Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 3.4. Розв’язання задач на рівновагу системи тіл. Статично означені та статично неозначені задачі. Система тіл – це сукупність декількох тіл, які спираються одне на одне або з'єднані шарнірами з можливістю відносного руху цих тіл. При розв'язанні задач на систему тіл розрізняють сили зовнішні та 59 внутрішні. Зовнішні сили – це сили взаємодії тіл даної системи з іншими тілами, які не входять до складу системи. Внутрішні сили – це сили взаємодії між окремими тілами, які входять до складу даної системи. Внутрішні сили існують попарно, як дія і протидія. При цьому задача на визначення невідомих сил вважається статично означеною, якщо для неї можна скласти таку кількість рівнянь рівноваги матеріальної системи, яка не менша, ніж число невідомих. Якщо число рівнянь рівноваги системи менше, ніж число невідомих, задача буде статично неозначеною. У теоретичній механіці будемо розглядаються тільки статично означені матеріальні системи. Рівновагу системи тіл можна розглядати в цілому під дією тільки зовнішніх сил. Але може так статись, що кількість рівнянь рівноваги буде меншою, ніж кількість невідомих і задача буде статично неозначеною. Тоді необхідно розглядати рівновагу окремих тіл системи, умовно розділяючи її обов'язково по внутрішніх в'язях. Причому необхідно враховувати, що внутрішні сили реакцій входять попарно, як дія та протидія. Розглянемо приклад розв'язання задач на рівновагу системи тіл. Приклад На трьохшарнірну арку С В А (рис. 1.27) діє вертикальна сила kH Р 10 . Вага кожної частини балки kH Q Q 6 2 1 . Визначити реакції шарнірів С , В , А арки, розміри якої дані на рисунку. 60 Рис. 1.27 Розв'язання Покажемо осі прямокутної декартової системи координат y x A . Як видно зі схеми, задана система тіл складається з двох піварок I та II , які з'єднані шарніром у точці С . Складемо розрахунково – силову схему, де покажемо задані активні сили P , Q , Q 2 1 та реакції в'язей: у точках A і B (нерухомі шарнірні опори) – A A Y , X і B B Y , X та у точці C (шарнірне з'єднання) – C C X X , та C C Y , Y . Ці невідомі реакції у точці С є внутрішніми силами системи тіл, а тому C C X X і C C Y Y Умовно розділяємо систему тіл на два окремих тіла по шарніру С . Дію відкинутої частини замінюємо двома реакціями C X і C Y , які дорівнюють , C C C C Y Y X X 61 Тепер розглянемо окремо рівновагу кожного тіла, для чого складемо дві системи рівнянь рівноваги. Використаємо умови рівноваги (1.54). Для першого тіла (ліва половина арки): n k C C k A n k C A ky n k C A kx P Q Y X P m P Q Y Y P X X P 1 1 1 1 1 0 4 1 5 4 ; 0 , 0 ; 0 , 0 ; 0 Для другого тіла (права половина арки): n k C C k B n k C B ky C B n k kx Y X Q P m Q Y Y P X X P 1 2 1 2 1 0 5 4 1 ; 0 , 0 ; 0 , 0 ; 0 Як видно з отриманих шести рівнянь рівноваги, в них містяться шість невідомих: C B A C B A Y Y Y X X X , , , , , Визначимо ці невідомі величини. З третього рівняння другої системи визначимо C Y . Перепишемо це рівняння наступним чином: 2 4 5 Q X Y C C , звідки знаходимо реакцію C Y : ; 5 4 2 Q X Y C C Оскільки чисельно C C Y Y , а C C X X , то підставивши значення цих реакцій у третє рівняння першої системи, отримуємо 62 P Q X Q X C C 4 4 5 4 5 1 2 , або P Q Q X C 4 8 2 1 , звідки kH , X C 5 6 8 52 8 40 6 6 Тепер є можливість визначити невідому реакцію C Y . Підставивши значення C X у третє рівняння другої системи, будемо мати kH , , , Q X Y C C 0 4 5 0 6 5 6 4 5 4 2 З першого рівняння першої системи маємо kH , X X C A 5 6 . А з першого рівняння другої системи маємо kH , X X C B 5 6 . Напрям цієї реакції є протилежним показаному на силовій схемі. З другого рівняння першої системи одержуємо kH Y P Q Y C A 0 , 12 0 , 4 0 , 10 0 , 6 1 З другого рівняння другої системи обчислимо останню невідому реакцію B Y . Вона буде дорівнювати kH , , , Q Y Y C B 0 10 0 6 0 4 2 Таким чином обчислено всі шукані величини: . kH , Y ; kH , X ; kH , Y ; kH , X ; kH , Y ; kH , X C C B B A A 0 4 5 6 0 10 5 6 0 12 5 6 63 Запитання для самоконтролю 1. Що таке зосереджене та розподілене навантаження? 2. Як замінити рівномірно розподілене навантаження зосередженою силою? 3. Як замінити розподілене за лінійним законом навантаження зосередженою силою? 4. Скільки рівнянь рівноваги можна скласти для плоскої системи паралельних сил? 5. Що таке статично означені і статично неозначені задачі? 6. Які особливості має метод розв’язання задач на рівновагу системи тіл? 64 РОЗДІЛ 4 ПРОСТОРОВА СИСТЕМА СИЛ § 4.1. Види просторових систем сил Якщо лінії дії усіх сил, що прикладені до твердого тіла, розташовані не в одній площині, то така система сил має назву просторової. В залежності від розташування сил у просторі може існувати просторова система збіжних сил, просторова система паралельних сил і просторова система довільних сил. В декартовій системі координат z y x O ці три випадки показані на рис. 1.28: а) просторова система збіжних сил (рис. 1.28, а); б) просторова система паралельних сил (рис. 1.28, б); в) просторова система довільних сил (рис. 1.28, в). Рис. 1.28 65 § 4.2. Визначення вектора сили у просторі за його проекціями на координатні осі У просторі вектор сили можна спроектувати на три координатні осі z y x декартової системи координат. Рис. 1.29 Візьмемо силу P ,вектор якої довільно розташований у просторі (рис. 1.29). Виберемо у просторі прямокутну систему координат z y x O , початок відліку якої (точка O ) знаходиться в точці прикладання вектора сили P . Спроектуємо вектор сили P на площину y O x . Опустимо з точки А (кінець вектора сили) на вказану площину перпендикуляр, який перетинає її в точці а . На площині y O x утворено вектор Оа , який і є проекцією xy P сили на площину. За модулем ця проекція дорівнюватиме: cos P P xy , (1.48) 66 де - кут між вектором сили P та площиною y O x Слід зауважити, що проекція вектора сили на площину є вектором, тому що площина на має базисних векторів, ортів. Якщо в площині y O x позначити кут , то є можливість спроектувати силу P на осі x та y , опускаючи з точки a на осі перпендикуляри і за відомим вже правилом отримати проекції вектора xy P на вказані осі: sin cos ) 90 cos( P P P o xy x , (1.49) cos cos P cos P P xy y (1.50) У даному випадку крізь вісь z та вектор сили P можна провести площину, тому є можливість спроектувати силу на цю вісь за відомим правилом. Ця проекція буде дорівнювати cos P P z , (1.51) де - кут між вектором сили P та віссю z . Таким чином, за величиною і напрямком вектора сили завжди можна знайти його проекції на координатні осі. Справедливим буде і зворотне ствердження. В загальному випадку вектор сили P у просторі може бути визначений діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, побудованого на його проекціях на осі z y x Модуль вектора сили P визначається за виразом: 2 2 2 z y x P P P P Напрямок вектора цієї сили визначається через напрямні косинуси його кутів з відповідними осями координат y x, і z : 67 , cos , , cos , , cos ^ ^ ^ P P P z P P P y P P P x z y x Через арккосинуси можна визначити і самі кути. § 4.3. Умови рівноваги тіла під дією просторової системи збіжних сил Рівнодіюча просторової системи збіжних сил визначається геометричним способом за правилом многокутника, таким же чином, як і для плоскої системи, але в даному випадку силовий многокутник буде не плоским, а просторовим. Геометрична умова рівноваги просторової системи збіжних сил полягає у замкненості силового многокутника, побудованого на векторах сил системи і зводиться до умови, коли рівнодіюча цієї системи дорівнює нулю: n 1 k k n 2 1 P P ... P P R (1.52) Так як абсолютна величина рівнодіючої системи може бути визначена через проекції її складових сил на три осі координат: 2 n 1 k kz 2 n 1 k ky 2 n 1 k kx 2 z 2 y 2 x P P P R R R R , (1.53) то аналітична умова рівноваги для просторової системи збіжних сил буде мати вигляд: 68 . 0 P , 0 P , 0 P n 1 k kz n 1 k ky n 1 k kx (1.54) § 4.4. Момент сили відносно осі Якщо сила намагається обертати тіло навколо осі, то вона створює момент відносно цієї осі. Момент сили відносно осі характеризує обертальні властивості сили відносно цієї осі. Рис. 1.30 69 Визначимо момент відносно осі z від сили P , вектор якої довільно розташований у просторі (рис. 1.30). Виберемо довільно розташовану у просторі вісь z . Розкладемо силу P на дві складові: z P , яка паралельна осі z , та P , яка перпендикулярна до цієї осі. Проведемо площину , в якій буде розташована складова P (тобто площина буде перпендикулярною до осі z і P є проекцією сили P на площину ). Як бачимо з рис. 1.30, складова z P не може повертати тіло навколо осі z , отже вона не створює моменту відносно цієї осі. Складова P , навпаки, може повертати тіло навколо осі z . Таким чином, відносно осі z створюється момент P m P m z z (1.55) Визначимо модуль моменту P m z . Проекція P розташована у площині і за величиною дорівнює cos P P , (1.56) де - кут між вектором сили P та площиною Момент у площині створюється відносно точки O , в якій перетинаються вісь z та площина . Покажемо плече h , опускаючи перпендикуляр з точки О до лінії дії складової P або до її продовження. Остаточно момент буде дорівнювати h P h P P m P m P m o z z cos (1.57) Знак моменту сили відносно осі визначається наступним чином: “Якщо, дивлячись з додатного кінця осі, бачимо поворот площини під дією проекції проти напрямку годинникової стрілки, то момент сили відносно осі вважається додатнім, і навпаки”. 70 Це правило свердлика: “Вектор моменту сили відносно осі спрямований вздовж осі руху свердлика, якщо свердлик обертати в напрямку обертання моменту”. Остаточно сформулюємо визначення: “Моментом сили відносно осі називається взята з відповідним знаком скалярна величина, що дорівнює моменту проекції даної сили на площину, яка перпендикулярна до осі, відносно точки перетину осі з цією площиною”. Розглянемо особливі умови, за яких момент сили відносно осі дорівнює нулю: – коли сила паралельна осі (у цьому випадку проекція сили на площину, що перпендикулярна осі, буде дорівнювати нулю), – коли лінія дії сили перетинає дану вісь (плече 0 h ). Звідси випливає, що якщо сила та вісь розміщені в одній площині, то момент сили відносно даної осі дорівнюватиме нулю. Якщо вектор сили не лежить з віссю в одній площині, але він перпендикулярний до осі, то момент даної сили дорівнює добутку модуля сили на відстань між силою та віссю (з відповідним знаком). § 4.5. Визначення моментів сили відносно координатних осей Визначимо моменти відносно координатних осей z , y , x від сили P , вектор якої довільно розташований у просторі (рис. 1.31). Позначимо кінці вектора сили P літерами A і B . Позначимо координати точки A (точки прикладання сили до тіла) через y , x і z . Для визначення моменту сили P відносно осі z , спроектуємо дану силу на площину xOy . При цьому з 71 точок A і B опускаємо на цю площину перпендикуляри, отримуючи на площині проекцію xy P . Отриману проекцію можна розкласти на складові x P і y P . Тепер визначимо момент сили P відносно осі z (за теоремою Варіньона), як суму моментів, що створюють складові x P і y P відносно точки O . Як бачимо з рисунка, цей момент дорівнює y P x P m x y z (1.58) Рис. 1.31 Таким же чином можна визначити моменти сили P відносно двох інших осей. Для визначення моменту сили P відносно осі x необхідно спроектувати її на площину yOz . Отриману проекцію розкласти на 72 складові z P і y P і визначити момент сили P відносно осі x , як суму моментів її складових відносно точки O : z P y P m y z x (1.59) І, нарешті, відносно осі y : x P z P m z x y (1.60) Таким чином, значення моментів сил визначаються виразами: , , x y z z x y y z x yP xP m xP zP m zP yP m (1.61) Тобто, для розрахунку моменту сили відносно координатних осей необхідно задати координати точки прикладання сили і проекції сили на осі координат. |