Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 22.4. Загальні закономірності в епюрах поперечних сил і згинаючих моментів На підставі розглянутих прикладів побудови епюр поперечних сил і згинаючих моментів можна визначити їх загальні закономірності. 1. На ділянці балки, де відсутнє розподілене навантаження, епюра y Q - пряма, яка паралельна поздовжньої осі балки, а епюра z M - похила пряма. 2. В перерізі, де до балки прикладена зосереджена сила P , на епюрі y Q буде стрибок на величину цієї зовнішньої сили, а на епюрі z M - злам. 3. В перерізі, де до балки прикладена зосереджена пара сил з моментом M , на епюрі z M буде стрибок на величину цього моменту, а на епюрі y Q змін не буде. 4. На ділянці дії рівномірно розподіленого навантаження q епюра y Q буде похилою прямою, а епюра z M - параболою із випуклістю назустріч дії розподіленого навантаження. 5. Якщо на ділянці дії розподіленого навантаження q епюра y Q перетинає базову лінію (точка, де 0 Q y ), то в цьому перерізі згинаючий момент має екстремальне значення. 6. Згинаючий момент в кінцевих перерізах балки завжди дорівнює нулю, крім випадку, коли до цього перерізу прикладена зосереджена пара сил з моментом М . В такому разі згинаючий момент z M в кінцевому перерізі дорівнює моменту зосередженої пари сил. Вказані закономірності дозволяють спростити побудову епюр у складних випадках навантаження балки і обчислювати значення епюр тільки в характерних перерізах балки. 408 § 22.5. Нормальні напруження при згині Розглянемо характер деформації балки, при чистому згині, коли до її кінців прикладені дві пари зовнішніх сил із моментами М (рис. 5.30). При такій деформації балка вигнеться і можна спостерігати наступні особливості зміни розмірів і форми. 1. Плоскі поперечні перерізи балки a a , b b , … e e залишаться плоскими, але будуть повернуті один відносно одного на деякий кут. 2. Плоскі поздовжні перерізи e a , o o стануть викривленими по дузі кола з деяким радіусом. Це можна побачити, якщо нанести на бокові грані балки поздовжні лінії. При згині вони стануть кривими. 3. Верхні поздовжні волокна балки будуть стиснутими, а нижні розтягнутими. При цьому на якомусь рівні по висоті поперечного переріза буде знаходитись нейтральний шар (поздовжній переріз o o ), де волокна не змінять своєї довжини. Лінія перетину нейтрального шару і поперечного перерізу балки називається нейтральною лінією. Рис. 5.30 409 Наведені положення є гіпотезою плоских перерізів і дозволяють зробити висновок, що при чистому згині в балці відбувається тільки розтяг і стиск поздовжніх волокон. Це приводить до виникнення в її поперечних перерізах нормальних напружень розтягу і стиску. Зрозуміло, що деформація волокон не залежить від їх положення по ширині балки. Тобто, нормальні напруження лишаються постійними по ширині поперечного переріза і змінюються тільки по його висоті. Визначимо закон розподілення цих нормальних напружень по висоті переріза. Для цього виділимо елемент балки довжиною dx , обмежений двома поперечними перерізами m m і n n (рис. 5.31). Рис. 5.31 При чистому згині перерізи m m і n n лишаються плоскими і повертаються на кут d , а нейтральний шар балки або її вісь довжиною dx перетворюється на дугу з радіусом . Тоді довільне волокно, що знаходиться на відстані y від нейтрального шару, стане також дугою довжиною x d і радіусом кривизни y 410 Виразимо довжини дуг dx і x d через радіуси їх кривизни і кут d : d dx , d y x d Враховуючи те, що деформація волокна нейтрального шару відсутня, відносне подовження довільного волокна можна знайти як: y d d d y dx dx x d (5.48) Аналогічну залежність можна отримати для волокон, що знаходяться з протилежного боку від нейтрального шару і зазнають деформації стиску. В цьому випадку будемо мати від’ємне значення Знаючи відносну деформацію, можна застосувати закон Гука і знайти нормальні напруження, діючі в перерізі на відстані y від нейтрального шару: y E E (5.49) Наведена залежність визначає лінійний закон розподілу напружень по перерізу балки в площині її згину. Тобто, нормальні напруження в поперечному перерізі вигнутої балки прямо пропорційні відстані від точок, що розглядаються, до нейтральної осі. Найбільшого значення нормальні напруження досягають в найбільше віддалених точках перерізу від нейтральної осі. Цілком зрозуміло, що для розтягнутих волокон це будуть напруження розтягу, а для стиснутих – стиску. В точках нейтральної осі x (при 0 y ) напруження дорівнюють нулю (рис. 5.32). Знаючи закон розподілення нормальних напружень, можна визначити їх значення в залежності від внутрішнього згинаючого моменту. 411 Рис. 5.32 Для знаходження зв’язку між нормальними напруженнями і внутрішніми силовими факторами в площі поперечного перерізу виділимо елементарну площу dA на відстані y від нейтральної осі x (рис. 5.32). Тоді елементарна внутрішня нормальна сила, що діє на цій площі, дорівнює: dA y E dA dN Складемо рівняння рівноваги для відсіченої частини балки, на яку діє зовнішній момент М і сума елементарних внутрішніх зусиль dN Інтегруючи dN по перерізу, отримаємо два рівняння рівноваги: A A A A n 1 k kx 0 dA y E dA y E dA dN , 0 P , (5.50) A n 1 k k z 0 dN y M , 0 P m (5.51) 412 В рівнянні (5.50) складова A z S dA y є статичним моментом площі перерізу відносно осі z (нейтральної осі). Відношення 0 E , тому 0 S z , а це означає, що при згині нейтральна вісь проходить через центр ваги поперечного перерізу. Розглянемо друге рівняння рівноваги (5.51). Так як при чистому згині згинаючий момент в поперечному перерізі дорівнює зовнішньому моменту M М z , то A 2 A A A z dA y E dA y E y dA y dN y M , або z z I E M , (5.52) де A 2 z dA y I – момент інерції поперечного перерізу відносно нейтральної осі z – геометрична характеристика перерізу. Формулу (5.52) можна записати у вигляді z z I E M 1 (5.53) Величини, що входять у вираз (5.53) називаються: 1 – кривізною вигнутої осі балки, z I E – жорсткістю поперечного переріза при згині. Таким чином, при згині кривізна осі балки прямо пропорційна згинаючому моменту z M і обернено пропорційна жорсткості балки z I E , яка залежить від форми поперечного перерізу і матеріалу балки. Так як для балки постійного поперечного перерізу при чистому згині 413 const M z , const I E z , то const I E M 1 z z Тобто, у випадку чистого згину балки з постійним поперечним перерізом її вигнута вісь є дугою кола з радіусом Знайдемо залежність напруження від згинаючого моменту z M Для цього у співвідношення (5.49) замість 1 підставимо його значення із формули (5.53): z z z z J y M J E M y E y E (5.54) В точках перерізу, найбільше віддалених від нейтральної осі (при max y y ), напруження будуть максимальними: z max z max J y M , (5.55) або z z max W M , (5.56) де max z z y / J W – осьовий момент опору поперечного перерізу балки. Осьовий момент опору перерізу z W являється його геометричною характеристикою (як осьовий момент інерції z I , статичний момент площі z S і т.п.). Для балки прямокутного перерізу із шириною b і висотою h : 6 h b h 12 h b 2 W 2 3 z (5.57) 414 Для балки круглого поперечного перерізу із діаметром d : 32 d d 64 d 2 W 3 4 z (5.58) Для балки кільцевого перерізу із зовнішнім D і внутрішнім d діаметрами: D 32 ) d D ( D 64 ) d D ( 2 W 4 4 4 4 p (5.59) Рис. 5.33 Закон розподілення по перерізу нормальних напружень за формулою (5.56), дозволяє зробити висновок, що раціональними будуть ті перерізи, які мають найбільший момент опору при найменшій площі. До таких перерізів відносяться двотаври, таври, швелери, труби, в яких максимальне навантаження сприймають найбільше віддалені від нейтральної лінії шари матеріалу. Порівняно з ними балки із суцільним круглим і прямокутним перерізами менш доцільні з точки зору економії матеріалу в рівних умовах навантаження (рис. 5.33). На завершення треба відмітити, що формула (5.56) виведена для 415 випадку чистого згину. Проте нею можна користуватись і у випадку прямого поперечного згину, коли в перерізах виникає не тільки згинаючий момент z M але і поперечна сила y Q . Поперечні сили, як показує практика і теоретичні дослідження, суттєво не впливають на нормальні напруження. § 22.6. Розрахунки на міцність при згині. Міцність при згині балки визначається по максимальним нормальним напруженням розтягу (стиску) в поперечному перерізі за умовою: с , р z z max W M , (5.60) де z М – максимальне значення згинаючого моменту в поперечних перерізах балки, яке визначається із епюри згинаючих моментів, с , р – допустиме нормальне напруження розтягу або стиску. Згідно умови міцності (5.60) можна виконати три види розрахунків: проектний, перевірний і на визначення допустимого навантаження. Слід зауважити, що при проведенні проектних розрахунків для балок стандартного профілю визначається величина осьового моменту опору перерізу z W : z z M W , а розміри відповідного профілю балки (його номер) вибирається по найбільшому ближчому значенню z W із стандартних таблиць сортового прокату. 416 § 22.7. Дотичні напруження при згині В загальному випадку плоского згину в поперечних перерізах балки крім згинаючого моменту z M існує також поперечна сила y Q . При цьому в точках перерізу виникають не тільки нормальні напруження , але і дотичні напруження Дотичні напруження є наслідком деформації зсуву волокон балки і діють як у поперечному напрямку, так і вздовж волокон. Наявність дотичних напружень в поздовжніх перерізах пояснює факт утворення в дерев’яних балках при поперечному згині поздовжніх тріщин (рис. 5.34). Рис. 5.34 Вперше формула для визначення дотичних напружень при поперечному згині балок прямокутного перерізу була виведена у 1885 р. російським інженером, проф. Д.І. Журавським. Необхідність в такій формулі була викликана широким застосуванням на той час дерев’яних конструкцій, які погано працюють на сколювання вздовж волокон. Визначимо приблизну величину дотичних напружень при згині балки прямокутного профілю h b . Для цього виділимо елемент балки, довжиною dx двома поперечними перерізами m m і n n , в яких відповідно діють згинаючі моменти z M і z z dM M (рис. 5.35). 417 Рис. 5.35 На відстані y від нейтральної осі проведемо поздовжній переріз і розглянемо рівновагу елементарного паралелепіпеду m n mn , що має розміри y 2 h dx b Рівнодіючу нормальних внутрішніх сил, діючих на грань m m , позначимо через 1 N , а діючих на грань n n – через 2 N . Відповідно до цього введемо позначення змінних нормальних напружень в цих гранях – 1 і 2 Якщо dA – елементарний шар із змінним значенням відстані y до нейтральної осі, тоді A 1 A A z z z 1 z 1 1 dA y I M dA I y M dA N , A 1 A A z z z z 1 z z 2 2 dA y I dM M dA I y dM M dA N 418 Припустимо, що дотичні напруження по ширині b перерізу розподілені рівномірно. В такому разі дотичне зусилля dT , що діє на грань mn елементу, дорівнює: dx b dT Запишемо рівняння рівноваги елементарного паралелепіпеда m n mn : 0 dT N N , 0 P 1 2 n 1 k kx , Підставивши в це рівняння знайдені величини зусиль, отримаємо: 0 dx b dA y I M dA y I dM M A 1 z z A 1 z z z Складова y S dA y z A 1 – це статичний момент площі перерізу, який знаходиться між горизонтальним шаром рівня y і поверхнею балки. В результаті останній вираз можна записати як: z z z I y S dM dx b Враховуючи, що згідно теореми Журавського y z Q dx dM , остаточно отримаємо формулу Журавського: z z y I b y S Q (5.61) Тобто, дотичні напруження в поперечному перерізі балки дорівнюють добутку поперечної сили y Q на статичний момент площі y S z відносно нейтральної осі частини перерізу, що лежить вище від розглянутого шару волокон, поділеному на момент інерції z I всього перерізу відносно нейтральної осі і на ширину b розглянутого перерізу. 419 Для балки прямокутного перерізу h b статичний момент відсіченої частини площі змінюється за висотою у квадратичній залежності: 2 2 2 2 2 z h y 4 1 8 h b y 4 h 2 b y 2 h 2 1 y 2 h b y S Тому дотичні напруження в прямокутному перерізі також змінюються за висотою згідно із законом квадратичної параболи: 2 2 y 3 2 2 2 y h y 4 1 h b Q 2 3 12 h b b h y 4 1 8 h b Q , (5.62) де 12 h b I 3 z – осьовий момент інерції прямокутного перерізу балки. При цьому на поверхні балки і у волокнах нейтрального шару дотичні напруження відповідно будуть дорівнювати: при 0 2 h y , при A Q 2 3 h b Q 2 3 0 y y y max Закон розподілу дотичних напружень балки прямокутного перерізу представлений на рис. 5.36. Аналогічний розподіл дотичних напружень за висотою стінки має балка двотаврового перерізу. Таким чином, максимальні значення дотичних напружень виникають у волокнах нейтрального шару, там де нормальні напруження дорівнюють нулю. І навпаки – у волокнах, де нормальні напруження максимальні, дотичні напруження відсутні. Довготривалий досвід експлуатації балок показав, що найбільш небезпечними є розтягнені волокна на поверхні балки. Тому більшість балок розраховують тільки по нормальним напруженням. 420 Рис. 5.36 У разі необхідності можна провести перевірочний розрахунок по дотичним напруженням із умови міцності: z z y max I b y S Q (5.63) До балок, які треба перевіряти по дотичним напруженням, відносяться наступні. 1. Дерев’яні балки, тому що деревина погано працює на сколювання. 2. Вузькі балки (наприклад двотаврові), тому що максимальні дотичні напруження обернено пропорційні ширині нейтрального шару. 3. Короткі балки, тому що при відносно невеликих згинаючому моменті і нормальних напруженнях в таких балках можуть виникати значні поперечні зусилля і дотичні напруження. 421 Запитання для самоконтролю 1. Дайте визначення деформації чистого згину. Як її можна отримати? 2. Який згин називається поперечним? 3. Коли відбувається плоский або косий згин балки? 4. Які внутрішні силові фактори виникають при плоскому згині балок? 5. Чому дорівнює поперечна сила при згині? Сформулюйте правило знаків. 6. Як визначити згинаючий момент при згині? Сформулюйте правило знаків. 7. Опишіть послідовність побудови епюр поперечних сил і згинаючих моментів. 8. Які спостерігаються загальні закономірності в епюрах поперечних сил і згинаючих моментів? 9. Напишіть умову міцності балки при згині по нормальним напруженням. 10. Яка форма перерізу балки є найбільш оптимальною? 11. Напишіть формулу Журавського. 12. В яких випадках балку перевіряють на умову міцності по дотичним напруженням? |