Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 12.5. Потужність сили Потужність сили – це величина, яка характеризує змінення роботи сили за одиницю часу. dt dA N ; r d P dA , , cos v P v P v P dt r d P N (3.52) 231 Якщо ' ds P dA v P dt ds P dt dA N Потужність сили в даний момент часу дорівнює добутку тангенціальної складової сили на швидкість точки прикладення сили. При 0 , v P v P N Розмірність потужності: система СІ: Bт с Дж N 1 1 1 ; Bт кBт 1000 1 . система МкГС: ; 1 1 1 с кГм с кГм N ; 75 1 с кГм с к 36 1 1 с к кBт § 12.6. Робота сили тяжіння Нехай матеріальна точка M рухається з положення 1 1 1 1 , , z y x M в положення 2 2 2 2 , , z y x M . Вага точки дорівнює, mg G , (3.53) де m – маса точки; g – прискорення вільного падіння. Обчислимо роботу сили G на переміщенні точки 2 1 M M , величина якого мала порівняно з радіусом Землі. Оберемо систему координат так, щоб вісь z була паралельна вертикалі (рис. 3.18). Тоді проекції сили G на координатній осі дорівнюють: , 0 , 0 mg G G G z y x (3.54) 232 Рис. 3.18 Використовуємо аналітичний вираз елементарної роботи (3.43): mgdz dz G dy G dx G dA z y x (3.55) Тоді робота сили G на переміщенні точки із положення 1 M в положення 2 M буде: , 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 mgh z z mg z z mg mgz dz mg mgdz dA A z z z z z z M M (3.56) де 2 1 z z h - величина вертикального переміщення точки M Якщо 2 1 z z , тобто точка 1 M розташована вище за точку 2 M , робота сили тяжіння додатна. Якщо 2 1 z z , тобто точка 1 M розташована нижче точки 2 M , робота сили тяжіння від’ємна. Таким чином робота сили тяжіння дорівнює: mgh A , (3.57) де знак плюс відповідає переміщенню точки до низу, а знак мінус – переміщенню точки вгору. 233 Тобто, робота сили тяжіння дорівнює взятому з відповідним знаком добутку сили тяжіння на вертикальне переміщення точки її прикладення. Робота сили тяжіння не залежить від виду траєкторії, по якій рухається точка, а залежить тільки від відстані по вертикалі між положеннями точки, від рівнями над поверхнею Землі. Робота сили тяжіння тіла на замкнутому переміщенні його центра ваги дорівнює нулю. § 12.7. Робота сили пружності Основною характеристикою пружного елементу є коефіцієнт жорсткості c . Коефіцієнт жорсткості – це відношення сили, яка діє на пружний елемент, до величини деформації пружного елементу (рис. 7.7): м H l F c 1 , (3.58) звідки l c F 1 (3.59) Якщо сила 1 F розтягнула пружину на відстань l і точка B перейшла в положення 1 B , то на кінець пружини буде діяти в протилежний бік сила пружності: l c F пр Оберемо напрямок вісі x вздовж пружини (рис. 3.19), а початок координат - в положенні недеформованої пружини, довжина якої 0 l , тоді: cx F пр , (3.60) де x – деформація пружного елементу. Знак мінус показує, що сила спрямована у бік, що є протилежним переміщенню точки В. 234 Рис. 3.19 Елементарна робота сили пружності дорівнює: cxdx dx F dA пр (3.61) При переміщенні точки прикладення сили з положення B у положення 2 B , тобто на величину h , сила пружності виконує роботу: 2 2 2 0 2 0 0 2 ch cx dx x c dx F dA A h h h пр B B (3.62) Робота сили пружності, коли вона підкоряється закону сx F пр , дорівнює половині добутку коефіцієнта пружності на квадрат переміщення її точки прикладення, яке відраховується від положення недеформованого стану . Робота сили пружності від’ємна тому, що вектор сили пружності завжди спрямований протилежно переміщенню її точки прикладення. 235 § 12.8. Робота і потужність сили, яка прикладена до тіла, що обертається навколо осі Нехай до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі z , в точці М на відстані r від осі прикладена довільно розміщена у просторі сила P (рис. 3.20). Визначимо роботу цієї сили. Для цього проведемо через точку М перпендикулярно до осі площину П. Розкладемо вектор сили P на вертикальну складову 2 P , яка паралельна осі z , і складову 1 P , яка розташована у площині П. Тоді складова 2 P роботу не виконує, оскільки її напрямок перпендикулярний вектору швидкості і згідно з формулою (3.41) її робота дорівнює нулю. Тоді елементарна робота сили P дорівнює: v P ds P dA , cos 1 1 , d r ds , де d – елементарний кут повороту тіла. Рис. 3.20 236 d v P r P dA , cos 1 1 , але об M v P r P , cos 1 1 – обертальний момент сили Р відносно осі z. Тоді: d M d P m dA об z ) ( , 0 d M A об (3.63) Елементарна робота сили, яка прикладена до тіла, що обертається відносно осі z, дорівнює добутку моменту цієї сили відносно осі z на елементарний кут повороту тіла. Якщо обертальний момент є сталою величиною М об = const, то об M A (3.64) Потужність сили, що прикладена до обертового тіла: об об M dt d M dt dA N (3.65) Потужність сили, яка прикладена до тіла, що обертається відносно нерухомої осі, дорівнює добутку моменту цієї сили відносно осі на кутову швидкість тіла. § 12.9. Коефіцієнт корисної дії Властивість тіла при переході з одного стану в інший здійснювати роботу характеризується його енергією. Енергія є загальна міра різних форм руху матерії. При передачі або перетворенні енергії, а також при здійсненні 237 роботи мають місце втрати енергії. Сили, що прикладені до тіл механічної системи, можна поділити на рушійні, робота яких є додатною, і сили опору, робота яких від’ємна. У свою чергу, сили опору складаються із сил корисного опору, для подолання яких призначений механізм або машина, і сил шкідливого опору. До останніх можна віднести сили тертя у шарнірах, сили гідравлічних і повітряних опорів тощо. В процесі передачі руху або виконанні роботи рушійні сили механізмів і машин долають сили корисного опору і сили шкідливого опору. Коефіцієнтом корисної дії є відношення роботи сил корисного технологічного опору кор A до повної витраченої роботи рушійних сил витр A . в итр кор в итр кор N N A A Якщо коефіцієнт корисної дії враховує тільки механічні втрати, то він зветься механічним ККД. Оскільки сили шкідливого опору займають значне місце в повній роботі, то, безумовно, механічний ККД завжди суттєво менший від одиниці. 1 в итр кор в итр кор N N A A А витр А кор N витр N кор. 238 Запитання для самоконтролю 1. Що таке елементарна робота сили? 2. Як впливає кут між векторами сили і швидкості на величину і знак елементарної роботи? 3. Як визначити роботу сили на кінцевому переміщенні? 4. Напишіть формулу роботи сталої сили. 5. Як визначити роботу рівнодійної сили? 6. Визначте роботу сили тяжіння, сили пружності. 7. Як визначається робота і потужність сили, що прикладена до обертового тіла? 8. Що таке коефіцієнт корисної дії і як він визначається? 9. Як визначається потужність сили, що прикладена до тіла, яке рухається поступально? 10. Визначити ККД окремих механізмів, які з’єднані послідовно. 239 РОЗДІЛ 13 ЗАГАЛЬНІ ТЕОРЕМИ ДИНАМІКИ § 13.1. Кількість руху матеріальної точки і механічної системи Існує багато задач динаміки, розв’язання яких не потребує повної інформації про всі властивості досліджуваного руху системи, що містяться у диференціальних рівняннях (2.7). Ці задачі пов’язані з визначенням зовнішніх сил, діючих на матеріальні точки системи, або з визначенням руху центра мас і мір механічного руху системи. До ефективних методів розв’язування таких задач належать використання загальних теорем динаміки, які встановлюють співвідношення між мірами механічного руху системи матеріальних точок або однієї точки і діючими на них силами. Загальні теореми динаміки характеризують окремі властивості механічного руху і надають часткову інформацію про цей рух. Тому їх застосування дозволяють уникнути в задачах складних операцій інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки і механічної системи, що значно спрощує процес розв’язання. Для задач динаміки матеріальної точки та динаміки механічної системи розглянемо наступні загальні теореми динаміки: теорему про зміну кількості руху і теорему про зміну кінетичної енергії, які випливають із основного закону динаміки матеріальної точки. Однією з динамічних характеристик руху матеріальної точки і механічної системи є кількість руху. Кількість руху матеріальної точки є векторною величиною, яка є добутком маси точки на вектор її швидкості v m q (3.66) 240 Напрямок вектора кількості руху q співпадає з напрямком вектора швидкості v . За одиницю вимірювання кількості руху приймається 1 [ м/с кг ]. Кількість руху механічної системи є також векторною величиною, яка є геометричною сумою векторів кількостей руху окремих точок системи: , 1 1 n k k k n k k v m q Q (3.67) З іншого боку є можливість визначити вектор кількості руху через швидкість центра мас. Згадаємо, як був визначений радіус-вектор центра мас механічної системи: M r m r n k k k c 1 , (3.68) де n k k m M 1 – маса механічної системи. Зведемо вираз (3.68) до спільного знаменника n k k k c r m r M 1 , (3.69) і візьмемо похідну за часом: n k k k c dt r d m dt r d M 1 (3.70) Оскільки c c dt r d , а k k dt r d , то остаточно маємо: Q m M n k k k c 1 (3.71) 241 Таким чином, вектор кількості руху механічної системи або головний вектор системи дорівнює добутку маси усієї системи на вектор швидкості її центра мас. Проекції кількості руху механічної системи на осі прямокутної системи координат запишуться так: , , 1 1 1 cz n k kz k z cy n k ky k y cx n k kx k x M m Q M m Q M m Q (3.72) Звідки головний вектор механічної системи дорівнює: модуль ; 2 2 2 z y x Q Q Q Q напрямок ; cos ; cos , , ^ ^ Q Q Q Q y x y Q x Q Q Q z z Q , ^ cos § 13.2. Імпульс сили Ефект дії сили на матеріальну точку або механічну систему залежить не тільки від модуля сили і маси точки або системи, а і від тривалості дії сили. Для характеристики дії сили на тіло за певний проміжок часу вводиться поняття елементарного імпульсу сили та імпульсу сили за кінцевий проміжок часу. Визначимо ці поняття. Елементарний імпульс dS сили F – це векторна величина, яка дорівнює добутку вектора сили на елементарний проміжок часу її дії dt F dS (3.73) 242 Напрямок елементарного імпульсу сили співпадає з напрямком вектора сили. За одиницю вимірювання імпульсу сили приймається 1 с м кг с с м кг c H / 1 1 2 Імпульс сили за кінцевий проміжок часу дорівнює інтегралу від елементарного імпульсу сили за проміжок часу від 0 до 1 t 1 1 0 0 t t dt F S d S (3.74) Для обчислення імпульсу сили використовують його проекції на відповідні осі координат 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 , , t t z z z t t y y y t t x x x dt F dS S dt F dS S dt F dS S (3.75) Повний імпульс дорівнюватиме: 2 2 2 z y x S S S S Якщо сила є сталою величиною, то імпульс сили дорівнює: t F S (3.76) § 13.3. Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки Запишемо основний закон динаміки матеріальної точки в формі, коли маса m вважається сталою: 243 , 1 n k k F a m (3.77) Але більш загальний вираз закону може бути записаний так: n k k F m dt d 1 (3.78) У лівій частині в дужках є кількість руху матеріальної точки, яка визначалась виразом (3.66): m q . Перепишемо (3.78) так: n k k F q dt d 1 (3.79) Помноживши ліву і праву частини (3.78) на dt , маємо: dt F m d n k k 1 (3.80) Вираз (3.80) і є теоремою про зміну кількості руху матеріальної точки у диференціальній формі: диференціал від кількості руху матеріальної точки дорівнює геометричній сумі імпульсів всіх сил, які діють на точку. Проінтегруємо почленно ліву та праву частини виразу (3.80). Використаємо означені інтеграли, які беремо в границях, що відповідають швидкостям від 0 до 1 і моментам часу від 0 до 1 t . Матимемо dt F dt F m d n k t k V V n k k t 10 1 0 1 1 0 1 ) ( (3.81) Права частина виразу (3.81) є сумою імпульсів сил за кінцевий проміжок часу. Після інтегрування одержимо: n k k S m m 1 0 1 (3.82) 244 Таким чином, теорему про зміну кількості руху матеріальної точки можна сформулювати так: зміна кількості руху матеріальної точки за певний проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів сил, які діють на точку, за цей час. Вираз (3.82) у проекціях на осі координат , , y x та z буде мати такий вигляд: n k kz z z n k ky y y n k kx x x S m m S mv mv S m mv 1 0 1 1 0 1 1 0 1 , , (3.83) Приклад Автомобіль масою кг m 1000 рухається по горизонтальній дорозі зі швидкістю с м v / 5 0 . Далі протягом 10 с сила тяги автомобіля збільшується на 150 Н за кожну секунду. Визначити швидкість автомобіля 1 v після десятої секунди розгону. Розв’язання Вважаємо рух автомобіля поступальним, тоді приймаємо його за матеріальну точку. На підставі (3.83) запишемо вираз теореми про зміну кількості руху матеріальної точки: kx x x S mv mv 0 1 (а) Оскільки рух по прямій, то можна записати S S v v v v x x x ; ; 0 0 1 1 245 Визначимо імпульс сили тяги, враховуючи умову і вираз (3.75): 1 0 ; ; 150 t Fdt S t F Hc t tdt tdt S t 7500 2 10 150 2 150 150 150 2 10 0 2 0 10 0 1 Підставимо імпульс Hc S 7500 в праву частину (а): 7500 0 1 v v m Звідки с м m mv S v / 5 , 12 1000 5 1000 7500 0 1 Відповідь: с м v / 5 , 12 1 |