Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва

• Название: Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
• Анкор: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Дата: 09.06.2018
• Размер: 6.79 Mb.
• Имя файла: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Тип: Навчальний посібник; #20141
• страница: 9 из 36

§ 6.5. Прискорення руху точки
Третя кінематична характеристика – прискорення руху матеріальної точки
M
, показує, як швидко і в якому напрямку змінюється її швидкість руху.
Прискорення – це векторна величина, яка характеризує степінь
змінювання вектора швидкості за часом.
Тоді для матеріальної точки
M
при зміні її швидкості на


за проміжок часу t

(рис. 2.3) їх відношення є середнім прискоренням точки за цей час t

:
t
a
c




(2.20)
Вектор
c
a
буде паралельним вектору



117
Для визначення миттєвого прискорення матеріальної точки необхідно розглянути нескінченно малий проміжок часу (тобто t

→0), а весь вираз (2.20) звести до границі:
t
d
d
t
a
a
o
t
c
o
t











lim lim
(2.21)
Тобто, миттєве прискорення точки дорівнює похідній від вектора
швидкості точки за часом.
Рис. 2.3
Якщо закон руху заданий у векторній формі, то за формулами (2.21) і
(2.13) одержимо:
2 2
t
d
r
d
t
d
d
a



(2.22)
Таким чином, при векторному способі завдання руху матеріальної
точки її прискорення дорівнює першій похідній від швидкості руху точки
за часом, або другій похідній від радіус-вектора точки за часом.

118
За напрямком вектор
a
буде спрямований у бік угнутості траєкторії точки
M
, тобто до центра кривизни траєкторії. Більш детально про напрямок вектора прискорення матеріальної точки буде далі.
Якщо закон руху точки заданий у координатній формі, то з формул
(2.7) і (2.22) одержимо для прискорення точки наступний вираз:
k
t
d
z
d
j
t
d
y
d
i
t
d
x
d
t
d
k
t
z
j
t
y
i
t
x
d
t
d
r
d
a
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
)
(
)
(
)
(













(2.23)
З іншого боку, вектор прискорення
a
можна у прийнятій системі координат
z
y
x
O
представити через його проекції на осі координат:
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x



(2.24)
Якщо порівняти (2.23) і (2.24), то можна написати такі співвідношення:
,
,
2 2
2 2
2 2
t
d
z
d
a
t
d
y
d
a
t
d
x
d
a
z
y
x



(2.25)
Таким чином, проекції вектора прискорення матеріальної точки на
осі координат дорівнюють другим похідним за часом від відповідних
координат.
Модуль вектора
a
можна знайти через його проекції на осі
z
,
y
,
x
:
2
z
2
y
2
x
a
a
a
a



(2.26)

119
Напрямок вектора
a
визначається через напрямні косинуси:




 
.
a
a
a
,
z
cos
,
a
a
a
,
y
cos
,
a
a
a
,
x
cos
z
^
y
^
x
^



(2.27)
Використовуючи значення напрямних косинусів, через арккосинуси знаходять самі кути.
У випадку руху матеріальної точки в одній площині у виразах (2.25),
(2.26) і (2.27) залишається дві координати, а у випадку прямолінійного руху – одна координата.
Якщо закон руху точки заданий у натуральній формі, тобто задані траєкторія і закон руху S (рис. 2.4), то повне прискорення точки виражається геометричною сумою нормального і дотичного прискорень:
n
a
a
a



(2.28)
Рис. 2.4

120
Дотичне прискорення

a
спрямоване по дотичній

до траєкторії руху точки і характеризує зміну швидкості за величиною в одиницю часу
t
:
2 2
t
d
S
d
t
d
d
a




(2.29)
Дотичне прискорення матеріальної точки дорівнює першій похідній
від функції швидкості за часом або другій похідній від закону руху.
Нормальне прискорення
n
a
спрямоване по нормалі
n
до траєкторії у бік вгнутості останньої і характеризує зміну швидкості за напрямком в одиницю часу
t
:


2
n
a

(2.30)
Нормальне прискорення матеріальної точки дорівнює квадрату
швидкості, поділеному на радіус кривизни траєкторії у даній точці.
Вектор нормального прискорення
n
a
завжди спрямований вздовж нормалі до центра кривизни в даній точці і його величина завжди додатна, тому що містить у чисельнику вираз
2

Дотичне прискорення

a може бути як додатним (у випадку прискореного руху), так і від'ємним (у випадку сповільненого руху).
Вектор повного прискорення
a
визначається геометричним додавання векторів

a
та
n
a
і є діагоналлю прямокутника побудованого на вказаних векторах, як на сторонах (рис. 2.4). Модуль повного прискорення
a дорівнює:
2 2
2 2
2




















t
d
d
a
a
a
n

121
Кут

між вектором
a
і нормаллю n визначається за тригонометричним виразом:
n
a
a
tg



§ 6.6. Деякі випадки руху матеріальної точки
1. Прямолінійний рух
Радіус кривизни траєкторії, якою є пряма лінія, дорівнює



, тому:
0
a
2
n




,
t
d
d
a
a




Тобто, швидкість

руху матеріальної точки змінюється лише по величині за модулем.
Якщо такий рух є ще і рівномірним, (
const


), то прискорення матеріальної точки будуть дорівнювати:
0
,
0
,
0 2





a
a
t
d
d
a
n




2. Рівномірний криволінійний рух
У даному випадку модуль швидкості
const


, а радіус кривизни

122
траєкторії



, тому:
.
a
,
0
t
d
d
a
2
n







Тобто вектор швидкості

, змінюється лише за напрямком.
3. Рівнозмінний рух
У випадку, коли прискорення

a
є величиною сталою, рух точки буде рівнозмінним (тобто, за рівні проміжки часу швидкість матеріальної точки буде змінюватись на одну і ту ж величину).
Оскільки
const
t
d
d
a




, використаємо це для визначення швидкості руху точки.
t
d
a
d




Інтегруємо ліву і праву частини цього виразу в межах від початкового значення швидкості
o

при
0

t
до кінцевого значення

на момент часу
t
:



t
o
t
d
a
d
o




, звідки
t
a
o





, або
t
a
o





,

123
де
o

- початкова швидкість руху матеріальної точки.
Використаємо далі вираз
t
d
S
d


, з якого маємо можливість визначити S
d . Переміщення буде дорівнювати:
t
d
S
d


Замість

підставимо в останній вираз отримане його значення:
t
d
t
a
t
d
S
d
o




Як і у попередньому випадку, знайдемо переміщення S , взявши визначені інтеграли від лівої і правої частин останнього виразу в межах від початкового значення
o
S
переміщення точки до кінцевого S :





t
o
t
o
o
S
S
t
d
t
a
t
d
S
d
o


, звідки
2 2
t
a
t
S
S
o
o





Остаточно останній вираз можна переписати так
2 2
t
a
t
S
S
o
o





, де
o
S
- початкове переміщення точки.
Таким чином, при рівнозмінному русі матеріальної точки її швидкість та переміщення визначаються за допомогою знайдених виразів.
Слід зауважити, що знаки у правих частинах цих формул (перед

a
) визначають характер рівнозмінного руху. Так, якщо вони додатні, то рух точки є рівноприскореним, а якщо від'ємні, то – рівносповільненим.

124
§ 6.7. Приклади визначення кінематичних параметрів
матеріальної точки
Приклад
Рух матеріальної точки здійснюється у площині
y
O
x
і заданий рівняннями:
м
,
t
12
y
,
t
2
x
2


, t - в секундах. Визначити траєкторію руху точки.
Розв'язання
Траєкторію руху матеріальної точки можна визначити двома способами: а) задати різні моменти часу та зобразити координати точки х, у на графіку; б) виключити час t із заданих рівнянь руху. Так, з першого рівняння час буде дорівнювати
2
x
t

. Тоді після підстановки часу у друге рівняння, матимемо:
2 2
3 4
12
x
x
y


Таким чином, траєкторією руху точки є парабола з вершиною, яка розташована в початку координат, і віссю симетрії y
O .
Приклад
Палець кривошипу двигуна рухається відповідно заданих рівнянь:
,
cos
,
sin
t
b
y
t
b
x




де x і y - у метрах; t - у секундах; b і

- сталі величини.
Визначити траєкторію руху, швидкість та прискорення пальця.

125
Розв'язання
Для визначення рівняння траєкторії руху пальця кривошипа треба виключити з заданих рівнянь руху параметр часу
t
. Спочатку визначимо з заданих рівнянь тригонометричні функції cos
,
sin
b
y
t
b
x
t




Оскільки тригонометричні функції є функціями одного аргументу, то піднесемо до квадрату ліві та праві частини цих виразів і додамо їх почленно:
1
cos sin
2 2
2 2
















b
y
b
x
t
t


Ліва частина останнього виразу дорівнює одиниці, оскільки
1
t
cos
t
sin
2
2




, тоді
1 2
2 2


b
y
x
, або
2 2
2
b
y
x


Таким чином, з останнього виразу бачимо, що траєкторією руху пальця кривошипа є коло радіуса b з центром у початку координат.
Для визначення швидкості руху знайдемо спочатку проекції швидкості руху пальця на координатні осі:
t
b
t
d
x
d
x



cos



,

126
t
b
t
d
y
d
y



sin




Модуль швидкості руху буде дорівнювати

 









b
t
b
t
b
y
x








2 2
2 2
sin cos
Таким чином, з останнього виразу бачимо, що палець рухається зі сталою швидкістю, яка дорівнює

b .
Знайдемо прискорення пальця кривошипу. Також визначимо його через проекції на осі координат. Для цього візьмемо другі похідні від заданих координат руху: cos
,
sin
2 2
2 2
2 2
t
b
t
d
d
t
d
y
d
a
t
b
t
d
d
t
d
x
d
a
y
y
x
x
















Повне прискорення буде дорівнювати:

 

2 2
2 2
2 2
2
cos sin





b
t
b
t
b
a
a
a
y
x









Оскільки палець кривошипу рухається по колу, тобто по криволінійній траєкторії руху сталого радіуса b , то його прискорення можна було б визначити, якщо використати вирази, що описують натуральний спосіб задання руху матеріальної точки. Дотичне прискорення пальця кривошипу буде дорівнювати нулю, оскільки швидкість
const
b


. А саме:
 
0



t
d
b
d
t
d
d
a



Нормальне прискорення визначимо так:

127
 
2
2
2
n
b
b
b
a







Оскільки дотичного прискорення немає, то повне прискорення дорівнює нормальному:
2

b
a
a
n


Таким чином, як бачимо, прискорення пальця кривошипу, які визначені різними способами, співпадають.
Приклад
Точка на ободі барабана механізму в період розгону рухається згідно рівняння
3 1
,
0
t
S


( S - у метрах,
t
- у секундах). Радіус барабана дорівнює
5 0,
R

м. Визначити дотичне і нормальне прискорення точки в момент, коли її швидкість дорівнює
30


м/с.
Розв'язання
Рівняння руху точки задане натуральним способом, а тому швидкість можна визначити так:


2 3
3
,
0 1
,
0
t
t
d
t
d
t
d
s
d






По заданому значенню швидкості точки
30


м/с знайдемо час.
Підставимо значення цієї швидкості в отриманий вираз і знайдемо
t
:
2 3
,
0 30
t


, звідки

128
10 3
,
0 30


t
c .
Дотичне прискорення точки буде дорівнювати:


t
t
t
d
d
t
d
d
a
6
,
0 3
,
0 2






, або через 10 сек
60 10 6
,
0
)
10
(




a
2
с
м
Нормальне прискорення визначимо так:


1800 5
,
0 30 5
,
0 3
,
0 2
2 2
2





t
R
a
n

2
с
м
Знак "+" перед дотичним прискоренням

a
означає, що барабан зернозбирального комбайна перебуває у стані розгону, що відповідає умові задачі.
Запитання для самоконтролю
1.
Що вивчає кінематика?
2.
У чому полягають основні задачі кінематики?
3.
Які існують способи завдання руху точки?
4.
Що таке закон руху матеріальної точки?
5.
Яка залежність між радіус-вектором точки та її координатами?
6.
Як спрямовується вектор швидкості точки?

129
7.
В яких одиницях вимірюються координати, швидкості та прискорення точки?
8.
Як визначаються положення, швидкість і прискорення точки при векторному способі завдання руху?
9.
Як визначаються положення, швидкість і прискорення точки при координатному способі завдання руху?
10.
Які потрібні умови для завдання руху натуральним способом?
11.
Як визначається швидкість точки за натуральним описом руху?
12.
Яким чином характеризує рух дотичне прискорення точки?
13.
Що характеризує нормальне прискорення точки?

130
РОЗДІЛ 7
КІНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА.
НАЙПРОСТІШІ ВИДИ РУХУ