Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 8.7. Миттєвий центр швидкостей плоскої фігури При визначенні швидкостей точок плоскої фігури також використовують поняття миттєвого центра швидкостей, в основу якого покладене ствердження, що плоскопаралельний рух можна розглядати, як послідовні миттєві безперервні пороти фігури навколо миттєвих центрів обертання. Спочатку покажемо можливість здійснення кінцевого переміщення плоскої фігури шляхом її повороту відносно певним шляхом вибраної точки. Для цього розглянемо наступну теорему: Довільне переміщення плоскої фігури в її площині із одного положення в інше можна здійснити шляхом одного повороту в цій площині навколо точки Р, яка є центром кінцевого обертання. Припустимо, що фігура, яка має відрізок АВ, незмінно зв’язаний з нею, здійснює рух у площині рисунка і перейшла із першого положення в друге, а вказаний відрізок зайняв положення А 1 В 1 (рис. 2.20). З'єднаємо прямими лініями точки A і 1 A , а також B і 1 B . Поділимо навпіл відрізки 1 A A і 1 B B , отримуючи точки C і 1 C , через які встановимо перпендикуляри до прямих 1 A A і 1 B B . Перпендикуляри перетинаються у точці Р. З'єднаємо з точкою P кінці відрізків АВ і А 1 В 1 і отримаємо на схемі два трикутника АВР і А 1 В 1 Р. Доведемо, що вказані трикутники дорівнюють. Трикутники АА 1 Р та ВВ 1 Р рівнобедрені, оскільки для них відстані CP і 1 CP є одночасно і висотою, і медіаною. Крім цього дані трикутники мають спільну вершину – точку Р. Тому для рівнобедрених трикутників АР = А 1 Р, ВР = В 1 Р. Якщо врахувати, що 1 1 B A B A (один і той же відрізок), то трикутник ABP дорівнює трикутнику P B A 1 1 і якщо повернути трикутник ABP на кут , то він співпаде з трикутником P B A 1 1 165 Рис. 2.20 Отже, доведено, що із одного положення в друге плоска фігура може бути переведена шляхом одного повороту на кут навколо точки P Наведений доказ буде справедливим і в тому випадку, коли переміщення плоскої фігури відбудеться за нескінченно малий проміжок часу. Тобто, в кожну мить часу (при 0 t ) буде відбуватися обертання плоскої фігури навколо її миттєвого центру, який називають миттєвим центром швидкостей. При переміщенні плоскої фігури положення її миттєвого центру швидкостей безперервно змінюється. Кожному моменту часу (миті) відповідає своє положення миттєвого центру швидкостей; на це і вказує сама назва « миттєвий » центр швидкостей. Розглядаючи в кожну мить складний плоскопаралельний рух як найпростіший – обертальний, є можливість застосувати для швидкостей точок плоскої фігури всі властивості їх обертального руху навколо 166 миттєвого центра швидкостей. Цілком зрозуміло, що лінійна швидкість точки, що є в даний момент миттєвим центром швидкостей, буде дорівнювати нулю, а всі інші точки фігури рухаються відносно неї обертально з векторами швидкостей, перпендикулярними до прямих, проведених із миттєвого центра швидкостей до відповідної точки. Рис. 2.21 Знайдемо миттєвий центр швидкостей для плоскої фігури при нескінченно малому повороті її прямої із положення AB в положення 1 1 B A (рис. 2.21). Траєкторії обертального руху точок A і B покажемо пунктирами. Оскільки положення відрізка AB є нескінченно близьким до положення 1 1 B A , то хорди 1 AA і 1 BB прямують до дотичних, уздовж яких і розташовані вектори швидкості точок А і B цієї фігури, які відповідно 167 дорівнюють А і B . Встановлюючи перпендикуляри до векторів швидкостей А і B , отримаємо точку їх перетину P . Ця точка і буде миттєвим центром швидкостей. Швидкість точки P при такому русі фігури дорівнює нулю і всі інші точки фігури в даний момент часу обертається навколо неї із кутовою швидкістю , яку можна знайти за відомою із обертального руху формулою: РВ PA В A , де А , B - модулі швидкостей точок А і В плоскої фігури, PA , PB - відповідні відстані від миттєвого центру швидкостей P до точок А і В Таким чином, для плоскопаралельного руху плоскої фігури, який розглядається в кожен момент часу як миттєве обертання навколо миттєвого центру швидкостей, можна зробити наступні висновки: 1. Миттєвим центром швидкостей називається точка рухомої плоскої фігури, лінійна швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю; 2. Миттєвий центр швидкостей знаходиться на перетині перпендикулярів, проведених із довільних точок плоскої фігури до напрямку їх лінійних швидкостей; 3. Лінійні швидкості довільних точок плоскої фігури дорівнюють добутку кутової швидкості на відповідні відстані від миттєвого центра швидкостей до цих точок: , АР А ВР В 168 § 8.8. Деякі випадки визначення положення миттєвого центра швидкостей Розглянемо декілька випадків визначення положення миттєвого центра швидкостей плоскої фігури (рис. 2.22): 1. Якщо відомі вектор швидкості А будь – якої точки А фігури і кутова швидкість обертання фігури (рис. 2.22, а), то миттєвий центр швидкостей P лежить на перпендикулярі, опущеному із точки А до напряму вектора її швидкості на відстані: A AP , причому так, щоб напрям обертання навколо миттєвого центра швидкостей і напрям швидкості точки збігались. 2. Якщо відомі напрями векторів швидкостей будь – яких двох точок фігури (рис. 2.22, б), то миттєвий центр швидкостей знаходиться на перетині перпендикулярів, побудованих з цих точок до векторів їх швидкостей. 3. Якщо вектори швидкостей двох точок фігури паралельні і спрямовані в один бік, а самі точки не лежать на одному перпендикулярі до напрямів їх швидкостей (рис. 2.22, в), то миттєвий центр швидкостей перебуває в нескінченності. В цьому випадку швидкості усіх точок фігури такі ж самі, якби фігура мала миттєвий поступальний рух, тобто швидкості всіх її точок в даний момент однакові і кутова швидкість її дорівнює нулеві: 0 В А 169 Рис. 2.22 170 4. Якщо вектори швидкостей двох точок фігури паралельні, спрямовані в один бік і лежать на одному перпендикулярі, а їх модулі не однакові (рис. 2.22, г), то миттєвий центр швидкостей знаходиться у точці перетину прямої, що з’єднує кінці цих векторів швидкостей із вказаним вище перпендикуляром. Тоді, як бачимо з (рис. 2.22, г), матимемо співвідношення: B A BP AP 5. Якщо вектори швидкостей двох точок фігури паралельні, спрямовані у різні боки (рис. 2.22, д) і лежать на одному перпендикулярі (модулі швидкостей можуть бути однакові, або різні), то миттєвий центр швидкостей також знаходиться у точці перетину прямої, що з’єднує кінці цих векторів з вказаним вище перпендикуляром. В даному випадку співвідношення між швидкостями точок фігури і відстанями до миттєвого центру швидкостей, яке визначено у попередньому випадку, зберігається. 6. При коченні фігури (наприклад, колеса) без ковзання по деякій нерухомій кривій миттєвим центром швидкостей буде точка дотику фігури з цією нерухомою кривою (рис. 2.22, ж), а рух всіх інших точок буде обертальним навколо точки P При цьому PA A ; PB B ; PC C , кутова швидкість фігури в кожний даний момент часу дорівнює відношенню модуля швидкості будь- якої точки фігури до відстані від цієї точки до миттєвого центру швидкостей: R CP PA C C A 171 § 8.9. Миттєвий центр прискорень Крім миттєвого центра швидкостей в кожний момент часу плоскопаралельного руху фігури в її площині існує також миттєвий центр прискорень Q . Миттєвим центром прискорень називається точка плоскої фігури, прискорення якої у даний момент часу дорівнює нулю, називається Слід відразу зауважити, що положення миттєвого центра прискорень Q і миттєвого центра швидкостей P у даний момент часу не співпадають. Знайдемо положення миттєвого центра прискорень (точку Q ), якщо відомі прискорення A a точки A , кутова швидкість і кутове прискорення фігури (рис. 2.23). Рис. 2.23 Приймемо точку A за полюс і використаємо вирази, що визначають прискорення точки Q плоскої фігури в її відносному обертальному русі навколо полюса A . Тоді миттєвий центр прискорень (точка Q ) буде 172 лежати на прямій B A , яка проведена під кутом від точки A до вектора QA a . Тангенс цього кута дорівнює: 2 tg При цьому пряма B A повинна бути відхилена від напряму вектора A a завжди у бік напрямку кутового прискорення (тобто у бік обертання тіла в разі, коли обертання є прискореним, або у бік, протилежний напрямку обертання, якщо цей рух є уповільненим). На рис. 2.23 вибраний випадок прискореного обертання тіла навколо точки A На проведеній прямій B A необхідно відкласти відрізок Q A , величина якого дорівнює: 4 2 A a Q A Отже, на рис. 2.23 отримаємо, миттєвий центр прискорень Q . Якщо точку Q вибрати за полюс, то оскільки 0 Q a , прискорення будь-якої іншої точки M тіла буде дорівнювати: MQ MQ Q M a a a a , 4 2 M Q a M Таким чином, прискорення будь-якої точки тіла дорівнює її прискоренню у обертальному русі навколо миттєвого центра прискорень. З наведених останніх виразів зрозуміло, що: ... QC a QA a QM a C A M 173 Запитання для самоконтролю 1. Визначте плоскопаралельний рух тіла, наведіть приклади з техніки. 2. На які два прості рухи розкладається плоскопаралельний рух? 3. Чи залежить обертальна частина плоскопаралельного руху від вибору полюса? 4. Які кінематичні рівняння плоскопаралельного руху тіла знаєте? 5. Як визначити швидкості і прискорення точок тіла, яке рухається плоскопаралельно? 6. Чому дорівнюють проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на лінію, що їх з’єднує? 7. Що таке миттєвий центр швидкостей? Доведіть його існування. 8. Які способи для визначення положення миттєвого центру швидкостей знаєте? 9. Як визначити швидкість точки тіла за допомогою миттєвого центру швидкостей? 10. Що таке миттєвий центр прискорень? Доведіть його існування. 11. Сформулюйте теорему про кінцевий поворот плоскої фігури. 174 РОЗДІЛ 9 СКЛАДНИЙ РУХ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ § 9.1. Поняття про абсолютний, відносний і переносний рух В деяких випадках визначення кінематичних характеристик матеріальної точки доцільно одночасно розглядати її рух по відношенню до двох систем відліку, одна з яких умовно рахується нерухомою, а друга здійснює заданий рух відносно першої. В такому випадку йдеться про складний рух матеріальної точки. Рух точки відносно нерухомої системи відліку називається абсолютним. Рух точки по відношенню до рухомої системи відліку називається відносним. Рух точки разом з рухомою системою відліку відносно нерухомої називається переносним. Фактично це рух самої рухомої системи, в якій знаходиться точка, відносно нерухомої. Таким чином, абсолютний рух матеріальної точки буде складним, оскільки він складається із відносного руху точки в рухомій системі координат і переносного руху точки разом з рухомою системою координат відносно нерухомої. Отже складний рух точки – це такий, при якому точка приймає участь одночасно у відносному і переносному рухах. Прикладом складного руху є рух людини, як матеріальної точки, по кораблю, який рухається відносно берега. При цьому рух людини відносно берега буде абсолютним, рух людини по кораблю – відносним, рух корабля разом з людиною відносно берега – переносним. Швидкості та прискорення абсолютного руху точки позначаються відповідно а , , відносного руху – r r а , (від relative – відносний), переносного руху – e e a , (від exporter – захопити). 175 § 9.2. Визначення абсолютної швидкості та прискорення у складному русі матеріальної точки Вектор абсолютної швидкості матеріальної точки у складному її русі визначається за теоремою про додавання швидкостей. Наведемо дану теорему (без доведення): Абсолютна швидкість матеріальної точки у складному її русі дорівнює геометричній сумі її переносної і відносної швидкостей: r e (2.60) Вираз (2.60) називають паралелограмом швидкостей. Коли кут o r e 90 ) , ( ^ , то модуль абсолютної швидкості дорівнює: 2 2 r e У загальному випадку, якщо o r e 90 ) , ( ^ , то модуль абсолютної швидкості руху матеріальної точки визначається за теоремою косинусів: ) , ( cos ^ 2 2 r e r e r e (2.61) Вектор абсолютного прискорення матеріальної точки при складному її русі визначається за теоремою Коріоліса. Приведемо цю теорему (без доведення): Абсолютне прискорення матеріальної точки при довільному переносному русі дорівнює геометричній сумі трьох прискорень: переносного, відносного і додаткового прискорення, яке називається поворотним прискоренням або прискоренням Коріоліса. k r e a a a a (2.62) 176 § 9.3. Модуль, напрямок і фізичні причини виникнення прискорення Коріоліса Розглянемо докладно останню складову рівняння (2.62) – прискорення Коріоліса і його властивості. Прискорення Коріоліса дорівнює подвійному векторному добутку векторів переносної кутової швидкості і відносної швидкості точки. r e k a 2 При цьому за модулем цей векторний добуток дорівнює: ^ , sin 2 r e r e k a (2.63) З виразу (2.63) видно, що модуль прискорення Коріоліса дорівнює нулю ( 0 k a ) в наступних випадках: 1. 0 e – переносний рух не є обертальним, тому прискорення Коріоліса називають також поворотним прискоренням; 2. 0 r – рух точки в даний момент часу не є складним; 3. o r e 0 , ^ , або o r e 180 , ^ – вектори переносної кутової швидкості і відносної швидкості паралельні. Модуль прискорення Коріоліса буде максимальним, якщо кут між векторами e і r складає 90 o або 270 o , в цьому випадку: r e k a 2 Напрямок прискорення Коріоліса знаходять двома методами: за векторним добутком двох векторів і фізичним – способом Жуковського. За першим методом розглянемо тіло S, що обертається навколо осі z проти напряму хода годинникової стрілки. Це є тіло переносу і вектор e 177 спрямований вгору вздовж осі z (рис. 2.24). Незалежно по тілу S за своєю траєкторією рухається точка М зі швидкістю r (вектор АМ ). Перенесемо умовно вектор e у точку М. Вектор прискорення Коріоліса k a , як підсумковий вектор векторного добутку, буде перпендикулярним площині, яку утворюють ці вектори (паралелограм МАВС). Визначимо, чи спрямований цей вектор до нас, чи від нас. У даному випадку (рис. 2.24) вектор k a спрямований до нас, тому що найкоротший перехід від вектора e до вектора r відбувається проти напряму хода годинникової стрілки. Рис. 2.24 Таким чином, вектор прискорення Коріоліса перпендикулярний площині, яку утворюють вектори переносної кутової швидкості і відносної швидкості, і спрямований у той бік, звідки бачимо, що найкоротший перехід від вектора кутової швидкості до вектора відносної швидкості відбувається проти ходу годинникової стрілки. За методом Жуковського вектор відносної швидкості r необхідно спроектувати на площину , яка перпендикулярна осі переносного 178 обертання ( e ), а потім повернути проекцію r у площині на кут o 90 у напрямку переносного обертання (рис. 2.25). Рис. 2.25 Неважко зрозуміти, що у плоских механізмах, які є об’єктом вивчення теорії механізмів і машин, вектор r завжди буде розташований у площині руху механізму. А тому для визначення напрямку прискорення Коріоліса досить повернути вектор r на o 90 у напрямку переносного повороту e Існують дві фізичні причини виникнення прискорення Коріоліса: – зміна напрямку вектора відносної швидкості матеріальної точки внаслідок переносного обертання; – зміна модуля і напрямку вектора переносної швидкості точки внаслідок її відносного руху ( так як відстань 1 OM OM ). Так, розглянемо розташовану у площині рисунка пластину, яка рівномірно обертається у цій площі навколо вертикальної осі із кутовою швидкістю e (напрямок обертання показаний стрілкою). По пластині уздовж її радіуса прямолінійно рухається матеріальна точка М із сталою відносною швидкістю r (рис. 2.26). За деякий час пластина повернеться 179 на кут і точка М опиниться у положенні М 1 на більшій відстані від осі обертання О. В результаті вектор r повернеться на кут , а вектор переносної швидкості е також повернеться і збільшиться за модулем. Отже, прискорення Коріоліса характеризує новий кінематичний ефект, який виникає внаслідок взаємодії, взаємовпливу векторів відносної і переносної швидкостей при обертальному переносному русі. Рис. 2.26 Вплив прискорення Коріоліса спостерігається у природі і техніці. Так, за рахунок сил інерції мас води, які формуються цим прискоренням, розмивається один берег річок, які течуть вздовж меридіана. Тому у північній півкулі завжди круті праві береги, в у південній – навпаки, ліві. Прискорення Коріоліса виникає також у кулісних механізмах. Відносно куліси рухається кулісний камінь, а переносним рухом є поворот куліси відносно нерухомого центра. 180 Запитання для самоконтролю 1. Що таке складний рух точки? Яка основна задача цього руху? 2. З яких складових складається абсолютний рух точки? 3. Як визначається швидкість точки в абсолютному русі? 4. З яких складових утворюється абсолютне прискорення точки? 5. Визначте модуль прискорення Коріоліса. Коли модуль дорівнює нулю? 6. Як спрямувати вектор прискорення Коріоліса? 7. Назвіть фізичні причини виникнення прискорення Коріоліса? 8. Як визначити напрямок прискорення Коріоліса методом Жуковського? 9. Як проявляється дія прискорення Коріоліса в природі? |