Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 14.1. Поняття про метод кінетостатики і силу інерції матеріальної точки Закони Ньютона стосуються руху тільки вільної матеріальної точки. На невільну точку накладені обмеження у вигляді умов в’язі, які реалізуються за допомогою сил реакцій в’язей. Аксіома про звільненість від в’язей дає можливість звести будь-яку невільну точку до вільної, якщо включити до числа активних сил реакції відповідних в’язей. Тому метод кінетостатики (або принцип Д’Аламбера) еквівалентний основному закону динаміки і аксіомі про звільненість від в’язей. Цей метод ефективно використовується для розв’язування першої задачі динаміки невільної матеріальної точки, коли заданий закон її руху, а треба визначити шукану силу або реакцію в’язі, що обмежує рух точки в певному напрямі. Даний метод дозволяє для рухомих матеріальних об’єктів формально застосовувати рівняння рівноваги. Припустимо, що людина штовхає возик масою m з силою F в напрямку руху (рис. 3.24) і возик одержує прискорення a . Тоді, згідно третьго закону механіки про дію і протидію, возик діє на руку людини з силою Ф , яка дорівнює F , але протилежна за напрямом прискоренню возика a Рис. 3.24 259 Тобто сила інерції возика, що прикладена до рук людини, дорівнює a m Ф , (3.108) m – маса возика; a – прискорення возика; F a m – рівнодійна усіх сил, що діють на возик; Таким чином, силою інерції матеріальної точки називають вектор Ф , який дорівнює за модулем добутку маси точки на її прискорення і спрямований протилежно вектору прискорення “ a ”. Сила інерції матеріальної точки до самої точки не прикладена, а прикладена до тих тіл, які надають точці прискорення. Якщо рух точки заданий координатним способом, то сила інерції дорівнює: k z m j y m i x m a m Ф , (3.109) де z y x , , – проекції прискорення точки на відповідні осі координат. Якщо рух точки заданий натуральним способом, то сила інерції має вираз: n v m dt dv m a m Ф 2 , (3.110) де dt dv a – дотична складова прискорення; 2 v a n – нормальна складова прискорення; – радіус кривизни траєкторії точки. Або ; n Ф Ф Ф a m Ф ; n n a m Ф Ф – тангенціальна складова сили інерції точки; n Ф – нормальна складова сили інерції точки або відцентрова сила. Припустимо, що точка М з масою m розміщена на обертовому тілі і обертається разом з тілом (рис. 3.25) на відстані r від осі О. 260 Рис. 3.25 Тоді сила інерції точки визначається: mr ma Ф – тангенціальна складова сили інерції; r m ma Ф n n 2 – нормальна складова сили інерції точки або відцентрова сила інерції точки М. Модуль повної сили інерції матеріальної точки дорівнює: 4 2 2 2 mr Ф Ф Ф n § 14.2. Принцип Д’Аламбера для матеріальної точки Нехай на матеріальну точку діє активна сила P і реакція в’язі R . Запишемо в векторній формі диференціальне рівняння руху невільної матеріальної точки: R P a m , де P – рівнодійна активних сил, які не залежать від в’язей; R – рівнодійна реакцій в’язей. 261 0 a m R P , 0 Ф R P , (3.111) де a m Ф У будь який момент руху матеріальної точки активні сили і реакції в’язей зрівноважуються силою інерції, яка умовно прикладається до даної точки. В цьому полягає ідея метода кінетостатики. Задача динаміки зводиться по формі до задачі статики, тобто до розгляду рівноваги точки. Але в дійсності в задачах динаміки ніякої рівноваги не існує і сила інерції врівноважує систему фіктивно. Необхідно зауважити, що і поняття “сила інерції” є фіктивним і не пов’язане з реальними силами природи, які характеризують кількісну міру взаємодії між тілами. Сил інерції в природі не існує, а існує лише прояв інертності маси тіла. Рівність (3.111) не є умовою рівноваги, оскільки сили системи прикладені до різних тіл: активна сила і реакція в’язі прикладена до матеріальної точки або тіла, а сила інерції – до тіл, що зумовлюють прискорення точки відносно абсолютної системи координат. Метод кінетостатики – це не закон, а формально-математичний спосіб зведення рівнянь динаміки до рівнянь статики, але він дає математично точні і прості співвідношення для розв’язання задач динаміки. Векторному рівнянню (3.111) відповідає три аналітичних рівняння в проекціях на координатні осі: 0 x x x Ф R P , 0 y y y Ф R P , (3.112) 0 z z z Ф R P 262 Приклад Платформа з вантажем опускається до низу з прискоренням a , m – маса вантажу (рис.3.26). Визначити реакцію платформи або точки вантажу на платформу N . Рис. 3.26 Розв’язання ma Ф – сила інерції вантажу, mg G – вага вантажу. Умовно до вантажу прикладаємо його силу інерції і записуємо рівняння рівноваги, як суму проекцій сил на вісь y : 0 ky P ; 0 N Ф G , g a G a g m ma mg Ф G N 1 ) ( Якщо прискорення g a , то 0 N (отримаємо умову невагомості). 263 § 14.3. Принцип Д’Аламбера для механічної системи Припустимо, що механічна система складається з n матеріальних точок: n m m m ,..., , 2 1 – маси точок; n r r r ,..., , 2 1 – радіус-вектори точок; n P P P ,..., , 2 1 – рівнодійні активних сил, прикладених до кожної точки, n R R R ,..., , 2 1 – рівнодійні реакцій в’язей, n a a a ,..., , 2 1 – прискорення кожної точки, n n n a m Ф a m Ф a m Ф ,..., , 2 2 2 1 1 1 – сили інерції кожної точки. Для k-тої точки застосовуємо принцип Д’Аламбера (3.112): 0 k k k Ф R P (3.113) Додавши почленно рівняння (3.113) по всіх точках, отримаємо: 0 k k k Ф R P , (3.114) де P P k – головний вектор активних сил механічної системи, R R k – головний вектор реакцій в’язей механічної системи, Ф Ф k – головний вектор сил інерції механічної системи. Тоді 0 Ф R P гол гол гол (3.115) В будь який момент часу головний вектор активних сил, головний вектор реакцій в’язей і головний вектор сил інерції складають зрівноважену систему сил. Або: активні сили і реакції в’язей механічної системи 264 зрівноважуються силами інерції, умовно прикладеними до точок системи. Обираємо довільно полюс О за центр зведення сил, які діють на механічну систему. Кожна точка системи відносно полюса О буде мати свій радіус-вектор: n r r r ,..., , 2 1 . Рівняння (3.114) помножимо векторно на k r , а потім просумуємо по всіх точках системи: 0 k k k k k k Ф r R r P r , 0 k k k k k k Ф r R r P r , де P k k M P r 0 - головний момент активних сил механічної системи; R k k M R r 0 - головний момент реакцій в’язей механічної системи; ф k k M Ф r 0 - головний момент сил інерції механічної системи. В результаті отримаємо: 0 0 0 0 ф R P M M M (3.116) В будь який момент часу сума головного моменту активних сил, головного моменту реакцій в’язей і головного моменту сил інерції для механічної системи дорівнює нулю. Рівнянням (3.115) і (3.116) відповідають рівняння в проекціях на декартові осі координат: 0 x x x Ф R P , 0 y y y Ф R P , 0 z z z Ф R P , 0 ф x R x P x M M M , (3.117) 0 ф y R y P y M M M , 0 ф z R z P z M M M 265 Слід відмітити, що всі без виключення задачі динаміки можна розв’язувати без застосування метода кінетостатики, не користуючись навіть поняттям “сила інерції”. Проте, метод кінетостатики внаслідок своєї простоти і наочності широко застосовується в інженерній практиці для розв’язування задач динаміки. Особливо цей метод зручний при визначенні реакцій в’язей механічної системи. Цей метод, звичайно, можна використовувати також для визначення прискорень тіл механічної системи. § 14.4. Зведення сил інерції точок тіла, що обертається відносно нерухомої осі Розглянемо тіло, що обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю і кутовим прискоренням (рис. 3.27). Рис. 3.27 При цьому довільна точка масою k m описує коло радіуса k r і має 266 тангенціальне прискорення k a . Кожна точка буде мати тангенціальну складову сили інерції: k k k k k r m a m Ф і нормальну (або відцентрову) силу інерції: k k n k n k r m a m Ф 2 , яка не дає моменту відносно осі обертання, тому що перетинає цю вісь. Тільки тангенціальні сили інерції створюють моменти відносно осі обертання z: z k k k k k k ф z I r m r m r Ф M 2 2 , z ф z I M (3.118) Момент сил інерції тіла, яке обертається навколо нерухомої осі з кутовим прискоренням, дорівнює добутку осьового моменту інерції маси тіла відносно осі обертання на кутове прискорення і спрямований у протилежний бік кутовому прискоренню. Рис. 3.28 267 Треба відмітити, що момент сил інерції тіла виникає тільки в період розгону або гальмування (перехідні режими). В період усталеного руху (рівномірне обертання) момент сил інерції дорівнює нулю. Зведемо далі відцентрові сили інерції точок всього тіла (рис. 3.28). Для кожної точки k m маємо нормальну (відцентрову) силу інерції: k k n k r m Ф 2 Сумарну силу інерції визначимо через проекції на осі координат: 2 2 n y n x n Ф Ф Ф , (3.119) k k k k n xk n x x m r m Ф Ф 2 2 cos , де – c k k Mx x m (значення координати c x центра мас), M – маса тіла. c n x Mx Ф 2 , (3.120) Аналогічно визначимо проекцію на вісь y : c n y My Ф 2 (3.121) Підставляючи (3.120) і (3.121) в (3.119), отримаємо: n c c c c n a M r M y x M Ф 2 2 2 2 , (3.122) де c r – радіус-вектор центра мас тіла, c n c r a 2 – нормальне, доцентрове прискорення центра мас. Аналіз виразу відцентрової сили інерції показує, що ця сила завжди має місце при обертанні і досить небезпечна, так як вона пропорційна квадрату кутової швидкості. Відцентрова сила буде дорівнювати нулю, коли 0 c r , тобто центр мас розміщений на осі обертання. Це досягається методом балансування. 268 0 0 0 2 n c n c c Ф r a r Приклад Визначити прискорення тіл і динамічні реакції при русі механічної системи (рис. 3.29). Рис. 3.29 Дано: 1 2 m m , 1 m - маса тіла А, 2 m - маса тіла В, 3 m - маса тіла С. Маса шківа розподілена по ободу радіуса r , r - радіус шківа. Визначити: a - прискорення вантажів, 1 N - натяг тросу ліворуч, 2 N - натяг тросу праворуч, 0 R - реакцію опори шківа. 269 Розв’язання g m G 1 1 - вага вантажу А, g m G 2 2 - вага вантажу В, g m G 3 3 - вага шківа, 2 3 r m I z - осьовий момент інерції маси шківа, a m Ф 1 1 - сила інерції вантажу А, a m Ф 2 2 - сила інерції вантажу В, ra m r a r m r a I I M z z ф z 3 2 3 - момент сил інерції шківа. Якщо умовно прикласти до вантажів їх сили інерції, а до шківа момент сил інерції ф M 3 , то система буде в рівновазі і можна скласти рівняння рівноваги системи у вигляді суми моментів сил відносно точки О, виключивши сили 1 N і 2 N , як внутрішні: 0 0 0 0 k k k R m P m Ф m , 0 3 2 2 1 1 ф M r G r Ф r G r Ф , або 0 3 2 2 1 1 ra m gr m ar m gr m ar m , звідки, скоротивши на r, маємо: g m g m a m a m a m 1 2 3 2 1 , 3 2 1 1 2 m m m m m g a (прискорення вантажів). Натяг тросу ліворуч: a g m a m g m Ф G N 1 1 1 1 1 ' 1 |