Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 7.6. Вектори кутової швидкості і кутового прискорення тіла при його обертанні Кутову швидкість і кутове прискорення обертового тіла можна уявити як вектори. Вектор кутової швидкості обертового тіла розташований на осі обертання і спрямований так, що, дивлячись з його кінця, можна бачити обертання тіла проти напрямку руху годинникової стрілки. Це так зване "правило свердлика". Вектор кутового прискорення обертового тіла розташований на осі обертання і спрямований у той же бік, що і вектор кутової швидкості якщо обертання прискорене, і в напрямку, яке протилежне напрямку вектора кутової швидкості, якщо обертання сповільнене. 150 Якщо розглядати різні випадки обертання твердого тіла навколо нерухомої осі та різне їх спрямування, то напрямки векторів і будуть такими, як це показано на (рис. 2.12). Рис. 2.12 Як бачимо, можуть бути два варіанти, коли вектори кутової швидкості і спрямовані у один бік (рис. 2.12, а), або спрямовані у різні боки (рис. 2.12, б). Напрямки обертання тіла показані стрілками. Вектори кутової швидкості і кутового прискорення є векторами ковзними і за їх початок можна взяти будь-які точки тіла, на осі обертання. Величини і напрямок векторів і повністю характеризують і визначають обертальний рух тіла, напрям обертання, а також чисельні значення кутової швидкості і кутового прискорення. § 7.7. Векторний вираз лінійної швидкості і прискорення точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі Вектори лінійної швидкості і прискорення окремої точки обертового тіла можна представити у вигляді векторних добутків. 151 Розглянемо тіло, обертальний рух якого навколо нерухомої осі z заданий векторами кутової швидкості і кутового прискорення (рис. 2.13). Для довільної точки M цього тіла, положення якої визначає радіус – вектор r , проведений, з будь-якої точки O на осі обертання z тіла, будуть справедливі наступні ствердження. Рис. 2.13 Вектор лінійної швидкості будь-якої точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку двох векторів: кутової швидкості і радіус-вектора цієї точки відносно довільної точки осі обертання: r (2.50) 152 Загально відомо, що векторним добутком двох векторів a і b , кут між якими складає , є третій вектор c ( b a c ), модуль якого дорівнює: sin b a c Спрямований цей вектор c перпендикулярно до площини, в якій розташовані вектори a і b , у бік, звідки найкоротший поворот від вектора a до вектора b відбувається проти напрямку ходу годинникової стрілки. Тоді модуль векторного добутку r буде дорівнювати: sin r r (2.51) Векторний добуток r , як результуючий вектор, буде перпендикулярним площині ΔОМС Він виходить із точки O на осі z паралельно вектору лінійної швидкості точки M в тому самому напрямку. Враховуючі те, що sin r R , (2.52) можна зробити висновок: векторний добуток r і вектор лінійної швидкості точки обертового тіла збігаються за напрямком, паралельні і одинакові за модулем. Вектор повного лінійного прискорення точки M тіла, що обертається навколо нерухомої осі z визначається формулою Ривальса: ) r ( r r a (2.53) Перший векторний добуток виразу (2.58) r , як результуючий вектор, буде перпендикулярним площині ΔОМС і спрямованим із точки O 153 на осі z паралельно вектору a тангенціального прискорення точки M в тому ж напрямку. Модуль першого векторного добутку дорівнює: sin r r При цьому модуль тангенціального прискорення точки також буде дорівнювати: sin r R a Порівнявши останні вирази бачимо, що для векторів r і a співпадають не тільки їх напрямки ( ΔОМС), але і модулі, тому r a (2.54) Тангенціальне прискорення точки твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку вектора кутового прискорення на радіус-вектор цієї точки відносно довільної точки осі обертання. Другий векторний добуток виразу (2.53) , спрямований, як і вектор n a нормального прискорення точки M , - із точки M по радіусу до центра траєкторії руху цієї точки. Модуль другого векторного добутку дорівнює: ^ , sin , оскільки o 90 , ^ і . При цьому модуль нормального прискорення точки також буде дорівнювати: R a n 2 154 Порівнявши напрямки векторів n a і і їхні значення, можна зробити висновок, що ) ( r a n (2.55) Нормальне прискорення точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку вектора кутової швидкості на вектор лінійної швидкості цієї точки. Запитання для самоконтролю 1. Надайте означення і приклади поступального руху тіла? 2. Чи дорівнюють величини швидкостей і прискорень точок тіла, яке рухається поступально? 3. Як визначити положення обертового тіла? 4. Означте кутові швидкості і прискорення обертового тіла, назвіть їхні одиниці виміру. 5. Назвіть формули рівнозмінного обертання тіла. 6. Як спрямовані вектори лінійних швидкостей та прискорень точок обертового тіла? 7. Напишіть формулу Ейлера для швидкості точки обертового тіла. 8. Яка залежність між кутовою швидкістю і частотою обертання? 155 РОЗДІЛ 8 ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА § 8.1. Поняття про плоскопаралельний рух Плоскопаралельним або плоским називається такий рух твердого тіла, при якому всі точки тіла рухаються паралельно деякій заданій нерухомій площині, яка зветься напрямною. Прикладом такого руху є кочення колеса по прямій ділянці шляху, рух шатуна кривошипно-шатунного механізму і т.п. На рис. 2.14 показане тіло, яке рухається паралельно деякій нерухомій напрямній площині . Проекціями довільних точок тіла A і B на площину будуть відповідно точки a і b . Згідно визначення плоскопаралельного руху за весь час руху тіла відстані a A і b B завжди залишаються сталими. Оскільки кожна точка відрізка a A рухається однаково (так як точка a ), то замість руху тіла можна розглядати рух його проекції S на площину відносно цієї площини. В свою чергу положення проекції тіла S в площині визначається положенням відрізка ab . Тоді розглядання плоского руху тіла зводиться до розглядання руху відрізка прямої ab плоскої фігури S в площині (рис. 2.14). Рис. 2.14 156 § 8.2. Рівняння плоскопаралельного руху твердого тіла Для визначення рівнянь плоскопаралельного руху твердого тіла спроектуємо це тіло на напрямну вертикальну площину . Розглянемо рух отриманої проекції тіла – плоскої фігури S по відношенню до системи координат y x O , нерухомо пов’язаною з площиною (рис. 2.15). При цьому в кожен момент часу положення фігури S буде визначатися положенням довільної прямої (наприклад прямої АВ ), проведеної в цій фігурі. Але , в свою чергу, положення прямої АВ в площині y x O можна визначити, знаючи координати точки А прямої АВ та величину кута , який утворює пряма АВ з віссю x O . Точку А , жорстко зв’язаною з фігурою S називають полюсом. Рис. 2.15 157 Якщо відомі у будь-який момент часу координати полюса A і кут повороту , то можна визначити положення плоскої фігури S, що рухається у площині , а відповідно і положення твердого тіла. Протягом часу координати полюса (точка A ) і кут змінюються і, як однозначні функції часу, їх можна описати системою рівнянь: ). ( ), ( ), ( 3 2 1 t f t f y t f x A A (2.56) Ці рівняння, що визначають закон руху, є рівняннями руху плоскої фігури, або кінематичними рівняннями плоскопаралельного руху тіла. § 8.3. Розкладання руху плоскої фігури на поступальний і обертальний Розглянемо у площині y x O рух плоскої фігури S, положення якої визначено положенням її відрізка AB (рис. 2.16). Через певний проміжок часу фігура S із положення І (АВ) переміститься в положення ІІ ( В А ). Вказане переміщення відрізка фігури із положення АВ у положення В А можна розглядати, як поступальне переміщення спочатку в положення В А з наступним поворотом навколо точки А (яку приймаємо за полюс) на деякий кут . Або, як поступальне переміщення спочатку в положення A B з наступним поворотом на той самий кут навколо точки B (останню також в цьому разі приймаємо за полюс). Неважко помітити, що кут повороту плоскої фігури S навколо полюса А дорівнює куту повороту навколо полюса В . Однаковий буде і напрямок обертання – за годинниковою стрілкою. Тобто, кут повороту і 158 напрям обертання плоскої фігури S не залежать від вибору полюса. Таким чином, будь – який рух плоскої фігури S у її площині можна розкласти на поступальний рух фігури разом з полюсом і обертальний рух фігури навколо цього полюса. При цьому обертальний рух фігури не залежить від вибору полюса. Слід зауважити, що такого ж самого кінцевого результату можна досягнути, якщо розглядати спочатку обертальний рух тіла, а потім поступальний. Рис. 2.16 159 § 8.4. Визначення швидкості точки плоскої фігури Визначимо швидкість довільної точки плоскої фігури S, яка рухається плоскопаралельно. Для цього точку А довільної прямої AB фігури будемо вважати за полюс, що рухається із заданою швидкістю А (рис. 2.17). Рис. 2.17 Тоді рух точки В фігури можна розглядати таким, що одночасно складається із двох видів руху: поступального разом з полюсом А зі швидкістю А та обертального навколо полюса А з якоюсь заданою кутовою швидкістю Відповідно до цього, векторне рівняння для визначення швидкості В довільної точки В плоскої фігури буде мати вигляд: ВА А В , (2.57) де ВА - відносна швидкість обертання точки В навколо полюса А Тобто, швидкість довільної точки В плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса A і відносної швидкості точки В при обертанні фігури навколо полюса A . 160 Графічний розв'язок останнього векторного рівняння показаний на рис. 2.17. При цьому відносна швидкість ВА представлена вектором, перпендикулярним до прямої AB Модуль вектора ВА можна знайти за формулою: AВ ВA , де - кутова швидкість обертання фігури, AB - відстань між точками. Тоді переносимо вектор А паралельно самому собі в точку В і знаходимо шукану швидкість В , як діагональ паралелограма, побудованого векторами А та ВА на його сторонах. Векторне рівняння (2.57) широко застосовується при графічному способі визначення швидкостей точок плоских механізмів за допомогою побудови планів швидкостей, який ми розглянемо в розділі теорії механізмів і машин. § 8.5. Теорема про проекції швидкостей двох точок плоскої фігури Крім векторного рівняння (2.57) для визначення швидкості довільної точки плоскої фігури використовують теорему про проекції швидкостей двох точок цієї фігури на пряму, що їх з'єднує. Розглянемо рух плоскої фігури, як і в попередньому випадку, з прямою AB і полюсом в точці А (рис. 2.18). Спроектувавши векторне рівняння (2.57) на пряму, обумовлену відрізком AB , отримаємо: ВА АВ А АВ В АВ . пр . пр . пр Але проекція 0 ВА АВ пр , так як АВ ВА , тому 161 А АВ В АВ . пр . пр Або з урахуванням того, що дані проекції визначаються з рис. 2.18, як cos b В . пр B В АВ , cos а А . пр A А АВ , остаточно маємо cos cos A B Таким чином, проекції векторів швидкостей двох довільних точок плоскої фігури на пряму лінію, що з'єднує ці точки, дорівнюють одна одній. Рис. 2.18 Знаючи модуль A швидкості даної точки A і кут нахилу вектора цієї швидкості, а також напрямок вектора шуканої швидкості будь-якої іншої точки B (кут ), можна визначити її модуль, тобто cos cos A B 162 § 8.6. Визначення прискорення точки плоскої фігури Прискорення довільної точки плоскої фігури S , що здійснює плоскопаралельний рух, як і у випадку з визначенням швидкості точки цієї фігури, може бути визначене за допомогою векторного рівняння. При цьому прискорення точки В , яка знаходиться на довільній прямій АВ плоскої фігури з вибраним полюсом в точці А (рис. 2.19), дорівнює геометричній сумі прискорення полюса А і прискорення точки В в її відносному обертальному русі навколо полюса А : ВА A В a a a (2.58) В свою чергу вектор прискорення точки В в її відносному обертальному русі навколо полюса А також геометрично розкладаються на дотичну і нормальну складові: n ВA ВA ВA a a a Рис. 2.19 163 За модулем складові останнього виразу дорівнюють: AВ a ВA , AВ a 2 n ВA , де , - кутова швидкість і прискорення фігури відносно полюса A Модуль повного відносного прискорення точки В відносно полюса A : 4 2 ВA AВ a Остаточно векторне рівняння швидкості довільної точки В плоскої фігури буде мати вигляд: n ВA ВA A В a a a a (2.59) Таким чином, прискорення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює векторній сумі прискорення полюса і прискорення цієї точки у обертальному русі фігури навколо полюса. Напрямки зазначених векторів прискорень будуть наступними: – дотичне прискорення розташоване перпендикулярно прямій В A і спрямоване у бік кутового прискорення – нормальне прискорення розташоване на прямій В A і спрямоване у бік полюса A – вектор повного прискорення ВA a складає з прямою В A кут (рис. 2.19), тангенс якого визначається так: 2 n ВA ВA a a tg Величини і відносяться до всієї фігури S , тому кут для всіх точок фігури один і той же. Відкладається за напрямом |