Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 20.5. Розрахунки на міцність і жорсткість при розтягу або стиску. Виходячи із загальних умов міцності (5.6) і виразу (5.8) для напружень, що виникають в поперечних перерізах елемента конструкції, можна отримати наступну розрахункову формулу при розтягу і стиску: A N , (5.19) де N – величина поздовжньої сили у поперечному перерізі, А – площа поперечного перерізу, – допустиме напруження розтягу (стиску) для матеріалу елемента конструкції. Вираз (5.19) називається умовою міцності при розтягу і стиску і формулюється так: розрахункове нормальне напруження в небезпечному перерізі не повинно перевищувати допустиме. В залежності від форми використання умови міцності (5.19) зустрічаються три види розрахунків елементів конструкцій на міцність. 368 1. Проектний розрахунок, при якому визначається розміри небезпечного поперечного перерізу: max N А (5.20) 2. Перевірний розрахунок, при якому визначається максимальне робоче напруження і порівнюється із допустимим: A N max (5.21) 3. Визначення максимально допустимого навантаження: A N max (5.22) Аналогічно умові міцності можна записати умову жорсткості при розтягу або стиску: l A E l N l , (5.23) де l – розрахункова абсолютна деформація елемента конструкції, l – довжина елемента, E – модуль пружності, l – допустима абсолютна деформація матеріалу. Умова жорсткості формулюється так: абсолютне видовження (або скорочення) навантаженого елемента конструкції не повинно перевищувати допустимого значення. Користуючись умовою жорсткості (5.23), можна провести ті самі три типи розрахунків, що і за умовою міцності – перевірний, проектний і допустимого (найбільшого) навантаження. Слід відмітити, що стержневі конструкції розраховують переважно за умовою міцності, а умову жорсткості використовують як перевірний розрахунок. 369 Запитання для самоконтролю 1. Які внутрішні сили і напруження виникають при розтягу (стиску) прямого бруса? 2. Як будуються епюри поздовжніх сил і нормальних напружень? 3. Напишіть закон Гука для розтягу (стиску). 4. Як визначити абсолютну деформацію розтягу (стиску) прямого бруса? 5. Які основні механічні характеристики можна визначити із діаграми розтягу (стиску) матеріалів? 6. Напишіть умову міцності і жорсткості при розтягу (стиску)? 7. Які основні види розрахунків дозволяє зробити умова міцності на розтяг (стиск)? 370 РОЗДІЛ 21 ЗСУВ І КРУЧЕННЯ § 21.1. Зсув Зсувом називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає лише один внутрішній силовий фактор – поперечна сила Q . Деформацію зсуву можна отримати при прикладенні до бруса двох близько розташованих і протилежно напрямлених рівних сил, які діють перпендикулярно до поздовжньої осі і викликають паралельне відносне зміщення його поперечних перерізів. Зсув спостерігається, наприклад, при різанні ножицями металічних прутків або полос. Розглянемо деформацію зсуву однієї частини бруса відносно другої, під дією таких сил (рис. 5.10). Поперечну силу Q , яка виникла від зовнішньої сили P , визначимо із умов рівноваги однієї із частин бруса (наприклад, лівої) за допомогою методу перерізів: n 1 k ky 0 P , 0 Q P , P Q Рис. 5.10 371 Визначимо напруження в поперечних перерізах бруса. Дані напруження діють вздовж поперечного перерізу, тобто є дотичними напруженнями Припустимо, що напруження розподілені по перерізу рівномірно. Тоді рівнодіючу Q внутрішніх сил можна знайти як: A A A dA dA Q Звідки A Q (5.24) Слід зауважити, що наведений розрахунок дотичних напружень при зсуві лише наближений до реального, тому що лінії дії сил Р і Q точно не співпадають і являють собою в дійсності пару сил. Але момент цієї пари дуже малий і напруженням, що відповідає йому, можна знехтувати. Таке припущення в багатьох випадках себе виправдовує і в інженерній практиці вираз (5.8) широко використовується для реальних конструкцій. Рис. 5.11 372 Визначимо параметри, що характеризують деформацію при зсуві. Як видно з рис. 5.11 деформація зсуву приводить до перекошування прямих кутів елементарного паралелепіпеда adcd бруса. Тобто, на відміну від лінійних деформацій, пов’язаних із зміною лінійних розмірів елементів, при зсуві виникають кутові деформації, які викликають скривлення прямих кутів елементарних паралелепіпедів, виділених із бруса. Продемонструємо процес загального випадку деформації зсуву на виділеному в тілі елементарному елементі adcd , нижню грань якого dc будемо вважати умовно нерухомою (рис. 5.12). Такий елемент можна змістити, якщо вздовж його зовнішніх протилежних граней прикласти дві пари однакових за величиною і протилежних за напрямком елементарних зусиль (дотичних напружень ). Рис. 5.12 373 При цьому грань ab зміститься паралельно на величину s b b a a , яка називається абсолютним зсувом. Елемент adcd перекоситься і його прямі кути скривляться на величину . Кут називається кутом зсуву або відносним зсувом. Величина відносного зсуву досить мала і визначається через абсолютний зсув: h s tg (5.25) В межах пружності матеріалу між напруженнями і деформацією при зсуві спостерігається залежність, яка аналогічна залежності при деформації розтягу (стиску): G (5.26) Вираз (5.26) називається законом Гука при зсуві і формулюється так: дотичне напруження прямо пропорційне відносному зсуву. Коефіцієнт пропорційності G характеризує пружні властивості матеріалу при зсуві і називається модулем зсуву або модулем пружності другого роду. Модуль зсуву матеріалу знаходиться експериментальним шляхом із діаграми зсуву при скручуванні тонкостінної труби, коли маємо випадок так званої деформації “чистого зсуву”, який буде розглядатись далі. Середнє значення G для ряду матеріалів, МПа: сталь – 5 10 8 , 0 , мідь технічна – 5 10 4 , 0 , деревина вздовж волокон – 5 10 0055 , 0 Між модулем пружності E і модулем зсуву G матеріалу існує наступна залежність: ) 1 ( 2 E G , (5.27) де – коефіцієнт поперечної деформації (коефіцієнт Пуасона). 374 § 21.2. Розрахунки на зріз і зминання Деформація зсуву, доведена до руйнування матеріалу, називається зрізом (стосовно металічних елементів конструкцій) або сколюванням (стосовно неметалічних). При цьому умова міцності при зрізі або сколюванні: A Q , (5.28) де Q – поперечна сила, яка дорівнює зовнішньому навантаженню ( P Q ), A – площа зрізу або сколювання, – допустиме напруження на зріз або сколювання. Для пластичних металів значення допустимих напружень на зріз приймають в залежності від границі текучості Т в межах: Т зр ) 35 , 0 ... 25 , 0 ( Для деревини допустимі напруження на сколювання приймають в межах 4 , 1 ... 5 , 0 ск МПа в залежності від сорту деревини і напрямку дії зовнішнього навантаження по відношенню до волокон. Класичним прикладом металічних конструкцій, елементи, яких працюють на зріз є заклепочні (болтові) та зварні з’єднання. В заклепочному з’єднанні із боку листів на заклепку передається зовнішні сили P , які можуть її зрізати по перерізу ab (рис. 5.13). Рис. 5.13 375 Тоді умова міцності на зріз для з’єднання, що має n заклепок діаметром d (рис. 5.14) можна записати наступним чином: зр 2 зр зр i n 4 d P A Q , (5.29) де i – кількість площин зрізу при з’єднанні більше ніж двох листів. Рис. 5.14 Крім цього, в подібного роду елементах конструкцій виникає деформація зминання. Зминанням називається місцевий стиск матеріалів, в контактуючих поверхнях деталей. Виникаючі нормальні напруження зминання є місцевими і швидко зменшуються при віддаленні від поверхні контакту деталей. При цьому на поверхні контакту напруження зминання розподілені нерівномірно за невідомим законом. Тому для спрощення розрахунків за площу зминання замість поверхні половини циліндра умовно приймають проекції цієї поверхні на діаметральну площину (рис. 5.15). 376 Рис. 5.15 Розрахункова площа зминання для клепки буде дорівнювати: min зм d A , (5.30) де min – товщина листа, яка приймається мінімальною в разі з’єднання листів різної товщини. Таким чином, умова міцності на зминання для заклепочного (болтового) з’єднання має вигляд: зм min зм зм d P A P , (5.31) де зм – допустиме напруження на зминання. В інженерній практиці допустимі напруження на зминання приймають для різних матеріалів в межах значень: для маловуглецевої сталі – 100…120 МПа, для клепаних стальних з’єднань – 240…320 МПа, для деревини (сосна, дуб) – 2,4…11 МПа в залежності від сорту і напрямку деформації волокон. 377 § 21.1. Кручення Крученням називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає лише один внутрішній силовий фактор – крутний момент к М . Деформацію кручення можна отримати, якщо до бруса в площинах, перпендикулярних його поздовжньої осі, прикласти дві пари зовнішніх сил з обертальними моментами М , які діють в протилежних напрямках і рівні за величиною (рис. 5.16). Бруси, що працюють на кручення називають валами. На практиці спостерігається кручення валів двигунів, механічних передач, турбін і гребних гвинтів. Крім цього деформацію кручення можуть також зазнавати і інші деталі – болти під час закручування, пружини тощо. Розглянемо детальніше випадок кручення валу, коли на нього жорстко насаджені два шківи 1 і 2 , що передають енергію руху від джерела до приймача. Наприклад, шків 1 отримує обертальний момент 1 M від електродвигуна, а з шківа 2 знімається обертальний момент 2 M до робочих органів машини (рис. 5.16). Рис. 5.16 378 Внаслідок протидії сил опору робочих органів машини рушійним силам електродвигуна, обертальні моменти на шківах 1 M і 2 M будуть протилежними за напрямком, а за законом збереження енергії (без урахування сил тертя і при рівномірному обертанні) – однакові за величиною. В результаті дії цих моментів 1 M і 2 M вал і отримає деформацію кручення. Крутний момент к M , що виникає при такій деформації в поперечному перерізі валу, можна визначити із умови рівноваги однієї із частин вала (наприклад, лівої) за допомогою метода перерізів. Вибрана ліва частина валу перебуває в стані рівноваги під дією внутрішнього моменту к M і зовнішнього 1 M (рис. 5.17). Рис. 5.17 Умовно приймемо за додатний напрямок обертання моментів проти годинникової стрілки при спостереженні за ними із торця перерізу розглянутої частини валу. 379 Тоді рівняння рівноваги між зовнішнім і внутрішнім моментами буде мати вигляд: n 1 k x 0 M , 0 M M 1 к Звідки 1 к M M Очевидно, що для другої частини вала (правої): 2 к M M , а з урахуванням того, що 2 1 M M : 2 1 к M M M Тобто, на всій довжині валу, де відбувається деформація кручення, крутнй момент в поперечних перерізах має постійне значення і зрівноважує зовнішній момент, діючий по один із боків перерізу. Знак моменту к M в даному випадку буде додатний, але він приймається умовно тільки для складання рівняння рівноваги і на розрахунки жорсткості та міцності вала не впливає. Але це правило знаків будемо використовувати і далі. Цілком зрозуміло, що у випадку дії на відсічену частину декількох зовнішніх моментів необхідно розглядати рівновагу між внутрішнім крутним моментом і сумарною дією зовнішніх моментів. Таким чином, для подальших розрахунків зробимо висновки. Крутний момент, що виникає в поперечному перерізі валу, зрівноважує його зовнішні моменти, які прикладені по один із боків перерізу, і дорівнює їх алгебраїчній сумі із урахуванням знаку. Правило знаків приймаємо наступне. Зовнішні моменти рахуються додатними, при обертанні проти годинникової стрілки, якщо спостерігати за ними із торця перерізу розглянутої частини валу, і від’ємними - в протилежному випадку. 380 § 21.4. Побудова епюри крутних моментів Коли обертання від двигуна передається за допомогою передаточного валу кільком робочим машинам, крутний момент не лишається постійним по довжині валу. Характер зміни крутного моменту в цьому випадку зручно представити у вигляді епюри крутних моментів. Розглянемо побудову такої епюри на прикладі (рис. 5.18). Нехай вал обертається рівномірно, а тертя в його опорах незначне. Тоді зовнішній момент 1 M , що подається на шків 1 валу буде врівноважений сумою зовнішніх моментів, які знімаються з його шківів 2 , 3 , 4 : 4 3 2 1 M M M M Рис. 5.18 381 Розбиваємо вал на три ділянки 1 , 2 , 3 з межами в точках прикладання зовнішніх моментів. Визначимо крутні моменти в поперечних перерізах вала кожної ділянки, застосувавши метод перерізів. При цьому будемо складати рівняння рівноваги для лівої частини валу, відкинувши праву, і використовувати прийняте правило знаків для зовнішніх моментів, що діють на цю частину. Тоді крутний момент в будь – якому перерізі першої ділянки валу дорівнює: м Н 200 M M 4 1 к На другій ділянці : м Н 400 600 200 M M M 1 4 2 к На третій ділянці: м Н 100 300 600 200 M M M M 2 1 4 3 к По знайденим величинам будуємо епюру крутних моментів, відкладаючи від нульової лінії у вибраному масштабі від’ємні значення вниз, а додатні – вгору. Аналогічні результати можна отримати, якщо будувати епюру зліва на право, розглядаючи рівновагу правої частини валу. Звідси можна зробити висновок що, значення епюри в її крайніх точках дорівнює зовнішнім моментам, діючих на відповідних кінцях вала. Слід також зауважити, що досить часто в інженерній практиці бувають задані не зовнішні обертальні моменти і М ) м н ( , а потужності і N ) Вт ( , що передаються на вал, і кутова швидкість ) с / рад ( обертання валу або його частота n ) хв / об ( . В такому випадку зовнішні обертальні моменти можуть бути визначені із відомої залежності: n N 30 N M i i i 382 § 21.5. Напруження і деформації при крученні З’ясуємо характер деформацій і напружень при крученні. Для цього розглянемо кручення валу суцільного (або кільцевого) перерізу з жорстко закріпленим одним кінцем (рис. 5.19). Рис. 5.19 При деформації кручення можна спостерігати наступне: поперечні перерізи валу зберігають свою плоску форму, вісь валу залишиться прямою і відстані між перерізами не зміняться, твірні на поверхні валу перетворюються у гвинтові лінії. Таким чином, деформація кручення валу полягає у відносному повороті його поперечних перерізів навколо вісі кручення. При цьому кути повороту перерізів прямо пропорційні відстані до місця закріплення валу і називаються кутами закручування. Кути закручування визначаються в радіанах або в градусах. Кут повороту крайнього перерізу валу від місця його закріплення називається повним кутом закручування (рис. 5.19 б). Розглядаючи тонкий шар матеріалу на поверхні валу, можна 383 побачити, що елементарний паралелепіпед ABCD при крученні перекошується і прямі кути між його гранями змінюються на кут , який є кутом зсуву, або відносним зсувом (рис. 5.19 в). Аналогічна картина спостерігалась при вивченні деформації зсуву. Тобто, при крученні також виникає зсув, але не за рахунок поступального, а в результаті обертального руху одного поперечного перерізу відносно іншого. Такий зсув називається «чистим зсувом ». На цій підставі можна зробити висновок, що при крученні в результаті відносного зсуву поперечних перерізів в них виникають тільки дотичні напруження Визначимо закон розподілення дотичних напружень в перерізі валу. Двома поперечними перерізами виділимо елемент валу довжиною dx , а з нього, в свою чергу, двома циліндричними поверхнями з радіусами і d виділимо елементарне кільце (рис. 5.20 а). Рис. 5.20 384 Правий переріз кільця повертається при крученні відносно лівого на кут d . Твірна DC при цьому зміститься на кут зсуву і займе положення 1 DC . Відрізок 1 CC дорівнює, з одного боку, d , а з другого – dx Тоді відносний зсув перерізу дорівнює: dx d , (5.32) Введемо позначення dx d (5.33) Величина називається відносним кутом закручування і аналогічна відносному видовженню стержня при розтягу ( l l ). Величину відносного зсуву в такому разі можна записати у вигляді: (5.34) Напрямок деформації зсуву елементу ABCD визначає напрямок виникаючих в ньому дотичних напружень . Це буде перпендикуляр до відповідного радіуса елементу (рис. 5.20 б). Величина цих дотичних напружень визначається за законом Гука для зсуву із урахуванням виразу (5.34): G G (5.35) де G – модуль зсуву. Із співвідношення (5.35) можна зробити висновок, що дотичні напруження при крученні валу змінюються в поперечному перерізі по довжині радіуса за лінійним законом . Вони дорівнюють нулю в центрі 385 переріза і мають максимальне значення на поверхні валу (рис. 5.20 б): 0 min при 0 , Gr max при r . Таким чином, дотичні напруження в кожній точці поперечного перерізу валу напрямлені перпендикулярно до відповідного радіусу точки перерізу і по величині змінюються пропорційно радіусу від нульового значення в центрі перерізу до максимального на поверхні валу З іншого боку, знаючи закон розподілення дотичних напружень, можна визначити їх значення в залежності від внутрішнього моменту, що виникає в даному поперечному перерізі. Якщо dA – елементарна площа, то елементарна внутрішня дотична сила, що діє на цій площі, дорівнює: dA G dA dP Елементарний момент, що утворює елементарна сила dP : dA G dP dM 2 Сума таких елементарних моментів, взята по всій площі поперечного перерізу валу, дорівнює внутрішньому крутному моменту к М , що діє в цьому перерізі, і в даному конкретному випадку дорівнює зовнішньому моменту М : . dA G dM М А 2 А к (5.36) Так як const G і const , то . dA G М А 2 к Величина p А 2 J dA , як відомо з розділу динаміки, називається 386 полярним моментом інерції. Тоді останній вираз запишемо як: p к J G М (5.37) Звідки p к GJ М (5.38) Повний кут закручування в радіанах: p к GJ l М l , (5.39) або в градусах: 180 GJ l М p к , (5.40) Добуток p J G називається жорсткістю валу при крученні. Знайдемо залежність напруження від крутного моменту. Для цього у співвідношення (5.35) замість підставимо його значення із (5.38): p к p к J M GJ M G G (5.41 В точках, найбільше віддалених від центру перерізу валу (при r ), напруження будуть максимальними: p к max J r M , (5.42) або p к max W M , (5.43) де r / J W p p – полярний момент опору поперечного перерізу валу. 387 Полярний момент опору перерізу є його геометричною характеристикою (як і полярний момент інерції). Для суцільного перерізу валу діаметром d : 16 d d 32 d 2 W 3 4 p (5.44) Для валу кільцевого перерізу із зовнішнім D і внутрішнім d діаметрами: D 16 ) d D ( D 32 ) d D ( 2 W 4 4 4 4 p (5.45) |