Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 10.11. Диференціальні рівняння руху твердого тіла Визначимо диференціальні рівняння руху твердого тіла як системи матеріальних точок, що його утворюють. При цьому послідовно розглянемо поступальний, обертальний і плоскопаралельний рух тіла. 218 1. Диференціальні рівняння поступального руху твердого тіла При поступальному русі твердого тіла усі його точки рухаються однаково, як і його центр мас. Тому диференціальні рівняння руху центра мас тіла і є диференціальними рівняннями поступального руху твердого тіла. , , , e z k c e y k c e x k c F z M F y M F x M (3.35) де m – маса тіла, c c c z y x , , – координати центра мас, e z k e y k e x k F F F , , – проекції зовнішньої k -ї сили на осі координат. Таким чином, вивчення поступального руху твердого тіла зводиться до вивчення руху його окремої точки – центра ваги або центра мас. 2. Диференціальні рівняння обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі Якщо тверде тіло (рис. 3.10) обертається навколо нерухомої осі z із кутовою швидкістю під дією прикладених до нього сил e n e e P P P ..., , , 2 1 , то диференціальне рівняння його обертального руху може бути записане у трьох варіантах: e k z z P m I , e k z z P m dt d I , (3.36) e k z z P m dt d I 2 2 , 219 де 2 2 dt d dt d – кутове прискорення обертання тіла, const I z – осьовий момент інерції маси тіла, – кутова швидкість, - кут повороту тіла, e k z P m - сума моментів усіх зовнішніх рушійних сил, що діють на тіло при його обертанні відносно осі z . Тобто, добуток осьового моменту інерції маси тіла відносно осі обертання на кутове прискорення дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил відносно цієї ж осі. При вивченні обертального руху тіла за додатний приймають напрямок обертання. Тоді моменти рушійних сил, які рухають і спрямовані в напрямку обертання, мають завжди додатні значення, а моменти сил опору, які спрямовані протилежно напряму обертання – від’ємні. Якщо 0 e k z P m , то 0 – обертальний рух прискорений. Якщо 0 e k z P m , то 0 – обертальний рух сповільнений. Якщо 0 e k z P m , то 0 – обертання рівномірне ( const ). Рис. 3.10 220 Приклад Колесо масою M і радіусом R обертається навколо осі Oz з кутовою швидкістю 0 . Визначити час гальмування 1 t і кут повороту 1 до зупинки, якщо сила тиску, яка прикладена до колодки, дорівнює T , а коефіцієнт тертя ковзання дорівнює f (рис. 3.11). M – маса колеса (розподілена по ободу); 0 – початкова кутова швидкість; T – сила, яка притискує гальмівну колодку до колеса; f – коефіцієнт тертя ковзання; R – радіус колеса; 0 1 – кінцева кутова швидкість. Рис. 3.11 Розв'язання Диференціальне рівняння обертального руху колеса: R T f R F dt d I тр oz ; oz I fTR dt d Після розділення змінних і інтегрування маємо: 221 1 c t I fTR oz ; при 0 t : 0 0 1 c ; t I fTR oz 0 (а) При зупинці колеса 0 і із виразу (а) маємо: 1 0 t I fTR oz fTR I t oz 0 1 (б) Визначимо кут повороту колеса: 2 2 0 0 2 c t I fTR t dt t I fTR dt oz oz При 0 t : 0 , тоді 0 2 c і остаточно: 2 2 2 1 2 1 1 0 1 oz oz I fTRt I fTRt t (в) Обчислимо за умовою момент інерції колеса oz I : 2 MR I oz Підставимо його значення в рівняння (б) і (в) і отримаємо відповідь: fT R M t 0 1 , MR fTt 2 2 1 1 3. Диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла Відомо, що плоский або плоскопаралельний рух твердого тіла можна уявити, як суму двох найпростіших рухів: поступального разом з полюсом і обертального відносно полюса. Якщо обрати за полюс центр мас тіла - точку С, то поступальна частина руху буде визначатись рівнянням: e k c P a m (3.37) 222 Обертальний рух відносно полюса визначається рівнянням: e k z zc P m dt d I 2 2 (3.38) У координатній формі диференціальні рівняння плоского руху тіла набувають вигляду: , , e k z zc ky c kx c P m I P y M P x M (3.39) Приклад Суцільний однорідний круглий циліндр радіуса R скочується з похилої площини без ковзання. Визначити величину прискорення центра циліндра c a і силу F , яка утримує циліндр від ковзання (рис. 3.12). M – маса циліндра, g m G – вага циліндра, R – радіус циліндра, – кутове прискорення циліндра. Рис. 3.12 223 Розв'язання Диференціальні рівняння плоского руху: , , sin R F I F G a M zc c ) ( ) ( б a R a c – підставимо в рівняння (б): , R F R a I c zc звідки 2 R a I F c zc . Тоді рівняння (а) буде мати вигляд: ; sin 2 R a I Mg a M c zc c ; 2 2 MR I zc 2 sin c c Ma Mg Ma Після скорочення на М маємо: sin 2 3 g a c ; sin 3 2 g a c ; sin 3 1 sin 3 1 2 2 2 2 G Mg R a MR R a I F c c zc Відповідь: sin 3 2 g a c ; sin 3 1 G F Запитання для самоконтролю 1. Чому динаміка поступального руху тіла може бути зведена до динаміки точки? 224 2. Напишіть формулу і сформулюйте словами вираз диференціального рівняння обертального руху тіла відносно осі. 3. В яких випадках дії сил обертальний рух тіла буде рівномірним, прискореним чи сповільненим? 4. Скільки диференціальних рівнянь визначають динаміку плоского руху твердого тіла і який вигляд вони мають? 5. Що таке центр мас і як визначаються його координати? 6. Які властивості внутрішніх сил ви знаєте? 7. Запишіть диференціальне рівняння руху механічної системи в векторній і координатній формах. 8. Напишіть алгебраїчний вираз і сформулюйте теорему про рух центра мас механічної системи. 9. Чи можуть внутрішні сили змінити положення центра мас? 10. Які моменти інерції маси тіла Вам відомі? 11. В яких одиницях вимірюється момент інерції тіла і що він характеризує? 12. Що таке радіус інерції тіла? 13. Як визначити момент інерції тіла відносно паралельних осей? 14. Як обчислити моменти інерції стержня, суцільного і трубчастого циліндра, кулі, конуса? 15. Що таке відцентрові моменти інерції тіла і як вони характеризують розподіл маси тіла? 16. Як визначити момент інерції тіла відносно довільної осі? 17. Які осі в тілі є головними, центральними осями? 225 РОЗДІЛ 12 РОБОТА І ПОТУЖНІСТЬ СИЛИ § 12.1. Елементарна робота сили Для характеристики дії сили на матеріальну точку або тіло при деякому його переміщенні, застосовується поняття роботи сили. При цьому робота характеризує ту дію сили, якою визначається зміна модуля швидкості руху точки. Робота сили на нескінченно малому переміщенні її точки прикладення називається елементарною роботою сили r d P dA , (3.40) r d P r d P dA , cos , де ds r d – елементарне переміщення точки М вздовж траєкторії, – дотична до траєкторії руху точки М (рис. 3.13). v P ds P dA , cos , (3.41) Рис. 3.13 226 P v P P , cos , ds P dA (3.42) Згідно (3.41) елементарна робота сили дорівнює добутку сили на елементарне переміщення точки прикладення сили вздовж траєкторії і на косинус кута між силою і напрямком руху (напрямком швидкості). Якщо ; 90 , 0 v P – робота додатна, Якщо ; 0 , 0 v P ds P dA – робота має максимум, Якщо ; 90 , 0 v P – робота від’ємна, Якщо ; 90 , 0 v P 0 dA – робота дорівнює нулю. Елементарна робота сили на переміщенні, яке перпендикулярне до напрямку руху точки, дорівнює нулю. Елементарну роботу сили r d P dA можна виразити в аналітичній формі. Для цього уявимо силу P і переміщення r d через їх проекції на осі координат. , z y x P k P j P i P , z k y j x i r , dz k dy j dx i r d і підставимо у вираз роботи (3.40): dz k dy j dx i P k P j P i dA z y x , звідки остаточно маємо: dz P dy P dx P dA z y x (3.43) Таким чином, елементарна робота сили дорівнює сумі добутків проекцій сили на варіації відповідних координат точки прикладення сили. 227 § 12.2. Робота сили на кінцевому переміщенні Припустимо, що точка М перемістилась з положення М 1 до положення М 2 (рис. 3.14). Тоді робота сили P на цьому переміщенні дорівнює інтегралу від елементарної роботи, взятому вздовж цього переміщення 2 1 M M dA A (3.44) Рис. 3.14 В залежності від того, в якій формі записана елементарна робота, маємо різні формули роботи сили на кінцевому переміщенні. 2 1 , cos M M ds v P P A , (3.45) 2 1 M M ds P A , (3.46) 2 1 M M z y x dz P dy P dx P A (3.47) 228 Якщо вектор сили є сталою величиною const P (рис. 3.15), то const v P P P , cos і тоді v P S P S P A , cos Рис. 3.15 Робота сталої сили на прямолінійному переміщенні її точки прикладення дорівнює добутку модуля сили на величину переміщення і на косинус кута між вектором сили і напрямком руху (швидкістю). Розмірність роботи в системі СІ: Дж м H А 1 1 1 , § 12.3. Графічний спосіб обчислення роботи Робота сили може бути обчислена аналітично за допомогою формули (3.47) або графічно на підставі формули (3.46). Для графічного обчислення роботи використовують графік зміни сили в функції переміщення, наприклад, S f P (рис. 3.16). Вздовж осі абсцис цього графіка відкладають у деякому масштабі значення дугової координати S , а вздовж осі ординат відповідні значення проекції сили на дотичну P : ) (S f P ; ' dS P dA , 229 B A S P ABCD dS P A пл , (3.48) де S P , – масштабні коефіцієнти сили і переміщення. Рис. 3.16 Робота сили на переміщенні її точки прикладення обчислюється площею фігури, обмеженою віссю абсцис, кривою ) (S f P і двома ординатами, які відповідають початковому і кінцевому положенню рухомої точки. § 12.4. Робота рівнодійної сили Робота рівнодійної сили на деякому шляху дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил на тому ж шляху. Проекція рівнодійної сили R на вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх сил на вісь (рис. 3.17): v P P v P P v P R P v R R n n , cos , cos , cos , cos 2 2 1 1 (3.49) |