Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва

• Название: Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
• Анкор: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Дата: 09.06.2018
• Размер: 6.79 Mb.
• Имя файла: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Тип: Навчальний посібник; #20141
• страница: 8 из 36

§ 5.6. Центри ваги деяких простих геометричних фігур
1. Центр ваги дуги кола
Рис. 1.44

103
Для дуги
AB
кола радіусом
R
, у якої центральний кут
B
A
O
дорівнює

2 (радіан) з віссю симетрії
x
O (рис. 1.44), центр ваги буде розташований на осі x (
0

C
y
).
Координата
C
x
буде дорівнювати


sin
R
x
C

(1.101)
2. Центр ваги трикутника
Рис. 1.45
Для трикутника, вершини якого у прийнятій системі координат
y
x
O
відповідають точкам з координатами




2 2
2 1
1 1
,
,
,
y
x
A
y
x
A
і


3 3
3
, y
x
A
(рис. 1.45) центр ваги C буде розташований у точці перетину його медіан.
Координати цієї точки у прийнятій системі координат визначається залежностями:




,
3 1
,
3 1
3 2
1 3
2 1
y
y
y
y
x
x
x
x
C
C






(1.102) де
3 2
1
,...,
,
y
x
x
- координати вершин трикутника.

104
Корисно також знати, що
;
3 1
;
3 2
;
3 1
;
3 2
;
3 1
;
3 2
3 3
3 3
3 3
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
B
A
CB
B
A
CA
B
A
CB
B
A
CA
B
A
CB
B
A
CA






3. Центр ваги сектора
Для сектора OAB радіуса
R
з центральним кутом

2 (радіан)
(рис. 1.46) центр ваги сектора лежить на осі його симетрії - бісектрисі кута
AOB. Якщо цю бісектрису прийняти за вісь x , то положення центра C визначається формулою:


sin
R
x
C
3 2

(1.103)
Рис. 1.46

105
Запитання для самоконтролю
1.
Що називають центром паралельних сил?
2.
За якими формулами визначаються координати центра паралельних сил?
3.
За якими формулами визначаються положення центра ваги тіла, об'єму, площі, лінії?
4.
Що таке центр ваги тіла?
5.
Як записати формули координат центра ваги тіла, об'єму, площі, лінії в
інтегральній формі?
6.
Які існують способи визначення координат центра ваги тіла?
7.
Як визначити координати центра ваги дуги кола?
8.
Як визначити координати центра ваги трикутника?
9.
Як визначити координати центра ваги сектора?

106

106
ЧАСТИНА ІІ. КІНЕМАТИКА
РОЗДІЛ 6
КІНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 6.1. Вступ до кінематики
Кінематика – це розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух матеріальних тіл з геометричної точки зору, тобто без врахування їх маси та діючих сил.
Кінематика являє собою вступ до динаміки, оскільки встановлення основних кінематичних понять необхідне для вивчення руху тіл з урахуванням діючих сил. Однак з іншого боку методи кінематики мають і самостійне практичне значення, наприклад передача руху.
Під рухом в теоретичній механіці розуміють зміну положення даного тіла в просторі з плином часу по відношенню до інших тіл.
Таким чином, рух тіл відбувається в просторі і часі. В кінематиці розглядається так званий “евклідовий простір” і за одиницю лінійного вимірювання простору прийнято 1 метр (
40 1
1
млн
м

частина земного меридіану). За одиницю часу прийнята 1 секунда (
4
,
86 1
1
тис
c

частина доби). Момент, з якого починається відлік часу, зветься початковим.
В початковий момент часу
0

t
Для того, щоб вивчати рух матеріальних тіл, необхідно мати якусь систему відліку (систему координат) і відносно неї і вивчати цей рух.
Однак, як відомо, в природі абсолютного руху немає. Будь-який рух є відносним. В кінематиці вивчається рух відносно поверхні землі (іноді разом із землею). В техніці вивчається рух деяких тіл всередині машини, а

107
тому рух розглядається по відношенню до рами машини, або до рами якогось робочого органу.
Основна задача кінематики зводиться до розгляду руху матеріальної точки, або твердого тіла і визначення їх кінематичних характеристик. До кінематичних характеристик відносяться – траєкторія руху, швидкість руху та прискорення руху.
Сформулюємо визначення цих характеристик.
Траєкторія руху – це неперервна лінія, по якій рухається
матеріальна точка в даній системі відліку (якщо мати на увазі тверде
тіло, то під траєкторією руху розуміють траєкторію руху його центру
ваги).
Ця лінія може бути заданою у вигляді якогось рівняння, або її треба визначити і побудувати. Якщо траєкторія руху є пряма лінія, то рух точки має назву прямолінійного, а якщо крива – криволінійного.
Швидкість – це величина, яка характеризує зміну шляху в одиницю
часу, тобто показує, як швидко точка, або тіло рухаються.
Швидкість позначається буквою V , вона є величиною векторною і вимірюється в




с
м
, або в




год
км
. До речі
год
км
с
м
36 10

Прискорення – це величина, що характеризує зміну швидкості за
одиницю часу.
Прискорення позначається буквою a , воно також є векторною величиною і вимірюється в




2
с
м
Кінематика поділяється на дві частини: кінематика матеріальної точки і кінематика твердого тіла.
Оскільки кожне тіло складається з матеріальних точок, то природньо почати кінематику з вивчення руху матеріальної точки.

108
§ 6.2. Кінематика матеріальної точки.
Способи завдання руху матеріальної точки
Для того, щоб вивчати рух матеріальної точки, необхідно вибрати спосіб його завдання. Існує декілька способів завдання руху матеріальної точки.
Кінематично задати рух або закон руху точки означає вказати такий спосіб, який дає можливість визначити положення цієї точки відносно даної системи відліку у будь-який момент часу.
Для завдання руху матеріальної точки можна застосувати один з трьох наступних способів:
1.
Векторний

2.
Координатний

3.
Натуральний.
Розглянемо послідовно вказані способи.
1.Векторний спосіб
Якщо з якого-небудь центру О провести радіус-вектор r у точку М, яка рухається, то його модуль і напрямок будуть залежати від часу, тобто радіус-вектор
r
буде деякою функцією часу
t
(рис. 2.1):
)
(
__
__
t
r
r

(2.1)
При умові, що ця функція часу відома, положення точки М може бути визначене в будь-який момент часу, і в цьому випадку говорять, що закон руху точкизаданий векторним способом.
Співвідношення (2.1) називається кінематичним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі.

109
Відповідно цьому, траєкторією АВ руху матеріальної точки М є
геометричне місце кінців радіус-вектора
r
або неперервна лінія, яку
описує точка під час свого руху відносно даної системи відліку.
Рис. 2.1
2. Координатний спосіб
При розгляданні руху точки М у системі відліку xOyz координати x,
у і z змінюються в часі, тобто координати точки М є деякими функціями часу
t
:
)
(
,
)
(
,
)
(
t
z
z
t
y
y
t
x
x



(2.2)
Якщо ці функції відомі, то положення точки М визначається в будь- який момент часу
t
, і тоді говорять, що закон руху матеріальної точки заданий координатним способом.

110
Рівняння (2.2) називають кінематичними рівняннями руху матеріальної точки у координатній формі.
Рівняння (2.2) фактично є рівняннями траєкторії руху матеріальної точки у параметричній формі, в яких роль параметра відіграє час
t
. Для знаходження траєкторії руху у звичайній формі необхідно виключити з рівнянь руху час t, тобто здобути залежність між самими координатами. Це можна зробити декількома способами. Наприклад, підстановкою або піднесенням обох частин рівнянь до квадрату та почленним додаванням
(якщо рівняння містять тригонометричні функції).
Слід зауважити, що у випадку руху матеріальної точки в одній площині
y
O
x
в рівняннях (2.2) закон зміни координати z вже не потрібний і рівняння (2.2) набувають такого вигляду:
).
(
),
(
t
y
y
t
x
x


(2.3)
У випадку прямолінійного руху матеріальної точки досить вибрати одну вісь координат, наприклад x
O , сумістивши її з напрямом руху, і цей рух буде описаний одним рівнянням:
)
(t
x
x

(2.4)
3. Натуральний спосіб
Якщо розглянути безпосередньо траєкторію точки
M
(рис. 2.1), то її відстань S по дузі траєкторії від деякого центра 0 (нуль), що має назву дугової координати, змінюється в часі, тобто є деякою функцією часу t :
 
t
S
S

(2.5)

111
При умові, що ця функція відома, говорять, що закон руху матеріальної точкизаданий натуральним способом.
Співвідношення (2.5) називається кінематичним рівнянням руху матеріальної точки у натуральній формі (або законом зміни криволінійної координати). Це фактично відстань рухомої точки
M
від початку відліку вздовж траєкторії руху.
§ 6.3. Взаємозв’язок між способами завдання руху
матеріальної точки
Для переходу від одного способу завдання руху матеріальної точки до іншого необхідно знайти залежності між основними параметрами цих рухів.
Оскільки радіус-вектор r може бути розкладений по координатним ортам
k
,
j
,
i
(одиничним векторам на відповідних осях
z
,
y
,
x
):
 
 
 
__
z
__
y
__
x
__
k
t
r
j
t
r
i
t
r
r



,
(2.6)
і його проекції
 
t
r
x
,
 
t
r
y
,
 
t
r
z
, як видно з рис. 2.1, дорівнюють координатам точки М, то взаємозв'язок між векторною і координатною формами завдання закону руху має наступний вираз:
__
__
__
__
)
(
)
(
)
(
k
t
z
j
t
y
i
t
x
r



,
(2.7) де
 
t
x
,
 
t
y
,
 
t
z
- поточні значення координат кінця радіус-вектора r або координати рухомої точки
M
Існує також взаємозв'язок між координатною і натуральною формами завдання закону руху.

112
Якщо заданий закон руху в координатній формі:
,
)
(
,
)
(
,
)
(
t
z
z
t
y
y
t
x
x



(2.8) то ці рівняння розглядають як рівняння руху точкив параметричній формі.
Для визначення рівняння траєкторії з виразів (2.8) виключають час як параметр, а для визначення функції
 
t
S
S

користуються відомими співвідношеннями для елемента дуги кривої:
,
2 2
2
dz
dy
dx
dS




(2.9) з якого





t
dt
z
y
x
S
0 2
2 2



,
(2.10) знак вибирають у залежності від напрямку додатного і від’ємного відліку дугової координати.
§ 6.4. Швидкість руху точки
Друга кінематична характеристика – швидкість руху матеріальної точки
M
, показує, як швидко і в якому напрямку змінюється її положення у просторі.
Швидкість – це векторна величина, яка характеризує степінь
змінювання переміщення за часом.
Для визначення цієї кінематичної характеристики розглянемо рух матеріальної точки М по довільній траєкторії АВ (рис. 2.2). Якщо за деякий проміжок часу t

точка з положення М переміститься в деяке інше

113
положення М
1
, то вектор
1
M
M
називається переміщенням точкиза час
t

, а відношення
t
M
M

1
є середньою швидкістю точкиза проміжок часу
t

:
t
M
M
1
с



(2.11)
За напрямком вектор
c

буде співпадати з вектором
1
M
M
, тобто він розташований вздовж хорди
1
MM
у бік руху точки
M
Рис. 2.2
Якщо розглянути границю середньої швидкості
c

за умовою, що t

прямує до нуля (
0


t
), то швидкість точки
M
у будь-який момент часу
t
(миттєва швидкість) дорівнює:
t
М
М
lim
lim
1
o
t
c
o
t









(2.12)

114
Оскільки в граничному випадку (2.12) вектор переміщення
1
MM спрямований по дотичній до траєкторії точки, то швидкість

(м/с) точки
М
також є вектор, спрямований по дотичній до траєкторії точкиу бік її руху (рис. 2.2).
Якщо закон руху точкизаданий у векторній формі, тоді за формулою (2.1) отримаємо:
t
d
r
d
t
r
lim
t
M
M
lim
o
t
1
o
t











(2.13)
Таким чином, при векторному способі завдання руху матеріальної
точки її швидкість є першою похідною від радіус-вектора
r
точки за
часом t .
Якщо закон руху точкизаданий у координатній формі, тоді, враховуючи формули (2.7) і (2.13), а також те, що одиничні вектори
,
, j
i
і
k постійні за напрямком, одержуємо для швидкості точкинаступний вираз:
k
t
d
z
d
j
t
d
y
d
i
t
d
x
d
t
d
k
t
z
j
t
y
i
t
x
d
t
d
r
d













)
(
)
(
)
(

(2.14)
З іншого боку, вектор швидкості

(як і будь-який інший вектор) можна у прийнятій системі координат
z
y
x
O
представити через його проекції на осі координат:
k
j
i
z
y
x







,
(2.15) де
,
,
y
x


і
z

- проекції вектора швидкості на відповідні осі координат.
Із виразів (2.14) і (2.15) бачимо, що є можливість прирівняти

115
коефіцієнти при одиничних векторах
k
,
j
,
i
і отримати наступніі вирази для проекцій вектора швидкості на відповідні вісі координат:
,
,
t
d
z
d
t
d
y
d
t
d
x
d
z
y
x






(2.16)
Таким чином, проекції вектора швидкості матеріальної точки на
координатні осі дорівнюють першим похідним за часом від відповідних
координат.
Модуль вектора швидкості

матеріальної точки можна знайти через його проекції на координатні осі
z
,
y
,
x
:
2 2
2
z
y
x







(2.17)
Напрямок вектора швидкості

визначається через напрямні косинуси кутів, які цей вектор утворює з відповідними осями координат:






,
cos
,
,
cos
,
,
cos
^
^
^









z
y
x
z
y
x



(2.18)
Знаючи напрямні косинуси, через арккосинуси можна знайти і самі кути.
У випадку руху матеріальної точки в одній площині у виразах (2.16),
(2.17) і (2.18) залишається дві координати, а у випадку прямолінійного руху – одна координата.

116
Якщо закон руху точки заданий у натуральній формі, тобто задана траєкторія руху точки (рис. 2.2) і функція відстаней (дугова координата), то проміжку часу
t

відповідає зміна криволінійної координати
S
S
S



1
точки
M
. Тоді з виразу (2.5) випливає:
S
t
d
S
d
t
S
o
t








lim

(2.19)
Модуль швидкості матеріальної точки при натуральному способі
завдання її руху дорівнює першій похідній за часом від закону руху точки.
Похідна по часу визначає чисельну алгебраїчну величину швидкості.
Якщо

>0, то вектор швидкості спрямований у додатному напрямку відліку і точка рухається у бік зростання дугової координати S, а якщо

<0, то протилежно.