Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва

• Название: Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
• Анкор: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Дата: 09.06.2018
• Размер: 6.79 Mb.
• Имя файла: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Тип: Навчальний посібник; #20141
• страница: 13 из 36

§ 10.1. Вступ до динаміки
Динаміка – це розділ теоретичної механіки, в якому вивчають закони руху матеріальних об’єктів під дією сил, які до них прикладені.
Під матеріальними об’єктами тут розуміють матеріальну точку, системи матеріальних точок і матеріальні тверді тіла певної маси , а якщо йдеться про матеріальні тіла – і певної геометричної форми.
Рух тіл з чисто геометричної точки зору розглядався в кінематиці. В динаміці, на відміну від кінематики, при вивченні руху тіл враховують як діючі сили, так і інертність самих матеріальних тіл.
Поняття про силу як величину, що характеризує міру механічної взаємодії матеріальних тіл, було введено в статиці. Але при цьому, по сутності, сили розглядались сталими величинами. Між тим на тіло в процесі його руху крім постійних сил можуть діяти сили, що змінюють свою величину та напрямок в залежності від часу, положення тіла і його швидкості. Особливість впливу цих сил на закони руху тіл можливо врахувати в динаміці.
До поняття інертності тіла можна підійти, зрівнюючи наслідки дії однієї і тієї ж сили на рух різних матеріальних тіл.
Інертність – це властивість матеріальних тіл скоріше або повільніше змінювати швидкість свого руху під дією однакових сил або систем сил.
Кількісною мірою інертності тіла є фізична величина – маса тіла
(одночасно маса є мірою гравітаційних властивостей тіла за законом всесвітнього тяжіння). В класичній механіці маса розглядається величиною

182
скалярною, додатною і постійною для кожного даного тіла.
В загальному випадку рух тіла залежить не тільки від його сумарної маси і прикладених сил. Характер руху може також залежати від форми тіла, точніше від взаємного розташування утворюючих його матеріальних точок (тобто від розподілу мас).
Перш ніж вивчати такі тіла і характер врахування їх форми, в динаміці розглядають більш простий матеріальний об’єкт – матеріальну точку як окреме тіло або як його окрему складову. Тому традиційно динаміка поділяється на динаміку матеріальної точки, динаміку твердого тіла і динаміку матеріальної системи.
Матеріальна точка – тобто тіло, розмірами якого у даній задачі можна знехтувати, є найпростішим рухомим об’єктом механіки.
Рух матеріальної точки, як і інших матеріальних об’єктів, в класичній механіці розглядається відносно інерціальної системи відліку – такої системі відліку, в якій ізольована матеріальна точка може безмежно довго перебувати у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху.
Якщо матеріальна точка рухається під впливом тільки активних сил, то таку матеріальну точку називають вільною.
Слід нагадати, що матеріальні умови, які накладають обмеження на положення та рух невільної матеріальної точки, називають в’язями, а сили, з якими в’язі діють на цю точку, називають реакціями в’язей.
У динаміці розглядають дві основні задачі.
Перша або пряма задача полягає у тому, щоб за заданими силами і законом руху матеріального об’єкта визначити діючу на нього силу.
Друга або обернена задача динаміки полягає у тому, щоб за заданими силами, прикладеними до матеріального об’єкта , і початковими умовами визначити закон його обумовленого руху.
Найпростіше ці задачі розв’язати для матеріальної точки.

183
§ 10.2. Закони динаміки (Закони Галілея-Ньютона)
В основу динаміки покладені закони, які для матеріальної точки були сформульовані І. Ньютоном в 1687 р. і є об’єктивними законами природи, встановленими на основі багатьох дослідів і спостережень.
Перший закон (закон інерції). Ізольована матеріальна точка
зберігає стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху доти, поки
прикладені сили не примусять її змінити цей стан.
Рівномірний і прямолінійний рух ще називають рухом за інерцією.
Матеріальна точка не може сама змінювати свій стан руху чи спокою, а ця зміна з’являється лише в результаті впливу на неї інших тіл. Тобто, рух матеріальної точки змінюється тільки в результаті її взаємодії з іншими тілами. Якщо рух відхиляється від рівномірного – виникає прискорення по відношенню до інерціальної системи відліку.
Відмінність від нуля абсолютного прискорення матеріальної точки свідчить про вплив на неї інших тіл з певною інтенсивністю і спрямованістю, що характеризується в класичній механіці поняттям сили.
Другий закон (основний закон динаміки матеріальної точки).
Прискорення матеріальної точки пропорційно прикладеній до неї силі і
спрямоване вздовж вектора сили.
Якщо силу або рівнодійну декількох сил, прикладених до точки, позначити через F , прискорення – через
a
, масу матеріальної точки –
через m і вважати її згідно уявлень класичної механіки сталою, то закон матиме вираз:
F
a
m

,
(3.1) де сила може бути рівнодійною n сил:



n
K
K
F
F
1

184
Співвідношення (3.1), яке встановлює зв’язок між силою, масою та прискоренням, є найважливіше у класичній механіці і називається
основним рівнянням динаміки.
Таким чином, сила – це є та дія на матеріальну точку з боку будь- яких інших тіл, яка надає цій точці певне прискорення.
За сучасними уявленнями в основі механічних взаємодій знаходяться гравітаційні і електромагнітні сили – сили тяжіння, сили пружності, сили тертя, сили опору середовища і т. п. При цьому сила може бути, як сталою величиною і напрямком, так і змінною, яка, взагалі, є функцією часу, переміщення (координат) і швидкості


v
r
t
F
F
,
,

Сили можуть залежати від окремих кінематичних параметрів.
Наприклад, сила гравітаційної взаємодії на підставі закону всесвітнього тяжіння визначається
r
r
m
m
F
3 2
1


, де
1
m і
2
m - маси тіл;

- гравітаційна стала,
2 1
r
r
r


- відносна відстань
(
1
r
і
2
r
- радіус-вектори мас в інерціальній системі відліку).
При описанні руху тіла в середовищі (повітря, рідина) сила опору, як встановлено експериментально, є функцією від швидкості
v
F
оп



, де

– коефіцієнт в’язкого тертя, який залежить від форми тіла і властивостей середовища. Коли швидкість збільшується, то сила опору стає пропорційною квадрату швидкості.
Маса матеріальної точки в основному рівнянні динаміки є мірою її
інертних і гравітаційних властивостей. Тому маса може бути визначена методами, які відображають вище вказані властивості.

185
Перший метод пов’язаний з гравітаційними властивостями матерії.
Експериментально встановлено, що відношення ваги тіла до прискорення вільного падіння в пустоті у всіх точках земної кулі є сталою величиною.
Це відношення визначає вагому масу
g
G
m
Г

,
(3.2) де G – вага тіла, g – прискорення вільного падіння у вакуумі.
Із формули (3.2) випливає, що маси тіл і їх вага пропорційні. Тому можна одну з мас взяти за еталон одиниці маси і визначати інші маси зважуванням.
Другий спосіб, динамічний, пов’язаний з інертними властивостями тіл. Якщо одна і та ж сила діє на тіла з різною вагою, то вона викликає різні прискорення. Тоді з (3.1) маємо:
2 2
1 1
a
m
a
m



, звідки
1 2
2 1
a
a
m
m

. Якщо вибрати одну з мас за еталон, можна визначити другу масу, яку називають інертною.
Дослідами І. Ньютона і Б. Бесселя встановлюється тотожність гравітаційної і інертної маси з точністю до
10 10

значень.
В другій половині ХІХ сторіччя з’являється нове формулювання
другого закону Ньютона: перша похідна за часом від вектора кількості
руху матеріальної точки дорівнює за величиною і напрямком вектору
прикладеної до точки сили.
 
F
v
m
dt
d

,
(3.3) де
v
m
– кількість руху матеріальної точки, як добуток маси на вектор швидкості.

186
Слід відмітити, що з другого закона можна одержати перший закон динаміки (закон інерції), якщо покласти
0

F
і
const
m

. Тоді
const
v

або
0
a

тобто, швидкість точки зберігається за весь час її руху сталою величиною без прискорення.
Третій закон (закон дії та протидії). Кожній дії одного тіла завжди
відповідає рівна їй за модулем і протилежна за напрямом протидія
другого тіла. Коротко – дія дорівнює протидії.
Це є закон, який встановлює парність усіх сил природи. Якщо, наприклад, тіло, яке лежить на столі, тисне на нього вниз з силою власної ваги, то стіл тисне з такою ж силою на тіло, яка напрямлена вгору.
Четвертий закон (закон незалежності дії сил). Прискорення, яке
отримує матеріальна точка від дії системи сил, дорівнює геометричній
сумі прискорень, які б отримувала точка від дії кожної сили окремо.
Закони Ньютона є лише першим наближенням до дійсності, оскільки вважають властивості матеріальних об’єктів незалежними від властивостей простору і часу. Проте, при швидкостях, відносно малих від швидкості світла, для Земних умов, ці закони добре узгоджуються з реальними механічними процесами, що зустрічаються на практиці.
§ 10.3. Системи одиниць вимірювання фізичних величин.
Для вимірювання всіх механічних величин достатньо вибрати три основні одиниці вимірювання. Дві з них – це одиниці довжини і часу, які вже зустрічались в кінематиці. В якості третьої одиниці може бути вибрана одиниця вимірювання маси або сили. Так як довільними обидві ці одиниці при наявності рівняння (3.1) бути не можуть, то звідси витікає можливість вибору в механіці двох принципово різних систем одиниць.

187
Технічна система одиниць (МкГС)
Основні одиниці цієї системи:
1.
Довжина – метр [м].
2.
Час – секунда [с].
3.
Сила – кілограм-сила [кГс], або [кГ ].
У цій системі основною одиницею прийнята сила, а маса вимірюється похідною одиницею. Якщо прийняти силу тяжіння G за силу, яка надає точці прискорення g, будемо мати





2
с
/
м
кГ
,
g
G
m
, нехай G = 1000 [кГ ], тоді

















м с
к с
м
Г
к
2
2
Г
102
81
,
9
1000
m
Міжнародна система одиниць (СІ)
Основні одиниці цієї системи:
1.
Довжина – метр [м].
2.
Час – секунда [с].
3.
Маса – кілограм маси [кг].
У системі СІ основною одиницею прийнята маса, а сила вимірюється похідною одиницею. Розмірність сили у міжнародній системі СІ буде



 













2 2
|
|
с
м
кг
с
м
а
кг
m
F
Сила, яка надає тілу з масою 1[кг], прискорення 1[м/с
2
], дорівнює
1 [Н], а сила 1 [кГ ] надає тілу з масою 1 [кг], прискорення 9,8 [м/с
2
], звідки
1 [кГ] = 9,8 [Н],
1 [Н] = 0,102 [кГ ].

188
§ 10.4. Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної
точки
З розділу "Кінематика" відомо три способи завдання руху матеріальної точки – векторний, координатний та натуральний. Відповідно до цього мають місце і форми складання диференціальних рівнянь руху матеріальної точки. Проте в основу цих рівнянь покладено основний закон динаміки (3.1):
F
a
m

1. Диференціальне рівняння у векторній формі
Розглянемо рух матеріальної точки М маси m під дією системи сил
n
F
F
F

,
,
2 1
, положення якої визначає радіус – вектор
r
(рис. 3.1) із законом зміни
 
t
r
r

Оскільки в цьому разі прискорення матеріальної точки дорівнює
2 2
dt
r
d
a

, то диференціальне рівняння руху буде мати такий вигляд



n
i
i
F
dt
r
d
m
1 2
2
(3.4)
Рис. 3.1

189
2. Диференціальні рівняння у координатній формі
Прискорення матеріальної точки в цьому разі визначається у його проекціях на три відповідні осі координат, тобто
,
;
;
2 2
2 2
2 2
dt
z
d
z
a
dt
y
d
y
a
dt
x
d
x
a
z
y
x












(3.5) а тому диференціальні рівняння руху матеріальної точки теж визначають у проекціях на ці ж осі і відповідно з основним законом динаміки (3.1) вони мають такий вигляд
,
;
;
1 1
1









n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix
F
z
m
F
y
m
F
x
m






(3.6) де






n
i
n
i
n
i
iz
iy
ix
F
i
F
F
1 1
1
,
,
– алгебраїчні суми проекцій всіх сил на осі
y
x,
та z .
3. Диференціальні рівняння у натуральній формі
Прискорення матеріальної точки в цьому разі визначаються у проекціях на дотичну

та нормаль
n
і дорівнюють
,
v
a
,
dt
dv
a
2
n





190
де v – швидкість матеріальної точки;

– радіус кривизни кривої, по якій рухається точка.
Проекція прискорення точки на бінормаль відсутня
0
a
b

Тоді диференціальні рівняння руху матеріальної точки мають такий вигляд









n
1
i
b
i
n
1
i
n
i
2
n
1
i
i
,
F
0
,
F
v
m
,
F
dt
dv
m


(3.7) де останнє рівняння, в проекції на бінормаль, є, фактично, рівнянням статики.
§ 10.5. Диференціальні рівняння руху невільної матеріальної
точки
При вивченні невільної точки, що обмежена в русі іншими умовами або тілами – в’язями, то використовують принцип звільнення від в’язей.
Він дозволяє вважати точку вільною, якщо прикласти до неї реакції в’язей.
Тому диференціальне рівняння в векторній формі має вигляд:
R
F
a
m


,
(3.8) де
F
– рівнодійна активних сил,
R
– рівнодійна реакцій в’язей.
В проекціях на декартові і натуральні осі маємо
,
R
F
dt
z
d
m
,
R
F
dt
y
d
m
,
R
F
dt
x
d
m
z
z
2
2
y
y
2
2
x
x
2
2






b
b
n
n
2
R
F
0
,
R
F
v
m
,
R
F
dt
dv
m









(3.9)

191
§ 10.6. Дві основні задачі динаміки матеріальної точки
Оскільки основний закон динаміки матеріальної точки (3.1) та складені за його допомогою диференціальні рівняння руху мають у лівій частині прискорення, тобто кінематичну характеристику руху, а у правій частині – геометричну суму сил, які діють на точку, тобто силові характеристики руху, то у залежності від того, яка характеристика руху потребує визначення, формулюються дві основні задачі динаміки матеріальної точки.
1. Перша задача динаміки
Перша задача динаміки формулюється таким чином: "По заданим
масі матеріальної точки та закону її руху визначити силу, яка діє на
матеріальну точку або рівнодійну силу".
В цьому випадку розв’язок задачі зводиться до диференціювання рівнянь руху матеріальної точки.
Розглянемо приклад розв’язування першої задачі динаміки матеріальної точки.
Приклад
Умова: матеріальна точка рухається згідно таких рівнянь






,
,
2
ct
bt
y
at
x
де
const
c
b
a

,
,
Треба визначити рівнодійну силу, яка діє на цю матеріальну точку.
Розв’язання
Знайдемо проекції швидкості на координатні осі x та y

192
;
a
dt
dx
x
v
x




ct
b
dt
dy
y
v
y
2





Знайдемо проекції прискорення матеріальної точки на ці осі координат
;
0



dt
dv
x
a
x
x


c
dt
dv
y
a
y
y
2






Тоді проекції рівнодійної сили на координатні осі дорівнюють
0


x
x
ma
F
,
mc
ma
F
y
y
2



Рівнодійна сила, яка діє на матеріальну точку, дорівнює
mc
F
F
F
y
x
2 2
2



Ця сила діє паралельно осі Oy і спрямована у бік, протилежний від напрямку даної осі.
2. Друга задача динаміки
Сформулюємо другу задачу динаміки "Згідно заданим силам, які
діють на матеріальну точку, визначити закон її руху".
Таким чином, друга задача динаміки матеріальної точки зводиться до
інтегрування диференціальних рівнянь руху. При цьому повинні бути заданими початкові умови руху матеріальної точки: положення і швидкості точки у початковий момент часу.

193
Якщо розглядається рух вільної матеріальної точки, то існує така послідовність розв’язку основної задачі динаміки матеріальної точки:
–
зображують точку у довільному положенні її руху та показують усі сили, які діють на точку;
–
вибирають систему координат;
–
записують початкові умови руху матеріальної точки;
–
складають диференціальні рівняння руху точки;
–
методом інтегрування диференціальних рівнянь руху знаходять рівняння її руху і, виходячи з початкових умов, визначають сталі
інтегрування;
–
аналізують отриманий розв’язок та визначають невідомі величини.
При розв’язанні другої задачі відомими є сили, які діють на точку певної маси, координати і швидкість в початковий момент часу. Необхідно знайти кінематичні рівняння руху точки (закон руху). Розв’язання цієї задачі зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки (3.6) або (3.7). Визначивши проекції сил на осі координат
z
y
x
F
F
F
,
,
і підставивши їх в праву частину рівнянь, інтегруємо систему. Розв’язком цієї системи рівнянь буде функція часу і шість сталих
інтегрування
6 2
1
,...,
,
C
C
C
:






,...,
,
,
,
,...,
,
,
,
,...,
,
,
6 2
1 6
2 1
6 2
1
C
C
C
t
z
z
C
C
C
t
y
y
C
C
C
t
x
x



(3.10)
Для визначення сталих інтегрування необхідні початкові умови – координати і швидкості в початковий момент:
 
 
;
;
0 0
0 0
x
t
x
x
t
x




 
 
;
;
0 0
0 0
y
t
y
y
t
y




 
 
;
0 0
0 0
z
t
z
z
t
z




(3.11)

194
Тоді, остаточно, розв’язок має вираз






,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
z
y
x
z
y
x
t
z
z
z
y
x
z
y
x
t
y
y
z
y
x
z
y
x
t
x
x












(3.12)
Вирази (3.12) називають загальним розв’язком диференціальних рівнянь руху точки.
Розглядаючи рух в натуральній формі, для розв’язання основної задачі застосовують диференціальні рівняння (3.7). Початковими умовами руху є значення дугової координати при
:
0

t
 
o
t
s
і початкова швидкість
 
0 0
s
t
v

