Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 14.5. Зведення сил інерції точок твердого тіла до центра. Головний вектор і головний момент сил інерції Тверде тіло – це механічна система матеріальних точок, у якій взаємне розташування точок не змінюється. Головний вектор системи сил інерції окремих точок не залежить від вибору центра зведення і може бути обчислений заздалегідь: k k к a m Ф – сила інерції к-тої точки. c k k k k a M a m a m Ф ; (3.123) де M – маса тіла (системи), c a – прискорення центра мас системи або центра ваги тіла. n c c c a a a Тоді n n c c n c c Ф Ф a M a M a a M Ф Головний вектор сил інерції тіла, яке рухається довільно, дорівнює добутку маси тіла на прискорення його центра мас і спрямований протилежно вектору прискорення. Головний момент сил інерції залежить від вибору центра зведення і визначається для окремих випадків руху твердого тіла. 271 а) Поступальний рух тіла При поступальному русі тіла відсутнє обертання тіла навколо центра ваги (центра мас), тобто сума головного моменту активних сил і головного моменту реакцій в’язей відносно центра ваги (центра мас системи) дорівнює нулю: 0 R c P c M M Але відомо, що згідно принципу Д’Аламбера, можна записати: 0 ф c R c P c M M M Оскільки 0 ф c M при поступальному русі тіла, тобто головний момент сил інерції відсутній, то головний вектор сил інерції є рівнодійною сил інерції. б) Обертальний рух тіла навколо нерухомої осі Якщо тіло обертається навколо осі, то нормальні (відцентрові) сили інерції не створюють моментів відносно осі (вони перетинають вісь обертання), а тангенціальні сили інерції створюють сумарний момент. Як відомо, кожна точка k m обертового тіла, яка розміщена на деякій відстані k r , створює елементарну тангенціальну складову сили інерції k k k r m Ф , як добуток маси на тангенціальне прискорення. Просумуємо цю силу по всіх точках тіла і отримаємо сумарну тангенціальну силу інерції: c c k k k k k a M r M r m r m Ф Ф (3.124) Тангенціальна сила інерції тіла прикладена в центрі мас тіла і спрямована протилежно тангенціальному прискоренню центра мас, що і підкреслює знак мінус у виразі (3.124). 272 Крім того, тангенціальні сили інерції точок створюють моменти відносно осі обертового тіла, оскільки вони перпендикулярні радіусам обертання, а тому радіус k r є плечем кожної сили. Просумуємо ці моменти по всіх точках тіла: z k k k k k k k k z ф z I r m r r m r Ф Ф M M 2 z ф z I M , (3.125) де z I – осьовий момент інерції маси тіла відносно осі обертання, – кутове прискорення. Момент сил інерції обертового тіла дорівнює добутку моменту інерції маси тіла відносно осі обертання на кутове прискорення тіла. Напрямок моменту інерціальних сил – протилежний напрямку кутового прискореня. Головний момент сил інерції (3.125) виникає, як і головний вектор тангенціальних сил (3.124), тільки у перехідних режимах руху (розгін, гальмування). В деяких випадках головний вектор сил інерції і головний момент сил інерції можна замінити однією силою – рівнодійною, прикладеною в центрі коливання k (рис. 3.30). Рис. 3.30 273 Приклад Стержень масою m і довжиною l обертається з кутовим прискоренням навколо осі z в точці О, яка перпендикулярна площині рисунка. Знайти точку пркладення рівнодійної головного вектора і головного момента сил інерції. Розв’язання Тангенціальна сила інерції дорівнює: 2 l m r m ma Ф c c Момент сил інерції: 3 2 0 0 ml I M z ф z Тоді відстань від точки О до точки k , де прикладається сумарна сила, виражається величиною l l m ml Ф M b ф z 3 2 3 2 2 0 в) Плоскопаралельний рух тіла Плоскопаралельний рух твердого тіла може бути розкладений на суму двох рухів: поступальний разом з полюсом і обертальний відносно полюса. За полюс, як правило, обирають центр мас точку С. Припустимо що, стержень АВ масою m рухається у площині малюнка (рис. 3.31). При цьому центр С має прискорення c a , а кутове прискорення стержня - Тоді головний вектор сил інерції і головний момент сил інерції відповідно дорівнюють: 274 c c a m Ф , zc ф c I M , (3.126) де zc I – осьовий момент інерції маси стержня відносно осі z, яка перпендикулярна до площини руху і проходить через центр мас. Рис. 3.31 Запитання для самоконтролю 1. Визначте поняття “сили інерції”. 2. Як формулюється принцип Д’Аламбера для матеріальної точки? 3. Якою є умова невагомості? 4. Який зв’язок між основними теоремами динаміки і силами інерції, а також моментами сил інерції тіла? 5. Напишіть формулу зведеного моменту сил інерції тіла, що обертається навколо нерухомої осі? 6. Чому сили інерції вважаються фіктивними, а принцип Д’Аламбера - формальним? 7. Як звести до рівнодійної сили інерції точок тіла, яке рухається поступально? 8. Як звести до відповідних силових факторів сили інерції точок тіла, що обертається навколо осі, рухається плоскопаралельно? 342 ЧАСТИНА V. ОПІР МАТЕРІАЛІВ РОЗДІЛ 19 ВИЗНАЧЕННЯ. ПОНЯТТЯ ПРО ВНУТРІШНІ СИЛОВІ ФАКТОРИ § 19.1. Основні положення Опір матеріалів – це наука про теоретичні і експериментальні методи дослідження елементів машин, конструкцій і споруд на міцність, жорсткість і стійкість. Під міцністю розуміють здатність матеріалу конструкції і її елементів витримувати прикладене певне навантаження без руйнування. Розрахунки на міцність конструкції в опорі матеріалів дають можливість визначити оптимальні поперечні розміри її елементів, що витримують задане навантаження, при мінімальних витратах матеріалу. Проте міцність конструкції ще не гарантує її надійність в цілому. Конструкція може не руйнуватись, але деякі її елементи під дією зовнішнього навантаження можуть так деформуватись, що подальше її використання стає неможливим. Отже конструкцію необхідно розраховувати і на обмеження деформації, тобто проводити розрахунки на жорсткість. Жорсткістю називають здатність елемента конструкції протидіяти зовнішнім силам з точки зору допустимих розмірів і форми, тобто деформації. Деякі елементи конструкцій мають особливу форму і працюють під дією характерних навантажень, наприклад тонкі і довгі стержні при стиску. Такі конструкції під навантаженням без будь – яких зовнішніх причин 343 раптово втрачають свою рівновагу (стійкість), викривляються і швидко руйнуються. При цьому втрата стійкості відбувається при навантаженнях, значно менших від отриманих із розрахунків на міцність і жорсткість. Тому такі конструкції та їх елементи необхідно спеціально розраховувати на стійкість. Під стійкістю розуміють здатність елементів конструкції зберігати положення рівноваги під дією зовнішніх сил. Отже, опір матеріалів надає загальні методики інженерних розрахунків несучих елементів машин, конструкцій і споруд на міцність, жорсткість і стійкість для забезпечення їх надійної роботи при мінімальній матеріаломісткості. Розглянемо поняття внутрішніх сил і пружної деформації. Як відомо, довільне тіло складається з молекул і атомів, між якими існують сили взаємного притягнення і відштовхування. Внаслідок наявності цих сил тверді тіла намагаються зберегти свою форму як єдине ціле. При деформації тіла від зовнішніх навантажень (при зміні його розмірів і форми) в результаті зміни взаємодії частинок всередині тіла виникають сили, які протидіють цій деформації. Сили зміни внутрішньої взаємодії між частинками тіла, що протидіють його деформації від зовнішнього навантаження і намагаються повернути його розміри і форму в початковий стан називаються внутрішніми силами. Деформація, яка повністю зникає після припинення дії зовнішнього навантаження, називається пружною. Деформація, що лишається після припинення дії зовнішніх сил, називається пластичною (або залишковою). Виникнення значних залишкових деформацій, як правило, порушує нормальну роботу деталі чи елемента конструкції і тому в опорі матеріалів мають справу переважно із пружними деформаціями. 344 § 19.2. Основні гіпотези і припущення в опорі матеріалів Для спрощення розрахунків в опорі матеріалів приймають деякі гіпотези і припущення що до структури і властивостей матеріалів, характеру деформацій, діючих сил і геометрії конструкцій. 1. Гіпотеза про суцільність матеріалу. Тіло вважається суцільним, (тобто неперервним) як до деформації, так і після деформації (без порожнин і розривів). 2.Гіпотеза про однорідність і ізотропність матеріалу. Вважається, що властивості тіла в будь-якій точці і в будь-якому напрямку однакові. 3. Гіпотези плоских перерізів. Плоскі перерізи, проведені в тілі до деформації, залишаються плоскими і після деформації. Вони залишаються нормальними до осі стержня в процесі деформації. Ця гіпотеза справедлива для тіл з довжиною, що перевищує його поперечні розміри (стержень, брус). 4. Гіпотеза ідеальної пружності. Вважається, що матеріали мають властивість повністю відновлювати свою первинну форму і розміри тіл після припинення дії зовнішніх сил. 5. Принцип Сен-Венана. В точках тіла, достатньо віддалених від місця прикладання зовнішніх сил, внутрішні зусилля дуже мало залежать від способу прикладання цих сил. Такий принцип дозволяє замінити одну систему сил статично їй еквівалентною (переміщення сил з верхньої частини балки на нижню, заміна зосередженої сили на групу розподілених і навпаки). 6. Принцип незалежності дії сил (суперпозиції). Ефект від суми впливу дорівнює сумі ефектів від окремого впливу. Згідно з цим принципом переміщення, внутрішні сили і деформації навантаженого тіла вважають незалежними від порядку прикладання сил. 345 § 19.3. Метод перерізів. Внутрішні силові фактори і основні види деформацій Зовнішні сили, що діють на тіло, як зазначалося, викликають в ньому виникнення внутрішніх сил, які намагаються протидіяти деформації. Для визначення цих внутрішніх сил в перерізах тіла використовують метод перерізів. Тіло умовно розсікають площиною на дві частини (рис. 5.1 а). Далі одну із частин тіла відкидають, замінюють її дію на іншу внутрішніми силами, прикладеними в площині перерізу, і розглядають рівновагу частини, що лишилася під дією зовнішніх і внутрішніх сил. Рис. 5.1 346 Таким чином, зовнішні сили, прикладені до залишеної частини тіла, врівноважуються внутрішніми силами, діючими в площині переріза тіла (рис. 5.1 б). Це дозволяє скласти для любої з двох частин тіла (наприклад частини А) в загальному випадку шість рівнянь рівноваги: n 1 k kz n 1 k ky n 1 k kx , 0 P , 0 P , 0 P n 1 k k z n 1 k k y n 1 k k x . 0 P m , 0 P m , 0 P m (5.1) Дані рівняння дозволяють визначити статичний еквівалент системи внутрішніх сил, тобто знайти головний вектор і головний момент системи внутрішніх сил (рис. 5.1 в). Рис. 5.2 347 В загальному випадку із шести рівнянь рівноваги в поперечному перерізі тіла визначаються шість складових внутрішніх сил: три сили z N , x Q , y Q – складові головного вектора, напрямлені вздовж координатних осей, і три моменти x M , y M , z M – складові головного моменту внутрішніх сил (рис. 5.2). Вказані шість складових внутрішніх сил називаються внутрішніми силовими факторами, діючими в перерізі тіла. Кожна з цих складових має свою назву і позначення: x N – поздовжня (нормальна) сила N , y Q , z Q – поперечні сили Q , x M – крутний (скручуючий) момент к М , y M , z M – згинаючі (згинальні) моменти зг М Складові внутрішніх силових факторів залежать від характеру навантаження тіла і характеру його деформації (деформованого стану). При різних видах деформації в поперечному перерізі будуть виникати різні внутрішні силові фактори. Розглянемо окремі випадки простих деформацій (простого деформованого стану) тіла, коли в його поперечному перерізі виникає лише один внутрішній силовий фактор: 1. Деформація розтягу (або стиску), коли в поперечному перерізі виникає внутрішній силовий фактор – поздовжня сила N , напрямлена по поздовжній осі тіла. Такої деформації зазнають стержні, троси, штоки двигунів, навантажені зовнішніми силами вздовж їх осей (рис. 5.3 а, б). 2. Деформація зсуву або зрізу, коли в поперечному перерізі виникає внутрішній силовий фактор – поперечна сила Q , що лежить в площині перерізу. Така деформація спостерігається в болтах, клепках, зварних 348 швах, де зовнішні сили діють паралельно і протилежно напрямлено, зміщуючи плоскі перерізи елементів з’єднання один відносно одного (рис. 5.3 в). 3. Деформація кручення, коли в поперечному перерізі виникає внутрішній силовий фактор – крутний момент к М , який паралельний цій площині. Таку деформацію маємо, наприклад, у валах, де зовнішні сили утворюють моменти, що діють перпендикулярно до осі вала (рис. 5.3 г). Рис. 5.3 349 4. Деформація чистого згину. При цьому в поперечному перерізі перпендикулярно до нього виникає один внутрішній силовий фактор – згинаючий момент зг М , що врівноважує дію зовнішніх згинаючих моментів. Деформація чистого згину можна отримати від дії на стержень зовнішніх згинаючих моментів (рис. 5.3 д). При цьому слід зауважити, що в таких конструкціях може відбуватися деформація поперечного згину, коли в поперечному перерізі виникає одночасно два внутрішніх силових фактора – згинаючий момент зг М , і поперечна сила Q від дії зовнішніх моментів і зовнішніх сил. Деформація згину спостерігається в балках (рис. 5.3 е), осях, зубцях зубчастих коліс, тощо. Більш докладно деформація згину буде розглянута пізніше. Випадки одночасної дії в поперечних перерізах тіла декількох внутрішніх силових факторів відносять до складних видів деформованого стану тіла, при якому має місце поєднання основних видів деформації (наприклад, згин з крученням, кручення і розтяг і т. ін.). § 19.4. Поняття про напруження Метод перерізів дозволяє визначити внутрішні силові фактори в будь – якому перерізі тіла при дії на нього зовнішнього навантаження. Але при цьому неможливо встановити закон розподілу внутрішніх сил в самому перерізі. Тому для визначення характеру розподілу внутрішніх сил по площині перерізу введено поняття напруження. Напруження – це значення внутрішніх сил, що приходяться на одиницю площі перерізу тіла. Виходячи із положення, що внутрішні сили діють безперервно по 350 всьому перерізу, виділимо в поперечному перерізі тіла площу А з рівнодійною внутрішніх сил R . При зведенні цієї площі до точки при 0 А , елемент площі dA буде настільки малим, що внутрішні сили на ньому будуть однаковими за величиною і напрямком, їх рівнодійна R d буде проходити через центр dA, а рівнодійний момент дорівнюватиме нулю. При цьому проекції рівнодійної R d на нормаль і дотичні напрямки координатних осей відповідно дадуть, як вже відомо, елементарні зусилля: dN , x dQ , y dQ (рис. 5.4). Рис. 5.4 Тоді повне напруження в точці перерізу можна визначити як межу відношення рівнодійної внутрішніх зусиль до елементарної площі при 0 А : dA R d A R lim p o A (5.2) 351 Повне напруження в точці являє собою векторну величину (тобто характеризується числовим значенням, точкою прикладення і напрямком) і залежить від положення проведеного через точку перерізу. Тому не можна говорити про напруження, не вказавши положення перерізу, в якому вони виникають. Розмірність вимірювання напруження: в системіСІ: Па 1 м 1 н 1 p 2 . Так як одиниця Па 1 дуже мала і користуватися нею незручно, то застосовують несистемну одиницю вимірювання напруження: 2 6 мм н 1 Па 10 МПа 1 . Поняттям повного напруження в опорі матеріалів користуються порівняно рідко – переважно тільки в теоретичному плані. Проте проекції вектора повного напруження на нормаль і дотичну до елементарної площі перерізу мають велике значення для практичних розрахунків. Рис. 5.5 352 Нормальну складову повного напруження називають нормальним напруженням , а дотичну – дотичним напруженням (рис. 5.5). Нормальне і дотичні напруження в точці перерізу будуть відповідно дорівнювати: dA dN , dA dQ y y , dA dQ z z , (5.3) де dN , y dQ , z dQ – відповідно поздовжня і поперечні сили, на які розкладається по координатним осям рівнодіюча внутрішніх сил R d . Величина повного дотичного напруження в точці визначається як: 2 z 2 y , (5.4) а повне напруження, що включає в себе нормальну і дотичні складові, тоді буде дорівнювати: 2 z 2 y 2 p (5.5) Для запобігання руйнування елементів конструкцій і машин, виникаючі в них робочі (розрахункові) напруження , не повинні перевищувати допустимих напружень , : , (5.6) Рівняння (5.6) називаються умовами міцності, де допустимі напруження – це максимальні значення напружень, що забезпечують безпечну роботу матеріалу. Допустимі напруження визначаються як деяка частина експериментально знайдених значень напружень, що визначають, границю міцності матеріалу гр , гр : n гр , n гр , (5.7) де n – коефіцієнт запасу міцності. 353 Запитання для самоконтролю 1. Що вивчають в опорі матеріалів? 2. Дайте визначення поняттям міцності, жорсткості і стійкості. 3. Дайте визначення внутрішнім силам і назвіть причини їх виникнення. 4. Яка деформація називається пружною? 5. Назвіть основні гіпотези і припущення в опорі матеріалів. 6. За яким методом визначаються внутрішні сили при деформації тіла, в чому полягає його сутність? 7. Які внутрішні сили виникають в загальному випадку деформації тіла? 8. Назвіть окремі випадки простої деформації тіла. 9. Дайте визначення напруження. На які складові можна розкласти повне напруження? 10. Що таке допустиме напруження і допустимий коефіцієнт запасу міцності? |