Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва

• Название: Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
• Анкор: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Дата: 09.06.2018
• Размер: 6.79 Mb.
• Имя файла: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Тип: Навчальний посібник; #20141
• страница: 15 из 36

§ 11.3. Диференціальні рівняння руху механічної системи
Розглянемо деяку механічну систему, яка складається з
n матеріальних точок, маси яких
n
m
m
m
m
,
,
,
,
3 2
1
; положення кожної точки відносно будь – якого центра визначається її радіус-вектором
n
r
r
r
r
,
,
,
,
3 2
1
; до кожної точки системи прикладена рівнодійна внутрішніх сил
in
n
in
in
in
F
F
F
F
...,
,
,
,
3 2
1
; а також і зовнішніх сил
e
n
e
e
e
F
F
F
F
,
,
,
,
3 2
1
Для кожної точки даної механічної системи у векторній формі можна скласти такі рівняння руху
...,
,
2
,
1
,
2 2
n
k
F
F
dt
r
d
m
e
k
in
k
k
k



(3.18)
Система отриманих рівнянь і є системою диференціальних рівнянь руху механічної системи у векторній формі.
В проекціях на координатні осі рівняння (3.18) матимуть вигляд
;
;
2 2
2 2
2 2
e
kz
in
kz
k
k
e
ky
in
ky
k
k
e
kx
in
kx
k
k
F
F
dt
z
d
m
F
F
dt
y
d
m
F
F
dt
x
d
m






(3.19)
Таким чином, якщо система складається із n матеріальних точок, то необхідно скласти 3 n диференціальних рівнянь другого порядку (3.19).

207
§ 11.4. Рух центра мас механічної системи
Характер руху механічної системи іноді можна визначити по закону руху центра мас механічної системи.
Для механічної системи, яка складається з n матеріальних точок, запишемо диференціальні рівняння у формі (3.18) і просумуємо почленно по всіх точках:








n
k
e
k
n
k
in
k
k
n
k
k
F
F
dt
r
d
m
1 1
2 2
1
(3.20)
Згідно наведених вище властивостей внутрішніх сил
0 1



n
k
in
k
F
, отже другий доданок у рівнянні (3.20) зникає і воно матиме наступний вигляд





n
k
e
k
k
n
k
k
F
dt
r
d
m
1 2
2 1
(3.21)
Із виразу (3.16) можна записати:



n
k
k
k
c
r
m
r
M
1
(3.21)
Візьмемо другу похідну за часом від лівої та правої частин виразу
(3.21):
2 2
1 2
2
dt
r
d
m
dt
r
d
M
k
n
k
k
c



(3.22)
З отриманого виразу (3.22) випливає, що його права частина співпадає з лівою частиною виразу (3.21), тому, остаточно, можна записати:



n
k
e
k
c
F
dt
r
d
M
1 2
2
,
(3.23)

208
або



n
k
e
k
c
F
dt
v
d
M
1
;




n
k
e
k
c
F
a
1
Таким чином, добуток маси механічної системи на прискорення її
центра мас дорівнює геометричній сумі усіх зовнішніх сил, які діють на
дану механічну систему.
Останнє рівняння виражає теорему про рух центра мас механічної системи:
Центр мас механічної системи рухається, як матеріальна точка,
маса якої дорівнює масі усієї системи і на яку діють усі зовнішні сили
системи.
Рівнянню (3.23) відповідає три рівняння в проекціях:







e
kz
c
e
ky
c
e
kx
c
F
dt
z
d
Μ
F
dt
y
d
Μ
F
dt
x
d
Μ
2 2
2 2
2 2
;
;
(3.24)
З цієї теореми можна зробити висновок, що рух центра мас системи залежить тільки від зовнішніх сил, які діють на механічну систему, внутрішні сили не змінюють положення центра мас.
Проте, внутрішні сили можуть здійснювати не прямий вплив на рух центра мас, а лише через зовнішні сили. Наприклад, в автомобілі внутрішні сили, що розвиває двигун, впливають на рух його центра мас лише через сили тертя коліс з дорогою.
Пара сил, яка прикладена до тіла, не може змінити характер руху його центра мас, бо головний вектор пари сил дорівнює нулю. Пара сил може спричинити лише обертання тіла навколо центра мас.

209
§ 11.5. Геометрія мас. Моменти інерції маси тіла
Положення центра мас тіла недостатньо повно характеризує розподіл мас по об'єму. Якщо маси усіх точок змістити на однакову відстань від центра мас, то положення центра мас не зміниться, але на рух тіла, особливо обертальний, це вплине суттєво. Тому у механіці введена ще одна характеристика розподілу мас по об'єму – момент інерції маси тіла.
Розрізняють моменти інерції осьові, полярні, відцентрові.
Осьовий момент інерції маси тіла (системи матеріальних точок)
відносно осі " z " – це скалярна величина, яка дорівнює сумі добутків мас
окремих точок на квадрати їх відстаней до осі z .
,...,
1
,
2 1
n
k
r
m
I
kz
k
n
k
z




(3.25)
Осьовий момент інерції маси тіла є завжди додатною величиною.
Рис. 3.5

210
Осьовий момент характеризує міру інертності тіла при обертальному русі. Тому тіло, у якого осьовий момент інерції більший, важче розкрутити, а якщо тіло уже обертається – важче зупинити.
Одиниця виміру осьового моменту інерції маси тіла:
Система CI : 1 кг·м
2
Якщо тіло суцільне або має неперервний розподіл маси, то його момент інерції визначається інтегралом, поширеним на всю масу:
 


M
z
dm
r
I
2
(3.26)
Визначимо осьові і полярні моменти інерції тіла (рис. 3.5).
Якщо відомі координати окремих точок тіла, то осьові моменти
інерції маси тіла можна обчислювати за формулами:


2 2
2
k
k
k
kz
k
z
y
x
m
r
m
I





,


2 2
2
k
k
k
ky
k
y
z
x
m
r
m
I





,
(3.27)


2 2
2
k
k
k
kx
k
x
z
y
m
r
m
I





Якщо додати три осьових моменти інерції, то отримуємо:


,
2 2
2 0
2 2
2 2
I
r
m
z
y
x
m
I
I
I
k
k
k
k
k
k
z
y
x









де
k
r
– діагональ показаного на схемі паралелепіпеда, радіус-вектор k-тої точки.
2 0
k
k
r
m
I


,
(3.28)
2 2
2 2
k
k
k
k
z
y
x
r



, де
0
I
– полярний момент інерції, як сума добутків мас точок тіла на квадрати їх відстаней до полюса O .

211
§ 11.6. Радіус інерції тіла
Радіус інерції

маси тіла – це відстань, на квадрат якої потрібно
помножити масу тіла, щоб отримати осьовий момент інерції маси тіла.
2




z
I
,
(3.29) де

– маса тіла.
З виразу (3.29) випливає співвідношення для визначення радіуса
інерції
M
I
z


Геометрично радіус інерції тіла можна уявити як радіус умовного нескінченно тонкого колового циліндра, маса і момент інерції якого дорівнюють масі і моменту інерції тіла.
§ 11.7. Моменти інерції маси тіла відносно паралельних осей
Припустимо, що маємо тіло, центр мас якого відомий і через нього проведена система центральних осей координат. Тоді момент інерції маси тіла відносно осі, яка паралельна даній центральній осі і розміщена на відстані a від неї, визначається наступним чином:
Момент інерції маси тіла відносно будь - якої осі z дорівнює
моменту інерції маси тіла відносно паралельної осі, яка проходить через
центр мас, доданим до добутку маси тіла на квадрат відстані між осями
(рис.3.6).
2
a
M
I
I
c
z
z



(3.30)

212
Рис. 3.6

– маса тіла; C – центр мас;
c
z
– вісь, яка проходить через центр мас;
z – вісь, яка паралельна осі
c
z
; a – відстань між осями.
Розглянемо довільну точку
k
m с координатами
k
k
k
z
y
x
,
,
відносно центральної осі. Відстані її до осей
c
z
і z дорівнюють відповідно
k
R
і
k
r
Визначимо момент інерції маси тіла відносно осі, як суму добутків мас на квадрати їх відстаней до осі z :






k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
k
k
k
z
y
m
a
m
a
x
y
m
x
a
y
m
r
m
I














2 2
2 2
2 2
1 2
Проаналізуємо три доданки:


c
z
k
k
k
k
k
I
R
m
x
y
m





2 2
2
– момент
інерції тіла відносно центральної осі
c
z
,
M
m
k


– маса тіла, доданок
0




c
k
k
y
M
y
m
дорівнює нулю, оскільки координата центра мас
0

c
y
відносно центральної осі і тоді остаточно отримаємо вираз (3.30).

213
§ 11.8. Приклади визначення моментів інерції тіл простої
форми
1) Однорідний тонкий стержень масою

обертається навколо осі z , яка проходить через кінець стержня (рис. 3.7).
Рис. 3.7



2
r
dm
I
z
, як для суцільного тіла;
x
r

; елементарна маса для тонкого стержня (лінії) дорівнюватиме
dx
dm



, де
l



– маса одиниці довжини стержня.
Тоді осьовий момент інерції дорівнює:
.
3
Ml
I
,
3
l
3
l
l
3
l
3
x
dx
x
x
dx
x
dm
I
2
z
2
3
3
l
0
3
l
0
2
l
0
2
l
0
2
z






















(3.31)
2) Однорідний стержень масою

і довжиною l обертається навколо осі, яка проходить через його середину (рис. 3.8).

214
Рис. 3.8
Момент інерції відносно паралельної осі
2 2








l
I
I
zc
z

, звідкіля
12 4
3 4
2 2
2 2
l
l
l
l
I
I
z
zc









;
12 2
l
I
z


(3.32)
3) Однорідне тонке кільце радіуса
R
. Вісь z перпендикулярна площині кільця.
Усі точки кільця розташовані на однаковій відстані
R
від осі z , тому момент інерції маси кільця дорівнює
2
R
I
z


. Для двох інших взаємоперпендикулярних осей момент інерції вдвічі менше.
4) Кругла однорідна пластина або однорідний циліндр радіуса
R
(рис.3.9).
Враховуючи, що
2
R




– маса, яка припадає на одиницю площі круга, то елементарна маса буде дорівнювати:
dr
r
ds
dm








2
,

215
тоді
2
R
R
2
R
2
R
dr
r
2
r
dr
r
2
r
dm
I
2
2
4
4
R
0
3
R
0
2
R
0
2
z





















,
2
MR
I
2
z

,
(3.33)
4 2
R
I
I
y
x



Рис. 3.9 5) Прямий коловий однорідний конус масою
Μ і радіусом основи R
2 3
0
R
.
I
z


, де z – вісь, яка проходить крізь вершину і центр кола основи.
6) Однорідна куля радіуса R
2 4
0
R
I
I
I
y
x
z





216
§ 11.9. Відцентрові моменти інерції маси тіла
Осьові моменти інерції маси тіла не повністю характеризують розподіл маси по об'єму тіла. Для характеристики асиметричного розподілу мас в механіці введені, так звані, відцентрові моменти інерції.


k
k
k
xy
y
x
m
I
;


k
k
k
xz
z
y
m
I
;


k
k
k
xz
z
x
m
I
(3.34)
Для суцільного тіла знак суми замінюється інтегралом





y
x
dm
I
xy
Таким чином, відцентровий момент інерції дорівнює сумі добутків
мас точок на їх відстані до двох координатних осей.
Величини відцентрових моментів інерції залежать від напрямку координатних осей і вибору початку координат. Тому, говорячи про відцентровий момент у даній точці, розуміють, що початок координат збігається з цією точкою. Відцентрові моменти інерції можуть дорівнювати нулю і мати додатний або від'ємний знак.
§ 11.10. Головні осі та головні моменти інерції тіла
Нехай вісь Oz – вісь симетрії тіла. Тоді в тілі завжди знайдуться точки з симетричними координатами по одну і другу сторону від осі:





;
;
;
;
;
k
k
k
k
k
k
z
y
x
z
y
x
Асиметрія в цьому випадку відсутня і моменти інерції тіла, що характеризують асиметрію – відцентрові моменти інерції – повинні дорівнювати нулю:

217







0 0
k
k
k
k
k
k
z
y
m
z
x
m
, тобто





0 0
yz
xz
I
I
Вісь Oz , для якої відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю,
0
,
0


yz
xz
I
I
, є головною віссю інерції тіла.
Таким чином, якщо тіло має вісь симетрії, то вона є головною віссю
інерції.
Якщо усі відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю, тобто
0

xy
I
;
0

xz
I
;
0

yz
I
, то кожна з координатних осей є головною віссю інерції даного тіла для точки O початку координат.
Моменти інерції тіла відносно головних осей інерції є головними
моментами інерції.
Через довільну точку будь-якого тіла завжди можна провести хоч би одну систему трьох взаємно перпендикулярних осей, для котрих відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю, тоді кожна з цих осей буде головною віссю інерції тіла.
Довільна вісь, яка проходить через центр мас тіла, називається
центральною. Головна вісь інерції, яка проходить через центр мас, є
головною центральною віссю інерції.
Моменти інерції маси тіла відносно цих осей – головні центральні моменти інерції тіла.