Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 21.6. Умови міцності і жорсткості при крученні. Міцність при крученні вала визначається умовою: к p к W M , (5.46) де к М – максимальне значення крутного моменту в поперечних перерізах валу, яке визначається із епюри крутних моментів, к – допустиме дотичне напруження при крученні, яке для сталей дорівнює МПа 50 30 Умова жорсткості валу при крученні має вигляд: 180 GJ l М p к , (5.47) де – допустимий кут закручування, який приймають: м / град 0 , 1 25 , 0 Аналогічно розтягу (стиску) при крученні за умовами (5.46) і (5.47) можна виконати три види розрахунків: проектний, перевірний і на визначення допустимого навантаження. 388 Запитання для самоконтролю 1. Дайте визначення деформації зсуву. Як її можна отримати? 2. Які внутрішні сили і напруження виникають при деформації зсуву? 3. Сформулюйте закон Гука для зсуву. 4. Напишіть умову міцності на зріз. 5. Напишіть умову міцності на зминання. 6. Дайте визначення деформації кручення. Як її можна отримати? 7. Як визначити крутний момент при крученні валів? 8. Як будується епюра крутних моментів? 9. Які напруження виникають при крученні? 10. Що таке “чистий зсув”? 11. Напишіть умову міцності при крученні. 12. Напишіть умову жорсткості при крученні. 389 РОЗДІЛ 22 ЗГИН § 22.1. Види деформації згину Чистим згином називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає тільки один внутрішній силовий фактор – згинаючий момент зг М . Деформацію чистого згину можна отримати, наприклад, якщо до бруса в площинах, що проходять через його вісь, прикласти дві пари зовнішніх сил, які діють в протилежних напрямках і рівні за величиною (рис. 5.3 д). В більшості практичних задач до бруса, крім зовнішніх моментів, прикладені також поперечні сили, що приводить до виникнення в його поперечних перерізах відповідно двох внутрішніх силових факторів – згинаючого моменту зг М і поперечної сили Q . Такий згин називається поперечним (рис. 5.3 е). Але в любому випадку деформація згину бруса, пов’язана із скривленням його осі під дією пар сил або поперечних навантажень. Бруси, що працюють на згин, називають балками. За розташуванням прикладених навантажень на балку розрізняють плоский згин, коли всі зовнішні поперечні сили і пари сил розміщені в одній площині (така площина називається силовою), причому ця площина збігається з однією із головних площин перерізу. Головними називають площини, які проходять через вісь балки і одну із головних центральних осей поперечного перерізу. Випадки плоского чистого і плоского поперечного згину консольної балки показані відповідно на рис. 5.21 а, б. Якщо сили і пари сил діють в повздовжній площині, що проходить через вісь балки, але не співпадає ні з однією із головних площин, має 390 місце косий згин (рис. 5.21 в). Рис. 5.21 В інженерній практиці існують багато елементів конструкцій, які працюють на згин і можна розглядати як балку. Це не тільки будівельна балка, але також вали та осі машин, гвинти, болти та зуби зубчастих коліс шатун кривошипно – шатунного механізму та інші. При цьому в багатьох випадках балки задовольняють таким умовам: переріз балки має хоча б одну вісь симетрії, всі зовнішні сили, враховуючи і реакції опор, лежать в площині симетрії. Тобто, маємо випадок плоского згину балки, який викликає практичний інтерес і буде розглянутий далі. 391 § 22.2. Внутрішні силові фактори при плоскому згині балок При плоскому згині прямолінійної балки, як вже відмічалось, в загальному випадку виникають два внутрішніх силових фактори – згинаючий момент зг М і поперечна сила Q . Для їх визначення застосовують метод перерізів. Умовно балку розрізають на дві частини поперечним перерізом. Відкидають одну із частин балки, замінюють її дію на іншу внутрішніми силовими факторами, прикладеними до площини перерізу, і розглядають рівновагу частини, що лишилася під дією зовнішніх (в тому числі і реакцій опор) і внутрішніх навантажень (рис. 5.22). При цьому в розглянутому випадку плоского поперечного згину поперечна сила Q і згинаючий момент зг М , як і зовнішні навантаження, розташовані у вертикальній площині, що проходить через вісь x балки. Позначимо їх відповідно до напрямку дії через y Q , і z М . Рис. 5.22 392 Для отриманої системи сил, прикладених для правої або лівої частини балки, із загальних шести рівнянь рівноваги (5.1) можна використати тільки два, з яких і визначаються внутрішні силові фактори y Q і z М : n 1 k ky 0 P , n 1 k k z 0 P m В результаті поперчна сила y Q , яка виникає в поперечному перерізі, чисельно буде дорівнювати алгебраїчній сумі проекцій на вісь y усіх зовнішніх сил, розміщених по один бік від перерізу. Знак поперечної сили y Q визначається за таким правилом. Поперечна сила в перерізі вважається додатною, якщо зовнішня сила намагається зсунути ліву від перерізу частину балки відносно правої вгору, або праву відносно лівої вниз, і від’ємною, коли навпаки (рис. 5.23 а). Рис. 5.23 Згинаючий момент z М в перерізі чисельно буде дорівнювати алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил і зовнішніх моментів пар сил, розташованих по один бік перерізу, відносно головної центральної осі z цього перерізу. 393 Знак згинаючого моменту z М визначають за наступним правилом. Згинаючий момент вважається додатним, якщо зовнішня сила чи момент, що спричиняють згин, згинають балку так, що стиснуті волокна знаходяться вгорі балки, і від’ємним, якщо стиснуті нижні волокна балки (рис. 5.23 б). Слід нагадати, що величина згинаючого моменту z М в довільному поперечному перерізі від окремої зовнішньої сили визначається як добуток цієї сили на найкоротшу відстань від лінії дії сили до перерізу (плече сили): x P М z , а від окремого зовнішнього моменту М – самому моменту: М М z При цьому необхідно враховувати вищенаведене правило знаків. § 22.3. Побудова епюр поперечних сил і згинаючих моментів Для відображення закономірностей зміни величин y Q і z М вздовж осі балки і визначення їх максимальних і мінімальних значень будують епюри поперечних сил і згинаючих моментів. При цьому використовують метод перерізів і послідовно знаходять величини y Q і z М в кожному характерному перерізі балки. До характерних відносяться ті перерізи, в яких прикладені зосереджені сили або моменти, а також перерізи, де починається або закінчується розподілене навантаження. В загальному випадку послідовність побудови епюр наступна: 1. Складають рівняння рівноваги балки і визначають її опорні реакції, які відносять до зовнішніх сил. 2. Характерними перерізами балку розбивають на окремі ділянки, в 394 межах яких значення y Q і z М змінюються за одним законом. Першу ділянку вибирають або з правого, або з лівого боку балки, але так, щоб на відсічену частину балки діяла мінімальна кількість зовнішніх навантажень. 3. На кожній ділянці беруть довільний переріз на відстані x від початку побудови епюри і складають рівняння для поперечних сил y Q і згинаючих моментів z М як функції абсциси x , тобто ) x ( f Q y і ) x ( f М z 4. За отриманими виразами обчислюють ординати епюр для характерних перерізів (характерних точок). 5. Відповідно отриманим значенням y Q і z М будують епюри у вибраному масштабі, відкладаючи від базової лінії, що паралельна осі балки, додатні величини вгору, а від’ємні – вниз. 6. Визначають перерізи, в яких діють максимальні y Q і z М і вираховують значення цих величин, якщо вони ще обчислені. Розглянемо деякі характерні приклади побудови епюр поперечних сил і згинаючих моментів. Розглянемо спочатку жорстко защіплені одним кінцем консольні балки. Характерною особливістю таких балок є те, що для них відпадає необхідність знаходити опорні реакції, якщо починати будувати епюри з вільного кінця балки. Приклад Консольна балка навантажена зосередженою парою сил, з моментом М (рис. 5.24). Балка має одну ділянку АВ довжиною l . Будуємо епюри зправа наліво від точки В , розглядаючи рівновагу правої частини балки. 395 Рис. 5.24 В довільному перерізі на відстані x від точки B значення функцій ) x ( Q y і ) x ( М z будуть наступними: 0 ) x ( Q y (не залежить від x ), М ) x ( М z (не залежить від x ). В цьому випадку у всіх перерізах балки, поперечна сила дорівнює нулю, тому що сума проекцій моменту пари сил на любу вісь дорівнює нулю. Згинаючий момент у цих перерізах має постійне додатне значення і дорівнює зовнішньому моменту. Епюри поперечних сил і згинаючих моментів показані на рис. 5.24. При такому навантаженні спостерігається чистий згин балки і, як видно із епюри, значення z М дорівнює також моменту в опорі балки. 396 Приклад Консольна балка навантажена зосередженою силою P , яка прикладена до вільного кінця балки (рис. 5.25). Рис. 5.25 Балка має лише одну ділянку АВ довжиною l . Будуємо епюри зправа наліво, взявши за початок відліку абсциси x точку В Розглянувши рівновагу правої частини балки, визначаємо функції ) x ( М z і ) x ( Q y на довжині l x 0 : P ) x ( Q y (не залежить від x ), x P ) x ( М z Як видно з рівнянь, поперечні сили мають постійне додатне значення на всій довжині балки, а функція згинаючого моменту ) x ( М z лінійна із 397 значеннями в характерних перерізах: при 0 x (переріз B ): 0 0 P M B , при l x (переріз A ): l P M A За отриманими даними будуємо епюри поперечних сил і згинаючих моментів (рис. 5.25). Максимальним згинаючий момент буде в точці B Приклад На консольну балку діє рівномірно розподілене по всій її довжині навантаження інтенсивності q м кН (рис. 5.26). Рис. 5.26 398 Балка має одну ділянку АВ довжиною l . Будуємо епюри справа наліво, прийнявши за початок відліку x точку В Розглянувши рівновагу правої частини балки, визначаємо функції ) x ( М z і ) x ( Q y на довжині l x 0 : x q ) x ( Q y , 2 qx 2 x qx ) x ( М 2 z Тобто, поперечна сила ) x ( Q y змінюється за законом прямої, а згинаючий момент ) x ( М z – за законом квадратичної параболи. Для побудови епюри поперечних сил достатньо визначити ординати у двох характерних перерізах: при 0 x (переріз B ): 0 0 q Q В , при l x (переріз A ): l q Q А Враховуючи, що епюра згинаючих моментів має криволінійний закон зміни, для її побудови визначимо ординати в трьох поперечних перерізах: при 0 x (переріз B ): 0 M B , при 2 l x (переріз С ): 8 ql M 2 A , при l x (переріз A ): 2 ql M 2 A За отриманими даними будуємо епюри поперечних сил і згинаючих моментів (рис. 5.26). Бачимо, що ) x ( Q y і ) x ( М z змінюються від нуля в перерізі B до максимального значення в перерізі А Перейдемо до розгляду балок, для яких при побудові епюр поперечних сил і згинаючих моментів без попереднього визначення опорних реакцій обійтись неможливо. Це балки на двох опорах. 399 Приклад Двохопорна балка навантажена зосередженою силою P , яка прикладена між опорами (рис. 5.27). Рис. 5.27 Спочатку визначимо опорні реакції. . l Pa R , 0 l R a P , 0 P m , l Pb R , 0 b P l R , 0 P m B B n 1 k k А A A n 1 k k В Виконуємо обов’язково перевірку правильності визначення реакцій: 0 P R R , 0 P B A n 1 k ky 400 В даному випадку балка має дві ділянки АС і СВ із точкою С на їх границі. Будуємо епюри зліва направо, прийнявши за початок відліку x точку А Розглядаємо рівновагу лівої частини балки. На першій ділянці АС в межах значень a x 0 для довільного переріза I I : l Pb R ) x ( Q A 1 y (не залежить від x ), x l Pb x R ) x ( М A 1 z Тобто, на першій ділянці поперечні сили ) x ( Q 1 y однакові у всіх перерізах і дорівнюють додатному значенню реакції в опорі A , їх епюра має вигляд горизонтальної прямої. Епюра згинаючих моментів ) x ( М 1 z змінюється за законом прямої із значеннями в характерних перерізах: при 0 x (переріз A ): 0 M A , при a x (переріз C ): l Pab M B На другій ділянці СB в межах значень l x a для довільного переріза II II : l Pa l b l P P l Pb P R ) x ( Q A 11 y (не залежить від x ), ). x l ( l Pa ) la ax ( l P ) la lx bx ( l P ) a x ( P x l Pb ) a x ( P x R ) x ( М A 11 z В даному випадку функції ) x ( М 11 z і ) x ( Q 11 z простіше було визначати при побудові епюри на цій ділянці зправа наліво (тобто, при розгляданні рівноваги правої частини балки із застосуванням координати довільного 401 переріза x в напрямку від точки В до точки А ): l Pa R ) x ( Q B 11 y (не залежить від x ), ) x l ( l Pa ) x l ( R x R ) x ( М B B 11 z Як бачимо, в обох випадках результат отримали однаковий. На другій ділянці поперечні сили ) x ( Q 11 y також постійні за величиною, але мають від’ємне значення реакції в опорі В . Згинаючі моменти ) x ( М 11 z змінюється за законом прямої, значення яких в характерних перерізах дорівнюють: при a x (переріз С ): l Pab ) a l ( l Pa M С , при l x (переріз B ): 0 ) l l ( l Pa M B В результаті отримаємо епюри, які представлені на рис. 5.27. Можна побачити, що при a x функція ) x ( Q y має стрибок на величину зовнішньої сили P , а функція ) x ( М z в цьому перерізі має злам і максимальне значення. Приклад Двохопорна балка навантажена зосередженою парою сил, із моментом М (рис. 5.28). Спочатку визначимо опорні реакції. . l М R , 0 l R М , 0 P m , l М R , 0 М l R , 0 P m B B n 1 k k А A A n 1 k k В Виконуємо обов’язково перевірку правильності визначення реакцій: 402 0 R R , 0 P B A n 1 k ky Отримане від’ємне значення реакції А R вказує на те, що в дійсності вона направлена не вгору, як це було прийнято на початку розрахунків, а вниз. Змінюємо напрямок А R на розрахунковій схемі балки на протилежний і приймаємо його значення додатним. Рис. 5.28 Балка має дві ділянки АС і СВ із точкою С на їх границі. Будуємо епюри зліва направо, прийнявши за початок відліку x точку А Розглядаємо рівновагу лівої частини балки. На першій ділянці АС в межах значень a x 0 для довільного переріза I I : 403 l М R ) x ( Q A 1 y (не залежить від x ), x l М x R ) x ( М A 1 z На другій ділянці СB в межах значень l x a для довільного переріза II II : l М R ) x ( Q А 11 y (не залежить від x ), ). x l ( l M x l M l Ml М x l М М x R ) x ( М A 11 z Аналогічні результати отримаємо, якщо розглядати рівновагу правої частини балки і будувати епюру зправа наліво на цій ділянці: l М R ) x ( Q В 11 y (не залежить від x ), ). x l ( l M x l М x R ) x ( М В 11 z Із цих виразів видно, що поперечні сили ) x ( Q y у всіх перерізах балки на обох ділянках мають однакове від’ємне значення. Функція згинаючого моменту ) x ( М z має лінійний характер і в характерних перерізах обох ділянок набуває наступні значення (при побудові епюри зліва направо): на першій ділянці АС ( a x 0 ) при 0 x (переріз A ): 0 M A , при a x (переріз C ): l Ma M B , 404 на другій ділянці СB ( l x a ) при a x (переріз С ): М l Мa M С , при l x (переріз B ): 0 М ) l l ( l Мa M B Епюри поперечних сил і згинаючих моментів, побудовані по отриманим значенням, показані на рис. 5.27. Бачимо, що функція ) x ( Q y являє собою пряму, яка паралельна поздовжній осі балки і дорівнює по величині від’ємному значенню опорних реакцій. Функція ) x ( М z в місці дії зовнішнього моменту М (при a x ) має стрибок на величину цього моменту. При цьому кут нахилу прямих, що обмежують епюру ) x ( М z до і після стрибка не змінюється (тобто ці прямі паралельні одна одній). Максимальне значення епюра згинаючих моментів має в місці дії зовнішнього моменту. Приклад На двохопорну балку діє рівномірно розподілене по всій її довжині навантаження інтенсивності q м кН (рис. 5.29). Визначаємо опорні реакції балки. Для цього зводимо розподілене навантаження до зосередженого ql , яке прикладене посередині його розподілення м , 2 l , і з рівнянь рівноваги для всієї балки отримаємо: . 2 ql R , 0 l R 2 l ql , 0 P m , 2 ql R , 0 2 l ql l R , 0 P m B B n 1 k k А A A n 1 k k В Отримані результати в даному випадку очевидні, так як зосереджене 405 навантаження ql прикладене посередині балки і тому його дія сприймається опорами A і B в рівній мірі: 2 ql R R B A Але в інших випадках, коли навантаження розподілене тільки на частині довжини балки, B A R R і тоді необхідно провести перевірку правильності визначення реакцій: 0 ql R R , 0 P B A n 1 k ky Рис. 5.29 Переходимо до побудови епюр поперечних сил і згинаючих моментів. Балка має одну ділянку АВ довжиною l . Будуємо епюри зліва направо, прийнявши за початок відліку x точку А 406 Розглянувши рівновагу лівої частини балки, визначаємо функції ) x ( М z і ) x ( Q y на довжині l x 0 : qx 2 ql x q R ) x ( Q A y , 2 qx x 2 ql 2 x qx x R ) x ( М 2 A z Із отриманих рівнянь бачимо, що поперечна сила ) x ( Q y змінюється за лінійним законом, а згинаючий момент ) x ( М z – за законом квадратичної параболи. Для побудови епюри поперечних сил достатньо визначити ординати у двох характерних перерізах: при 0 x (переріз A ): 2 ql Q А при l x (переріз B ): 2 ql Q В , Враховуючи, що епюра згинаючих моментів має криволінійний закон зміни, для її побудови визначимо ординати в трьох поперечних перерізах: при 0 x (переріз A ): 0 M A при 2 l x (переріз С ): 8 ql M 2 A , при l x (переріз B ): 0 M B На побудованих епюрах можна побачити, що функція ) x ( Q y змінюється прямолінійно від максимального значення в опорі А до від’ємного в опорі В , а в центрі розподіленого навантаження дорівнює нулю. Згинаючі моменти, навпаки, в опорах А і В дорівнюють нулю і збільшуються в квадратичній залежності до максимального значення в центрі дії розподіленого навантаження (переріз С ). |