), центр ваги C буде знаходитись в одній площині xy 0 і визначатись тільки двома координатами C C y , x : S x s x n k k k C 1 , (1.93) S y s y n k k k C 1 , де S - площа всієї пластини, k s - площа частинок, на які розбита пластина, k k y , x - координати центра ваги кожної частинки площі пластини. Точка C , координати якої визначаються формулами (1.93), має назву центра ваги площі. Рис. 1.39 Якщо площа поперечного переріза однорідного тіла однакова по всій довжині і поперечні розміри відносно малі по відношенню до його 92 довжини, то таке тіло можна розглядати як матеріальну лінію. Це може бути, наприклад, дріт малого діаметра і постійного поперечного перерізу S (рис. 1.39). Вага і об'єм окремих частинок такого тіла будуть пропорційні їх довжинам k l і положення центра ваги всього тіла будуть залежати тільки від довжини і форми цієї лінії. Координати центра ваги C однорідної ломаної лінії визначаються по формулам: L x l x n k k k C 1 , L y l y n k k k C 1 , (1.94) L z l z n k k k C 1 , де L - загальна довжина лінії, k l - довжина частки лінії, k k y x , , k z - координати центра ваги кожної частки лінії. Точка C , координати якої визначаються формулами (1.94), має назву центра ваги лінії. Слід зауважити, що вище наведені формули можуть бути використані для визначення центру ваги однорідних тіл, які можливо розбити на окремі частини правильної форми, центри ваги кожної з яких легко знайти. Якщо тіло неможливо розбити на кінцеве число правильних елементів, тоді переходять від кінцевих сум до інтегрування. В такому випадку формули визначення координат центра ваги об'єму, площі і лінії приймають відповідно вигляд: 93 - центра ваги об'єму V dV x x V C , V dV y y V C , (1.95) V dV z z V C , - центра ваги площі S dS x x S C , (1.96) S dS y y S C , - центра ваги лінії L dl x x L C , L dl y y L C , (1.97) L dl z z L C , де інтегрування відбувається відповідно по об'єму V , площі S або лінії L тіла. 94 Із формул (1.92) – (1.97) випливає, що положення центра ваги однорідного тіла не залежить від фізичних властивостей його матеріалу, а залежить лише від геометричної форми і розмірів тіла. § 5.4. Статичний момент площі плоского тіла В плоских тілах (рис. 1.40) добуток елементарної площі dS на відстань від центра ваги цієї площі до осі координат y або x називається статичним моментом елементарної площі відносно осі y або x : x dS dS y , y dS dS x (1.98) Рис. 1.40 95 Тоді у формулах (1.98) в чисельниках стоять вирази статичних моментів площі всього плоского тіла відносно координатних осей y і x : S y dS x S , S x dS y S , (1.99) а координати центра ваги плоских тіл через їх статичні моменти площі визначаються як: S S x y C , (1.100) S S y x C Із формул (1.100) можна зробити висновок, якщо координата C x і C y дорівнює нулю, тобто якщо осі y і x проходять через центр ваги площі, то відповідно дорівнюють нулю і статичні моменти площі відносно цих осей. Такі осі називають центральними. Таким чином, статичний момент площі плоского тіла відносно осі в площині розміщення тіла – це геометрична характеристика, яка дорівнює добутку площі тіла на відстань від його центра ваги до цієї осі. Статичний момент площі відносно будь – якої центральної осі дорівнює нулю. На завершення слід відмітити, що статичний момент площі, як геометрична характеристика плоского перерізу тіла, знаходить широке застосування в опорі матеріалів. 96 § 5.5. Способи визначення координат центра ваги тіла Існують наступні способи визначення координат центра ваги тіл: метод симетрії, метод розбиття і доповнення, експериментальні способи. Розглянемо послідовно ці способи. Метод симетрії.Якщо однорідне тіло має площину, вісь, або центр симетрії, то його центр ваги лежить відповідно у площині симетрії, або на осі симетрії, або в центрі симетрії. Таким чином, центр ваги однорідних симетричних тіл, таких як кільця, прямокутні пластини, прямокутні паралелепіпеди, кулі та інші тіла, які мають центр симетрії, розташований у геометричних центрах (центри симетрії) цих тіл. Метод розбиття. Якщо тіло можна розбити на скінченне число таких частин, для кожної з яких положення центра ваги неважко визначається, то координати центра ваги усього тіла можна визначити безпосередньо за формулами (1.88), (1.92), (1.93) і (1.94). Причому кількість доданків у чисельнику кожного з указаних виразів буде дорівнювати кількості частин, на яке розбивається тіло. Наведемо приклад визначення центра ваги тіла методом розбиття його на окремі тіла, центри ваги яких відомі. Приклад Визначити координати центра ваги однорідної пластини (рис. 1.41). Розв'язання Оберемо осі координат x і y . Розбиваємо пластину на окремі прямокутні частини. Для кожного прямокутника проводимо діагоналі, точки перетину яких 2 1 , c c і 3 c відповідають центрам ваги кожного 97 прямокутника. У прийнятій системі координат неважко отримати значення координат цих точок. А саме: 9 , 5 , 5 , 1 , 1 , 1 3 2 1 c c c . Площі кожного тіла відповідно дорівнюють: І – 1 s 400 2 мм ; ІІ – 2 s 2000 2 cм ; ІІІ – 3 s 1200 2 cм . Площа всієї пластини дорівнює: 2 3 2 1 00 36 cм s s s S Рис. 1.41 Для визначення координат центра ваги заданої пластини використаємо вираз (1.93). Підставивши значення всіх відомих величин у рівняння, отримаємо мм S x s x s x s S x s x n k k k C 210 3 3 2 2 1 1 1 , 590 3 3 2 2 1 1 1 мм S y s y s y s S y s y n k k k C 98 За обчисленими значеннями координат центра ваги пластини можна позначити точку C на рисунку. Як бачимо, центр ваги (геометрична точка) пластини розташований за її межами. Метод доповнення. Спосіб, про який йдеться далі, є деяким випадком способу розбиття. Він може застосовуватись до тіл, які мають вирізи, порожнини, причому без врахування вирізу, або вирізаної частини тіла положення центра ваги тіла відомо. Розглянемо приклад застосування такого методу. Приклад Визначити положення центра ваги круглої пластини радіусом R , яка має круговий отвір радіуса r (рис. 1.42). Відстань a C C 2 1 Рис. 1.42 99 Розв'язання Як бачимо з рисунка, центр ваги пластини міститься на осі симетрії пластини x , тобто на прямій, яка проходить крізь точки 1 C і 2 C . Таким чином, для визначення положення центра ваги цієї пластини необхідно обчислити тільки одну координату C x , оскільки друга координата C y дорівнює нулю. Покажемо осі координат y x, . Приймемо, що пластина складається з двох тіл – з повного круга (без врахування вирізу) і тіла, яке утворено вирізом. У прийнятій системі координати x для вказаних тіл будуть дорівнювати: 0 1 x ; a C C x 2 1 2 . Площі тіл дорівнюють: 2 1 R s ; 2 2 r s . Загальна площа всього тіла буде дорівнювати фізичній різниці між площами першого і другого тіл, а саме 2 2 2 1 r R s s S . Для визначення невідомої координати центра ваги заданої пластини використаємо перше рівняння виразу (1.93). Підставивши значення усіх відомих величин у це рівняння, отримаємо 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 r R r a r R r a S s x s x S x s x n k k k C Таким чином, значення координати C x від'ємне, а тому, оскільки друга координата 0 C y , то центр ваги пластини C розміщений на осі x зліва від точки 1 C Приклад Визначити положення центру ваги однорідної плоскої фігури в координатних осях x , y (рис. 1.43). 100 Розв'язання Оберемо осі координат x і y , як показано на рис. 3. Уявимо, що задана плоска фігура може бути складена із чотирьох простих фігур: I – прямокутника розмірами мм 300 200 b a 1 1 , II – прямокутника розмірами мм 400 200 b a 2 2 , III – прямокутного трикутника з основою мм 300 a 3 і висотою мм 600 h 3 , IV – кола діаметром мм 160 d 4 , яке вирізано з фігури і тому має від'ємну площу. Рис. 1.43 Для кожної простої плоскої фігури знаходимо точки 1 c , 2 c , 3 c і 4 c , які відповідають їх центрам ваги. У прийнятій системі координат значення координат цих точок наступні: 101 точки 1 c – мм 100 x 1 , мм 150 y 1 ; точки 2 c – мм 300 x 2 , мм 200 y 2 ; точки 3 c – мм 500 x 3 , мм 200 y 3 ; точки 4 c – мм 400 x 4 , мм 200 y 4 ; Площі кожної простої плоскої фігури відповідно будуть дорівнювати: І – 2 4 1 1 1 10 6 300 200 мм b a S ; ІІ – 2 4 2 2 2 10 8 400 200 мм b a S ; ІІІ – 2 4 3 3 3 10 9 600 300 2 1 2 1 мм h a S ; ІV – 2 4 2 2 4 4 10 0096 , 2 4 160 14 , 3 4 мм d S Визначаємо координати центра ваги заданої фігури за формулами: 4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 1 S S S S x S x S x S x S S x S x n k k k C , 4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 1 S S S S y S y S y S y S S y S y n k k k C Підставивши значення всіх відомих величин у рівняння, отримаємо мм 319 10 0096 , 2 9 8 6 10 400 0096 , 2 500 9 300 8 100 6 x 4 4 C , мм 186 10 0096 , 2 9 8 6 10 200 0096 , 2 200 9 200 8 150 6 y 4 4 C За обчисленими значеннями координат центра ваги фігури можна позначити точку C C y , x C на кресленні (рис. 1.43). 102 Експериментальні способи. Ці способи знайшли широке застосування при відшуканні положення центра ваги тіл складних форм і конфігурацій, для яких інші способи майже непридатні внаслідок громіздкості та складності. До таких тіл, в першу чергу, слід віднести комбайни, трактори, складні сільськогосподарські машини та знаряддя. При застосуванні експериментальних способів відшукання положення центра ваги найбільш широко використовують метод підвішування та метод зважування тіл. При застосуванні методу підвішування тіло на тросі або нитці підвішують за різні його точки. Напрямок троса або нитки, буде давати кожного разу напрямок сили ваги тіла. Тоді точка перетину цих напрямків і дає положення центра ваги тіла. Використання другого методу – зважування вимагає вимірювання ваги усього тіла, а також окремих його частин. |