Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
 Скачать 6.79 Mb.
|
|
§ 2.10. Умови рівноваги тіла під дією плоскої системи довільних сил Як доведено, плоска система довільних сил завжди може бути зведена до однієї сили, яка має назву головного вектора системи, і однієї пари – головного моменту системи. Тоді для рівноваги плоскої довільної системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор . гл P і її головний момент гл M дорівнювали нулю. 0 , 0 гл гл M P (1.41) або через проекції головного вектора: , 0 , 0 , 0 гл y x M P P (1.42) 42 отримуємо рівняння рівноваги: n k k o n k ky n k kx P m P P 1 1 1 0 , 0 , 0 (1.43) Таким чином, для рівноваги тіла, що перебуває під дією плоскої системи довільних сил, необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил на осі координат і сума моментів всіх сил відносно довільного центра дорівнювали нулю. Існують дві інші форми системи рівнянь рівноваги плоскої системи довільних сил. А саме: n k k B n k k A n k kx P m P m P 1 1 1 0 , 0 , 0 (1.44) Третя форма системи рівнянь рівноваги має такий вигляд n k k C n k k B n k k A P m P m P m 1 1 1 0 , 0 , 0 (1.45) На систему рівнянь рівноваги (1.44) накладається обмеження: пряма, яка може з'єднати точки A і B , відносно яких визначаються суми моментів 43 усіх сил, не повинна бути перпендикулярною осі (у даному випадку осі x ), на яку проектуються сили. На систему рівнянь рівноваги (1.45) також накладається обмеження: точки A , B і C , відносно яких визначаються суми моментів усіх сил, не повинні бути розміщені на одній прямій. Запитання для самоконтролю 1. Чому дорівнює рівнодійна двох однаково спрямованих і двох протилежних паралельних сил? Де знаходиться точка їх прикладення? 2. Що таке момент сили відносно центра (точки)? 3. Куди спрямований вектор моменту сили відносно точки? 4. Що таке пара сил, або просто пара? 5. Які властивості має пара сил у площині? 6. Як визначити момент пари? Куди спрямований момент пари як вектор? 7. Яка умова рівноваги системи пар у площині? 8. Які дві пари є еквівалентними? 9. Сформулюйте теорему про паралельне перенесення сили. 10. Що таке головний вектор і головний момент плоскої системи довільних сил? 11. В якому випадку плоска система сил зводиться до рівнодійної? 12. В якому випадку головний момент не залежить від вибору центра зведення? 13. Сформулюйте теорему Варіньона про момент рівнодійної сили відносно центра. 14. Які умови рівноваги тіла, що знаходиться під дією плоскої системи довільних сил? 44 РОЗДІЛ 3 БАЛКИ І СИСТЕМИ БАЛОК § 3.1. Поняття про балки і системи балок. Балка – це елемент конструкції, довжина якого значно перевищує його поперечні розміри. Балки призначені в основному для сприйняття поперечних навантажень і працюють на згин, але в загальному випадку можуть сприймати одночасно і інші види навантажень. Термін «балка» в інженерній практиці – поняття широке. Балкою може бути не тільки будівельна балка, але любий стрижень з прямою віссю, працюючий на згин, вали і осі машин, гвинти, болти та інші. Декілька балок (стрижнів), що вільно опираються одна на одну або з'єднані між собою шарнірами з можливістю відносного руху, утворюють систему балок. Ця конструкція належить до системи з'єднаних тіл. Прикладами таких конструкцій є шарнірно з'єднані розрізні балки, рами та арки. Балки і системи балок мають спеціальні опорні пристрої, для сполучення їх з іншими елементами і передачі на них зусиль. Як відомо, опори в балках можуть бути конструктивно виконані шарнірно – рухомими, шарнірно – нерухомими, у вигляді жорсткого закріплення, точкової опори, гнучкого стержня, нитки і т. ін. Розглянемо найбільш прості види балок, що працюють на згин і їх опорне закріплення. Балку з одним закріпленим кінцем, а другим вільним, називають консольною (рис.1.19, а). Балку на двох опорах, одна з яких шарнірно – рухома, а друга шарнірно – нерухома, називають одно пролітною (рис.1.19, б). 45 Двохопорну балку, опори якої знаходяться на деякій відстані від її кінців, називають однопролітною консольною (рис.1.19 в, г). Характер, величина і напрямок реакцій, що виникають в опорах балки, залежать як від типу опор, так і від навантажень (активних сил і моментів), діючих на балку. Рис. 1.19 46 § 3.2. Навантаження, що діють на балку Активні навантаження, що діють на балку, можна розділити за наступними ознаками: 1. По способу прикладання навантаження діляться на зосереджені і розподілені. Зосереджені навантаження мають одну точку прикладання. Таким навантаженням є, наприклад, вектори активних сил 1 P , 2 P і 3 P (рис.1.19 г). При цьому зосереджену силу 2 P , яка діє на балку під кутом нахилу до поздовжньої осі, для зручності розрахунків бажано розкласти на її проекції x 2 P , y 2 P в координатних осях y , x Поняття про зосереджені навантаження є умовним, так як в реальних умовах їх практично не існує. Навантаження, які розглядаються як зосереджені, уявляють собою по суті рівнодійні деяких систем розподілених сил, наприклад, сил тяжіння, тиск повітря, води і т.ін. Навантаження, розподілені по певному закону в заданому об’ємі, на заданій площі поверхні або довжині називаються розподіленими. Рис. 1.20 47 Прикладом такого навантаження є плоска система розподілених сил по довжині балки, яка характеризується його інтенсивністю q . Інтенсивність навантаження в даному випадку – це сила, що припадає на одиницю довжини балки. У загальному випадку таке розподілене навантаження зображується у вигляді певної кривої, що відображає даний закон зміни інтенсивності навантаження на ділянці балки (рис. 1.20). Напрямок дії навантаження показується стрілками. В задачах статики розподілене навантаження заміняють його рівнодійною, тобто зосередженою силою. Розглянемо два простіших випадки заміни плоскої системи розподілених сил на зосереджену силу Q : – рівномірно розподілене навантаження (або навантаження, яке розподілене за законом прямокутника) зображується на схемах у вигляді прямокутника (рис. 1.21). Для такої системи інтенсивність навантаження q – величина стала. У даному випадку рівнодійна сила Q визначається як: l q Q , (1.46) де q - інтенсивність навантаження, Н/м; l - довжина ділянки тіла, на якій прикладене навантаження, м . Рис. 1.21 48 Точка C прикладання рівнодійної сили Q розташована посередині ділянки тіла, на якій діє навантаження. Тобто CB l AC 2 . Напрямок Q співпадає з напрямком розподіленого навантаження. – навантаження розподілене за лінійним законом (тобто за законом трикутника). У цьому випадку (рис. 1.22) інтенсивність розподіленого навантаження на ділянці l змінюється від 0 до максимального значення max q . Рівнодійна сила Q від цього навантаження за величиною дорівнює l q Q max 2 1 (1.47) Рис. 1.22 Точка C прикладання рівнодійної Q розташована на відстані l AC 3 2 або l BC 3 1 . Напрямок Q співпадає з напрямком навантаження. 2. По виду навантаження діляться на сили і моменти сил (або пари сил). 3. По характеру дії навантаження діляться на статичні і динамічні. 49 Статичні навантаження збільшуються від нуля до кінцевого значення поступово, а динамічні – діють швидко, миттєво до кінцевого значення (наприклад ударні навантаження). 4. По часу дії навантаження діляться на постійні і тимчасові. Постійні навантаження діють протягом тривалого часу, наприклад, власна вага балки, вага обладнання і т. ін. Тимчасові навантаження діють протягом обмеженого періоду часу, наприклад, тиск вітру, вага снігу і т. § 3.3. Визначення опорних реакцій балок Визначення реакцій опор – важливіша задача статики. Розрахунки на міцність балок, рам і інших інженерних конструкцій, що вивчаються в наступних розділах технічної механіки, можливо здійснити тільки після визначення величини і напрямку реакцій опор. Для визначення опорних реакцій балок застосовують умови рівноваги плоскої системи довільних сил. Розглянемо приклади задач на рівновагу тіла під дією плоскої системи довільних сил. Приклад Однорідна балка АВ прямокутного перерізу вагою 400 Н має один кінець А , який закріплений шарнірно, і опирається на точкову опору O (рис. 1.23). До другого кінця балки В підвішений вантаж вагою 200 Н Довжина балки 4 м , точкова опора розташована на відстані ¾ довжини балки від шарнірної опори. Кут нахилу балки до горизонту складає = 30 о 50 Визначити реакції опор балки. Рис. 1.23 Розв'язання Складаємо розрахунково – силову схему задачі. Прикладемо до осі балки задані активні сили: силу тяжіння G самої балки та силу тяжіння Q вантажу. Сила тяжіння балки G прикладена посередині балки у точці C (оскільки балка однорідна) і спрямована вертикально донизу. Сила тяжіння вантажу Q прикладена до кінця балки В і спрямована вертикально донизу. Далі умовно звільняємо балку від в'язей і замінюємо їх відповідними реакціями в'язей. У точці A розміщена нерухома шарнірна опора, вона має дві складові реакції A X і A Y , які розташовані вздовж відповідних осей координат. У точці O - точкова опора, яка має одну реакцію О R , що напрямлена перпендикулярно до балки. Таким чином, балка знаходиться у рівновазі під дією плоскої системи довільних сил. Для розв'язання цієї задачі використовуємо умови рівноваги (1.54), 51 n k k A n k ky n k kx P m P P 1 1 1 0 , 0 , 0 Оскільки осі координат x і y задані за умовою задачі, то складемо відповідні рівняння рівноваги 0 cos cos 2 , 0 cos , 0 sin AB Q AO R AB G R Q G Y R X О О A О A Якщо підставити значення відомих величин у ці рівняння рівноваги, то отримаємо 0 866 , 0 4 200 3 866 , 0 2 400 , 0 866 , 0 200 400 , 0 5 , 0 o o A o A R R Y R X З третього рівняння обчислимо реакцію О R : 86 , 461 3 8 , 692 8 , 692 О R Н , і підставимо її значення у перші два рівняння. Будемо мати 93 , 230 2 1 О A R X Н ; 04 160 86 461 866 0 200 400 , , , Y A Н Оскільки визначені дві складові реакції, які прикладені в точці A , – 52 A X та A Y , то геометричним додаванням можна обчислити модуль повної реакції A R . А саме: H , , , , Y X R A A A 97 280 5 78941 04 160 93 230 2 2 2 2 Таким чином визначенні усі шукані реакції: H , R A 97 280 ; H R О 86 , 461 Приклад Визначити реакції опори однорідної балки АВ прямокутного перерізу, один кінець якої A жорстко закріплений у стіні і яка перебуває під дією зосередженої сили kH P 0 , 4 , пари сил з моментом м kH m 0 , 2 та рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю м kH q 5 , 1 . Довжина балки АВ – 5 м , рівномірно розподілене навантаження діє на ділянці 3 м від точки A . Кут нахилу зосередженої сили Р до горизонту складає =30 о , осі x та y показані на рис. 1.24. Рис. 1.24 53 Розв'язання Складаємо розрахунково – силову схему. Покажемо всі сили, що прикладені до балки АВ. Насамперед, це задані активні сили –сила P , що прикладена до кінця балки В і спрямована під кутом до горизонту. Рівномірно розподілене навантаження замінюємо зосередженою силою Q , яка дорівнює kH , , AC q Q 5 4 3 5 1 Сила Q прикладена посередині ділянки AC і спрямована у той же бік, що і саме навантаження, тобто вертикально донизу. Покажемо на силовій схемі пару сил, яка визначається моментом m . Далі умовно звільняємо балку від в'язі і замінюємо її відповідними реакціями в'язі. У точці A - жорстке закріплення балки у стіні, а тому воно має дві складові реакції: A X , A Y , які розташовані вздовж відповідних осей координат, і реактивний момент A M . Напрямок цього невідомого моменту показуємо на силовій схемі довільно, наприклад, – проти напрямку стрілки годинника. Якщо ж при остаточному визначенні моменту A M отримаємо від'ємний знак, то матимемо, що дійсний напрямок моменту – протилежний. Покажемо на силовій схемі лінійні і кутові розміри. Осі координат показані на схемі. Як видно з побудованої розрахунково – силової схеми, балка перебуває під дією плоскої системи довільних сил. Використовуємо умови рівноваги (1.54). А саме n k k A n k ky n k kx P m P P 1 1 1 0 , 0 , 0 54 Складемо відповідні рівняння рівноваги 0 sin 2 , 0 sin , 0 cos m M AB P AC Q P Q Y P X A A A Якщо підставити значення відомих величин у ці рівняння рівноваги, то отримуємо 0 0 , 2 5 2 1 0 , 4 2 3 5 , 4 , 0 2 1 0 , 4 5 , 4 , 0 2 3 0 , 4 A A A M Y X З першого рівняння обчислимо A X : 46 3 3 2 2 3 0 4 , , X A kН З другого рівняння обчислимо A Y : 50 , 6 2 1 0 , 4 5 , 4 A Y kН . З третього рівняння обчислимо A M : kH M A 75 , 18 0 , 10 75 , 6 0 , 2 5 2 1 0 , 4 2 3 5 , 4 0 , 2 Оскільки складові реакцій A X та A Y , що прикладені у точці A , обчислені, то можна знайти модуль A R повної реакції у точці A : 36 , 7 22 , 54 5 , 6 46 , 3 2 2 2 2 kH Y X R A A A 55 Таким чином, визначені всі шукані реакції: kH R A 30 , 4 ; kH M A 75 , 18 Приклад Визначити опорні реакції балки на яку діють зосереджена сила кН 10 P під кутом 45 до горизонту, рівномірно розподілене навантаження з інтенсивністю м / кН 6 , 0 q та пара сил з моментом м кН 20 М (рис. 1.25). Рис. 1.25 Розв'язання Накреслимо розрахункову схему заданої балки (рис 1.26). Для цього проводимо осі координат: вісь x направляємо вздовж горизонтальної осі балки, а вісь y – через ліву крайню точку А балки. Прикладемо до горизонтальної осі балки у відповідних точках задані активні навантаження. При цьому силу P , що спрямована під кутом 45 , розкладемо для зручності на дві складові вздовж координатних осей, які за модулем будуть дорівнювати: ; кН 07 , 7 707 , 0 10 45 cos 40 cos P P x . кН 07 , 7 707 , 0 10 45 sin 40 sin P P y 56 Рис. 1.26 Рівномірно розподілене навантаження, що діє з інтенсивністю м / кН 6 , 0 q на ділянці балки довжиною c b l , замінемо зосередженою силою Q , яка прикладена по центру цієї ділянки і за величиною дорівнює . кН 6 4 6 6 , 0 c b q l q Q Сила Q спрямована у той же бік, що і саме розподілене навантаження, тобто вертикально донизу. Покажемо також на розрахунковій схемі пару сил, яка визначається моментом м кН 20 М і прикладена в точці A балки. Далі умовно звільнемо балку від в'язей і замінемо їх відповідними реакціями в'язей. У точці A розміщена нерухома шарнірна опора, вона має дві складові реакції Ax R і Ay R , які розташовані вздовж відповідних осей координат. У точці В – рухома шарнірна опора, яка має одну реакцію B R , що напрямлена перпендикулярно до поверхні опори балки вздовж координатної осі y . 57 Як видно з побудованої розрахункової схеми, балка перебуває у рівновазі під дією плоскої системи довільних сил. Для розв'язання цієї задачі використовуємо наступні аналітичні рівняння рівноваги n 1 k k B n 1 k k A n 1 k kx . 0 F m , 0 F m , 0 F Складемо відповідні рівняння рівноваги . 0 M 2 c b b Q b P b a R , 0 M a P 2 c b a Q b a R , 0 P R y Ay y B x Ax Розв'язавши отриману систему рівнянь, знаходимо невідомі реакції. З першого рівняння системи визначимо Ax R : кН 07 , 7 P R x Ax З другого рівняння визначимо B R : . кН 57 , 4 6 4 20 4 07 , 7 2 4 6 4 6 b a M a P 2 c b a Q R y B З третього рівняння визначимо Ay R : 58 кH 64 , 5 6 4 20 6 07 , 7 2 4 6 6 6 b a M b P 2 c b b Q R y Ay Знак мінус вказує на те, що дійсний напрямок складової реакції Ay R буде протилежним, ніж це показано на розрахунковій схемі. Виконуємо перевірку проведених розрахунків. Скористаємось тим, що алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь y також повинна дорівнювати нулю: 0 F n 1 k ky Склавши це додаткове рівняння рівноваги і підставивши в нього задані і знайдені значення, отримаємо: 0 64 , 11 64 , 11 57 , 4 6 07 , 7 64 , 5 R Q P R B y Ay Повна реакція A R у точці A може бути визначена через складові Ax R та Ay R . Вона буде розташована у четвартій чверті і за модулем дорівнює . кН 04 , 9 79 , 81 64 , 5 07 , 7 R R R 2 2 2 Ay 2 Ax A Таким чином, кH 04 , 9 R A , кH 57 , 4 R В |