Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 7.1. Поступальний рух твердого тіла В задачах кінематики твердого тіла визначають як кінематичні параметри тіла в цілому, так і кінематичні параметри окремих його точок. Найпростішими видами руху твердого тіла є поступальний і обертальний рухи. Розглянемо спочатку поступальний рух. Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому довільна пряма, що проведена в цьому тілі, під час руху залишається завжди паралельною самій собі. Прикладами поступального руху твердого тіла може бути: рух шарнірного паралелограма 2 1 BO A O (рис. 2.5, а), який здійснює коловий поступальний рух; поступальний рух штанги кулачкового механізму (рис. 2.5, б), що здійснює зворотно-поступальний рух; рух педалі велосипеда відносно рами, поршня двигуна відносно циліндра, рух кузова автомобіля при прямолінійному русі і т.п. Таким чином, траєкторією руху точок тіла при поступальному русі можуть бути як пряма лінія, так і будь-які криві. Термін “поступальний рух” стосується тільки тіла, а не точки. При поступальному русі тіла всі його точки описують одинакові траєкторії і мають в кожну дану мить часу однакові за модулем і паралельно напрямлені швидкості та прискорення”. 131 Рис. 2.5 Розглянемо тіло, що рухається поступально і за деякій проміжок часу перейшло з одного положення в друге (рис. 2.6). Довільно проведена в тілі пряма AB при цьому залишиться паралельною самій собі і займе нове положення B A . Проведемо з довільної точки О радіуси – вектори B A r r , точок тіла А і В. Із трикутника ОАВ, що утворено на рис. 2.6, маємо: AB A B r r r (2.31) Згідно визначення поступального руху тіла вектор AB r , який з’єднує точки А і В і переміщується паралельно самому собі, є сталим вектором, тому що точки А і В належать твердому тілу: AB r = AB = const. Тобто, при поступальному русі тіла радіуси – вектори A r і B r довільних точок А і В, змінюючись за напрямком, будуть відрізнятися згідно (2.31) на один і той же самий сталий вектор AB r Отже, траєкторію руху точки В можна одержати, змістивши траєкторію точки А у напрямку вектора AB r на відстань B A , і тому ці траєкторії будуть тотожними. 132 Рис. 2.6 Визначимо швидкості точок A і B тіла. Для цього диференціюємо за часом вираз (2.31.): t d r d t d r d t d r d AB A B ) ( Оскільки AB r = const, друга складова правої частини цього виразу буде дорівнювати нулю: 0 ) ( t d r d AB , і остаточно маємо: t d r d t d r d A B , а це є швидкості точок А і В: A B (2.32) 133 Таким чином, швидкості точок А і В тіла, що рухається поступально, рівні за величиною і мають однаковий напрямок, оскільки вони розташовані на дотичних до однакових траєкторій руху і спрямовані в один і той же бік. Визначимо прискорення точок А і В. Після другого диференціювання за часом виразу (2.31) маємо: 2 2 2 2 2 2 t d r d t d r d t d r d AB A B Як і у попередньому випадку маємо 0 ) ( 2 2 t d r d AB , оскільки AB r = const. Тоді остаточно: 2 2 2 2 t d r d t d r d A B , або t d d t d d A B , і A B a a (2.33) Таким чином, поступальний рух тіла цілком визначається рухом будь-якої однієї його точки. Остаточно можна зробити висновок, що визначення поступального руху твердого тіла зводиться до визначення руху тільки однієї його точки, оскільки всі інші точки тіла рухаються ідентично. Внаслідок цього більшість задач з кінематики поступального руху тіла вирішується методами кінематики матеріальної точки. 134 § 7.2. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі. Закон обертального руху Обертальним рухом твердого тіла називається такий рух, при якому всі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній прямій, яка називається віссю обертання. Вісь обертання може знаходитись, як всередині самого тіла, так і бути зовні його. Для здійснення обертального руху твердого тіла, необхідно закріпити нерухомо будь-які дві його точки, наприклад, у підшипниках, тоді пряма, яка проходить крізь ці точки і буде віссю обертання. Розглянемо тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі z (рис. 2.7). Проведемо через вісь обертання z дві півплощини, одна з яких 1 є нерухомою, а друга півплощина 2 незмінно поєднана з тілом і обертається разом з ним. Тоді положення тіла у будь-який момент часу t однозначно визначає кут між півплощинами 1 і 2 , який називається кутом повороту тіла Рис. 2.7 135 При обертанні тіла навколо нерухомої осі z кут повороту є неперервною і однозначною функцією часу: t (2.34) Вираз (2.34) називається законом обертального руху тіла або кінематичним рівнянням обертального руху. Кут повороту тіла навколо нерухомої осі має знак, який залежить від напрямку обертання і визначається за наступним правилом. Кут повороту рахується додатним ( >0), якщо дивитися з додатного кінця осі z і бачити обертання рухомої площини 2 у напрямку проти руху годинникової стрілки. І навпаки, рахується від'ємним ( <0), коли цей напрямок обертання - за годинниковою стрілкою. Кут повороту тіла вимірюється у радіанах або обертах. Так як один оберт складає 2π рад, тому зв'язок між кутом повороту , що вимірюється у радіанах, і кутом повороту N, що вимірюється в обертах, буде таким: N 2 , де N - кількість обертів тіла. § 7.3. Кутова швидкість і кутове прискорення тіла, що обертається Кутова швидкість ω і кутове прискорення ε тіла, як і його кут повороту , являються кінематичними характеристиками його обертального руху. Визначимо ці кінематичні характеристики. 136 Кутова швидкість Кутова швидкість ω характеризує зміну кута повороту тіла за одиницю часу, тобто показує, як швидко тіло обертається. Якщо за деякій проміжок часу t t t 1 тіло здійснило поворот на кут 1 , то середня кутова швидкість c тіла за цей проміжок часу дорівнює відношенню: t с Для знаходження кутової швидкості тіла у будь-який момент часу t необхідно середню кутову швидкість c представити у вигляді границі, до якої наближається його значення, коли проміжок часу t прямує до нуля: t d d t o t lim (2.35) Таким чином, кутова швидкість тіла у будь-який момент часу дорівнює першій похідній від кута повороту за часом. Знак кутової швидкості ω визначає напрямок обертання тіла і залежить від знака кута повороту . Якщо 0 , то в даний момент часу тіло обертається в додатному напрямку, і, навпаки, якщо 0 , то тіло обертається у від'ємному напрямку. Одиниця виміру кутової швидкості : с рад , с 1 , 1 c Кутове прискорення Кутове прискорення тіла, що обертається навколо нерухомої осі 137 характеризує зміну кутової швидкості за одиницю часу. Якщо за проміжок часу t t t 1 кутова швидкість змінюється на величину 1 , то середнє кутове прискорення c тіла за цей проміжок часу буде дорівнювати: t с Для знаходження кутового прискоренням тіла у будь-який момент часу t необхідно с представити у вигляді границі, до якої наближається його значення, коли проміжок часу t прямує до нуля: t o t lim , або 2 2 t d d t d d (2.36) Таким чином, кутове прискорення тіла у будь-який момент часу чисельно дорівнює першій похідній від кутової швидкості або другій похідній від кута повороту за часом. Одиниця виміру кутового прискорення : 2 с рад , 2 1 с , 2 с Слід відмітити, що у випадку, коли модуль кутової швидкості з часом зростає ( 0 ), то обертання тіла буде прискореним, а коли зменшується ( 0 ), то обертальний рух буде сповільненим. Також зауважимо, що обертання тіла навколо осі буде прискореним, якщо знаки перед кутовою швидкістю ω і кутовим прискоренням ε будуть однаковими, і навпаки – сповільненим, якщо знаки перед вказаними величинами будуть різними. 138 § 7.4. Деякі випадки обертання тіла навколо нерухомої осі Розглянемо деякі випадки обертального руху в залежності від кінематичних характеристик тіла при обертанні навколо нерухомої осі. 1. Рівномірний обертальний рух Якщо кутова швидкість тіла залишається під час його руху сталою, то обертання називається рівномірним. При цьому кутова швидкість const , а 0 . Тоді кут повороту тіла визначається за формулою: t , (2.37) або кутова швидкість буде дорівнювати t У техніці швидкість рівномірного обертання тіл найчастіше визначають частотою обертання n , яка вимірюється у . хв . об Відомо, що при одному оберті тіло повертається на кут 2π, а при n обертах – на кут n 2 , причому цей поворот (кут n 2 ) відбувається за одну хвилину, або 60 сек. Тоді зв'язок між кутовою швидкістю і частотою n його обертання можна виразити наступною залежністю: n n n t 1 , 0 30 60 2 2. Рівнозмінний обертальний рух У такому випадку обертання кутове прискорення тіла const , тобто його кутова швидкість за рівні проміжки часу змінюється на одну 139 і ту ж величину. Оскільки const t d d , то запишемо цей вираз наступним чином: t d d (2.38) Для знаходження кутової швидкості візьмемо визначені інтеграли від лівої та правої частин виразу (2.38) у верхніх та нижніх межах зміни величин і t : t o t d d o Після інтегрування отримаємо t o , або t o , (2.39) де o - початкова кутова швидкість тіла. Далі використаємо вираз (2.35), згідно якого t d d . Маємо можливість з нього визначити кут . Для цього розділимо змінні: t d d (2.40) Замість підставимо у вираз (2.40) його значення (2.39): t d t t d d o (2.41) Як і в попередньому випадку, знайдемо кут повороту тіла , взявши визначені інтеграли від лівої і правої частин виразу (2.41) у верхніх та 140 нижніх межах зміни величин і t : t o t o o t d t t d d o (2.42) Після інтегрування отримаємо: 2 2 t t o o Остаточно матимемо: 2 2 t t o o (2.43) де o - початковий кут повороту тіла. Таким чином, при рівнозмінному обертальному русі твердого тіла кутова швидкість та кут повороту визначаються за допомогою формул (2.39) та (2.43). Слід зауважити, що знаки у правих частинах цих формул (перед ) показують характер цього руху. Якщо вони додатні, то обертальний рух тіла рівноприскорений, а якщо від'ємні, то рівносповільнений. Приклад Привідний вал механічного пристрою починає обертатись із стану спокою з кутовим прискоренням 5 , 7 рад/с 2 . Визначити кутову швидкість вала у кінці 15 секунди. Визначити також, скільки обертів зробить вал за ці 15 секунд. Розв'язання За умовою прикладу кутове прискорення вала є стала додатна величина, а тому його обертальний рух буде рівноприскореним. 141 Для визначення кутової швидкості і кута повороту вала скористуємось виразами (2.39) і (2.43) відповідно: 2 , 2 t t t o o o Слід зауважити, що, оскільки вал починає обертатись зі стану спокою, то його початкова кутова швидкість, як і початковий кут повороту, дорівнює нулю: 0 , 0 o o Підставимо далі у вираз для кутової швидкості значення кутового прискорення і часу 15 1 t c. Тоді кутова швидкість після п’ятнадцятої секунди буде дорівнювати: 5 , 112 15 5 , 7 1 t рад/с. Підставимо у вираз для кута повороту вала відомі величини і отримаємо його значення за 15 секунд: рад t 75 , 843 2 15 5 , 7 2 2 2 Для знаходження загального числа обертів вала скористаємось виразом: 2 N Звідси число обертів N вала за 15 с дорівнює: 134 28 , 6 75 , 843 2 об N 142 § 7.5. Кінематичні характеристики точок тіла, що обертається навколо нерухомої осі Крім загальних кінематичних характеристик тіла, що обертається навколо нерухомої осі – кутової швидкості та кутового прискорення – розглянемо кінематичні характеристики окремих його точок. До цих характеристик відносяться лінійні або колові швидкості точок та лінійні або колові прискорення точок тіла. Лінійна швидкість Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі z (рис. 2.8), то будь- яка його точка M , що знаходиться на відстані R від осі обертання z , описує коло радіуса R . Площина цього кола перпендикулярна осі z обертання, а центр C розташований на самій осі z . Рис. 2.8 143 При повороті тіла на кут d за проміжок часу t d точка M переміститься в положення 1 M на величину елементарної дуги dS кола: d R S d Тоді лінійна швидкість точки M за виразом (2.19) буде дорівнювати: R t d d R t d d R d t d dS , тобто R (2.44) Ця швидкість називається лінійною або коловою швидкістю точки, тіла, що обертається навколо нерухомої осі. Таким чином, лінійна швидкість точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, чисельно дорівнює добутку кутової швидкості тіла на радіус обертання (відстань від даної точки до осі обертання). Напрямок вектора лінійної швидкості – по дотичній до кола, що описує точка М (перпендикулярно радіусу обертання) у бік обертання тіла. Рис. 2.9 144 Оскільки для всіх точок тіла у даний момент часу кутова швидкість ω однакова, то їх лінійні швидкості пропорційні відстаням точок до осі обертання. Тоді для діаметра KL тіла, що обертається навколо осі, перпендикулярної до площі рисунка, буде мати місце лінійний характер розподілу швидкостей точок (рис. 2.9). Лінійне прискорення Лінійне прискорення точки М тіла, яке обертається навколо нерухомої осі (див. рис. 2.9), визначається рівняннями (2.29) і (2.30): . a , t d d a 2 n Із урахуванням виразу (2.44) та того, що ρ = R, отримаємо значення обертального, дотичного прискорення R t d d R t d R d a ) ( , (2.45) та доцентрового, нормального прискорення 2 2 2 R R R a n (2.46) При цьому дотичне прискорення a завжди спрямоване по дотичній до траєкторії руху точки M (перпендикулярно радіусу R ). Якщо обертання тіла прискорене, то напрямок a буде у бік вектора швидкості , якщо сповільнене – то проти. Нормальне прискорення n a завжди додатне і його вектор спрямований до центра кола, по якому рухається точка M 145 Повне прискорення a точки M буде дорівнювати геометричній сумі складових дотичного a і нормального n a прискорень. За модулем це прискорення дорівнює: 4 2 2 2 2 n 2 R R a a a (2.47) або . R a 4 2 (2.48) Напрямок вектора повного прискорення a точки M тіла із заданими кутовою швидкістю і кутовим прискоренням при її русі в площині рисунка (рис. 2.10), залежить від напрямку векторів дотичного a і нормального n a прискорень. Тоді кут відхилення вектора повного прискорення a від нормалі n до траєкторії руху точки визначається як: 2 2 R R a a tg n , (2.49) 2 arctg Рис. 2.10 146 Приклад Вантаж Р масою кг 100 m із стану спокою починає опускатись на тросі за допомогою механічного пристрою (рис. 2.11) згідно закону 2 t 8 , 0 S , де S (м) - відстань, яку пройшов вантаж від початкового положення, t (с) - час руху. В момент часу, коли вантаж пройде заданий шлях м 2 , 0 S 1 , визначити його швидкість і прискорення, а також кутову швидкість і кутове прискорення валів барабана і приводу та швидкість і прискорення точки М. Трос прийняти таким, що не розтягується. Рис. 2.11 Розв'язання За умовою вантаж P рухається поступально. Рівняння швидкості руху вантажу має вигляд: t 6 , 1 t 8 , 0 dt d dt dS V 2 P 147 Визначимо час, коли вантаж пройде шлях м 2 , 0 S 1 : . c 5 , 0 25 , 0 8 , 0 2 , 0 t ; t 8 , 0 2 , 0 ; t 8 , 0 S 1 2 1 2 1 1 В момент часу c 5 , 0 t 1 швидкість вантажу буде дорівнювати с / м 8 , 0 5 , 0 6 , 1 t 6 , 1 V 1 1 P Прискорення вантажу P : 2 P P с / м 6 , 1 t 6 , 1 dt d dt dV a В даному випадку прискорення вантажу не залежить від часу, тобто const с / м 6 , 1 a 2 1 P При опусканні вантажу барабан 1 механічного пристрою буде обертатися із кутовою швидкістю 1 ω , яка визначається: с рад r V P / 5 , 2 32 , 0 8 , 0 1 1 1 , де 1 P V – колова швидкість точки на ободі барабана (ця швидкість дорівнює швидкості вантажу P , так як за умовою задачі трос не розтягується), м r 32 , 0 1 – радіус барабана 1. Таку саму кутову швидкість буде мати колесо радіусом 3 r , оскільки воно жорстко з’єднано з барабаном і знаходиться з ним на одному валу: с рад / 5 , 2 1 3 , Аналогічно можна визначити кутові прискорення барабана і колеса: 148 2 1 1 1 / 5 32 , 0 6 , 1 с рад r a P , 2 1 3 / 5 с рад , Передаточне відношення при передачі обертального руху в механічному пристрої від ведучого колеса 2 приводу до веденого колеса 3 визначається як: 5 , 0 24 , 0 12 , 0 2 3 3 2 r r i Звідки можна знайти кутову швидкість і кутове прискорення вала приводу, на якому закріплено колесо 2: с рад i пр / 25 , 1 5 , 0 5 , 2 3 2 2 3 2 / 5 , 2 5 , 0 5 с рад i пр В момент часу c 5 , 0 t 1 визначимо колову швидкість точки М , яка знаходиться на ободі колеса 2: с м r V пр M / 6 , 0 24 , 0 5 , 2 2 2 1 , де м r 24 , 0 2 – радіус кола, по якому обертається точка М Вектор швидкості 1 M V спрямований по дотичній до колеса радіусом 2 r у бік його обертання. Визначимо також для c 5 , 0 t 1 прискорення точки М , знайшовши його тангенціальну і нормальну складові. Тангенціальна складова прискорення точки М буде дорівнювати: 2 2 2 1 / 6 , 0 24 , 0 5 , 2 с м r a пр M Вектор прискорення 1 M a спрямований по дотичній до колеса радіусом 2 r 149 у бік вектора швидкості 1 M V Нормальна складова прискорення точки М дорівнює: 2 2 2 2 2 1 / 375 , 0 24 , 0 25 , 1 с м r a пр n M Вектор прискорення n M a 1 спрямований по радіусу 2 r до центра колеса 2. Повне прискорення точки М : 2 2 2 2 1 2 1 1 / 71 , 0 375 , 0 6 , 0 ) ( ) ( с м a a a n M M M Напрямок вектора повного прискорення 1 M a визначається із геометричної суми його складових: n M M M a a a 1 1 1 |