Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ. Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва

• Название: Навчальний посібник для підготовки бакалаврів напрямів 100102 Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва
• Анкор: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Дата: 09.06.2018
• Размер: 6.79 Mb.
• Имя файла: Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ.pdf
• Тип: Навчальний посібник; #20141
• страница: 18 из 36

§ 13.4. Теорема про зміну кількості руху та закон збереження
кількості руху механічної системи.
Для механічної системи, що складається із n матеріальних точок, на підставі теореми про рух її центра мас можна записати



n
k
e
k
c
F
dt
d
M
1

,
Якщо далі внести
M
– масу механічної системи, яка вважається сталою величиною, під знак похідної, то матимемо



n
k
e
k
c
F
dt
M
d
1
)
(

(3.84)
Як бачимо, що у лівій частині у дужках, згідно виразу (3.71),

246
Q
M
c


– кількість руху механічної системи.
Тоді перепишемо вираз (3.84) наступним чином:



n
k
e
k
F
dt
Q
d
1
(3.85)
Формула (3.85) і є теоремою про зміну кількості руху механічної системи у диференціальній формі:
похідна
за
часом
від
вектора кількості руху механічної системи дорівнює геометричній сумі
усіх зовнішніх сил, які діють на механічну систему.
Помножимо ліву і праву частину (3.85) на dt , поділивши змінні,




n
k
e
k
dt
F
Q
d
1
(3.86)
Інтегруємо ліву та праву частини (3.86). Для цього використаємо означені інтеграли, які беремо в границях, що відповідають кількості руху від
0
Q
до
1
Q
і моментам часу від 0 до
1
t
:
 








n
k
t
e
k
n
k
e
k
t
Q
Q
dt
F
dt
F
Q
d
10 1
0 1
1 1
0
(3.87)
Після інтегрування, якщо врахувати те, що у правій частині отриманого виразу є сума імпульсів зовнішніх сил, які діють на механічну систему, матимемо:




n
k
e
k
S
Q
Q
1 0
1
(3.88)
Отже, зміна вектора кількості руху механічної системи за певний
проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів усіх зовнішніх сил,
які діють на дану систему.
Вираз (3.88) у проекціях на осі координат
,
,y
x
та z має вигляд:

247












n
k
e
kz
z
z
n
k
e
ky
y
y
n
k
e
kx
x
x
S
Q
Q
S
Q
Q
S
Q
Q
1 0
1 1
0 1
1 0
1
,
,
(3.89)
Визначимо закон збереження кількості руху механічної системи.
Якщо геометрична сума усіх зовнішніх сил, які діють на механічну систему, буде дорівнювати нулю, то у виразі (3.84)
0

dt
Q
d
, тому
const
Q

,
(3.90) тобто, якщо геометрична сума усіх зовнішніх сил, які діють на механічну
систему, дорівнює нулю, то кількість руху системи залишається
незмінною.
Якщо сума проекцій імпульсів зовнішніх сил на будь - яку вісь дорівнює нулю, наприклад
0 1



n
k
e
kx
S
, то з рівняння (3.89) випливає, що
x
x
Q
Q
0 1

, тобто проекція кількості руху на вісь Ox залишається незмінною.
§ 13.5. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної
точки
Кінетична енергія характеризує здатність механічного руху перетворюватись в еквівалентну кількість іншої форми руху (потенціальна енергія, теплота тощо).
Нехай матеріальна точка масою m переміщується вздовж

248
криволінійної траєкторії із положення М
1
в положення М
2
під дією рівнодійної сили Р (рис. 3.21).
Рис. 3.21
Згідно з основним законом динаміки Ньютона запишемо:
P
a
m


,
(3.91) де m – маса точки,
a
– вектор прискорення точки,
P
– рівнодійна усіх сил, що діють на точку
Спроектуємо рівняння (3.91) на дотичну:
 




v
P
P
a
m
,
cos

,
(3.92) де
dt
dv
a


– тангенціальне прискорення.
 




v
P
P
dt
dv
m
,
cos
(3.93)
Рівняння (8.3) помножимо на елементарне переміщення точки ds:
 






v
P
ds
P
ds
dt
dv
m
,
cos
,
(3.94) але
 



v
P
ds
P
,
cos
– елементарна робота сили Р,
v
dt
ds


249
Тоді
dA
mv
d
dA
dv
mv










2 2
(3.95)
– математичний вираз теореми в диференціальній формі.
Припустимо, що в момент
1
t
швидкість точки дорівнювала
1
v
, а в момент
2 2
v
t

:




2 1
2 1
v
v
M
M
dA
dv
mv
(3.96)
Після інтегрування отримаємо:
A
mv
mv


2 2
2 1
2 2
(3.97)
– вираз теореми в кінцевій формі.
Скалярна величина
2 2
mv
, котра дорівнює половині добутку маси
точки на квадрат швидкості, називається кінетичною енергією точки.
Кінетична енергія точки є величиною додатною.
Висновок: Зміна кінетичної енергії точки на деякому її переміщенні
дорівнює роботі рівнодійної сили на цьому переміщенні.
Розмірність кінетичної енергії
Система одиниць СІ:
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2
Дж
м
Н
м
с
м
кг
с
м
кг
с
м
кг
mv
















250
§ 13.6. Кінетична енергія механічної системи
Кінетична енергія механічної системи – це скалярна величина, котра
дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій окремих точок, що
складають систему:


2 2
k
k
v
m
T
(3.98)
Для механічної системи, яка складається з декількох тіл, кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій окремих тіл:


k
T
T
(3.99)
Кінетична енергія системи не залежить від напрямку руху окремих її частин. На зміну кінетичної енергії механічної системи впливають як зовнішні, так і внутрішні сили.
Кінетична енергія твердого тіла як системи матеріальних точок – це одна із мір механічного руху, яка обумовлена рухом цього тіла. Визначимо кінетичну енергію для різних випадків руху твердого тіла.
а) Тіло рухається поступально
Нехай тіло масою М рухається поступально зі швидкістю
v
Це тіло можна розглядати, як систему матеріальних точок, сума мас яких дорівнює масі тіла М:


k
m
M
(3.100)
При поступальному русі швидкості усіх точок однакові і дорівнюють v . Тоді його кінетична енергія дорівнює:
2 2
2 2
2 2
2 2







Mv
m
v
v
m
v
m
T
k
k
k
k
(3.101)

251
Кінетична енергія тіла, яке рухається поступально, дорівнює
половині добутку маси тіла на квадрат швидкості довільної точки або
центра мас.
б) Тіло обертається відносно нерухомої осі
Швидкість кожної точки тіла
k
k
r
v



, де
k
r
– відстань точки від осі обертання, тоді кінетична енергія тіла дорівнює:








2 2
2 2
2 2
2 2
2 2



z
k
k
k
k
k
k
I
r
m
r
m
v
m
T
Остаточно маємо
2 2



z
I
T
,
(3.102) де


2
k
k
z
r
m
I
– осьовий момент інерції маси тіла, міра інертності тіла при обертальному русі.
Кінетична енергія тіла, яке обертається навколо нерухомої осі з
кутовою швидкістю

, дорівнює половині добутку моменту інерції маси
тіла відносно осі обертання на квадрат кутової швидкості.
в) Тіло рухається плоскопаралельно
Плоскопаралельний рух тіла можна вважати у даний момент часу, як обертальний рух навколо миттєвого центра швидкостей Р (рис. 3.22).
C
– центр мас тіла;
c
v
– швидкість центра мас тіла;
zc
I
– осьовий момент інерції маси тіла відносно осі z, яка проходить через центр мас C перпендикулярно до площини руху;
zp
I – осьовий момент інерції маси тіла відносно осі z, яка проходить через точку
P

252
Рис. 3.22
Тоді
PC
v
c



і кінетична енергія дорівнює:
 


2 2
2 2
2 2
2 2
2
c
zc
zc
zc
Mv
I
PC
M
I
I
T











;
2 2
2 2

zc
c
I
Mv
T


(3.103)
Кінетична енергія тіла, яке рухається плоскопаралельно, дорівнює
сумі енергій поступального руху зі швидкістю центра мас і обертального
руху навколо центра мас.
§ 13.7. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної
системи
Припустимо, що матеріальна система складається з n матеріальних точок:
n
m
m
m
...,
,
,
2 1
– маси матеріальних точок;
0 20 10
...,
,
,
n
v
v
v
– початкові швидкості кожної точки;
n
v
v
v
...,
,
,
2 1
– кінцеві швидкості кожної точки;

253
e
n
e
e
F
F
F
...,
,
,
2 1
– рівнодійні зовнішніх сил, що діють на кожну точку;
in
n
in
in
F
F
F
...,
,
,
2 1
– рівнодійні внутрішніх сил, як сили взаємодії між точками.
Для кожної точки системи можна записати теорему про зміну кінетичної енергії:
in
k
e
k
k
k
k
k
A
A
v
m
v
m



2 2
2 0
2
,
n
k
,...,
2
,
1

,
(3.104) де
e
k
A
– робота рівнодійної зовнішніх сил, які діють на k-ту точку;
in
k
A
– робота рівнодійної внутрішніх сил, які діють на k-ту точку.
Просумуємо рівняння (3.104) по всіх точках системи:







in
k
e
k
k
k
k
k
A
A
v
m
v
m
2 2
2 0
2
(3.105)
Запишемо (3.105) більш компактно, позначивши:


T
v
m
k
k
2 2
– кінцева кінетична енергія механічної системи;


0 2
0 2
T
v
m
k
k
– початкова кінетична енергія механічної системи;

e
k
A
– сума робіт зовнішніх сил, що діють на систему;

in
k
A
– сума робіт внутрішніх сил, які діють на систему.
Остаточно вираз теореми має вигляд:





in
k
e
k
A
A
T
T
0
(3.106)
Зміна кінетичної енергії механічної системи на деякому переміщенні
дорівнює алгебраїчній сумі робіт на цьому переміщенні зовнішніх і
внутрішніх сил.

254
Для незмінних механічних систем (деформації яких можна не враховувати) сума робіт внутрішніх сил дорівнює нулю:


0
in
k
A
Тоді вираз (3.106) спрощується:



e
k
A
T
T
0
(3.107)
Приклад
На рис. 3.23 зображений підйомний механізм лебідки. Вантаж А вагою
1
P
підіймається на тросі, який перекинутий через блок С і намотується на барабан В радіусом
2
r
та вагою
2
P
. До барабана прикладений обертальний момент, який з моменту включення лебідки пропорційний квадрату кута повороту барабана:
2

k
M
об

, де k - постійний коефіцієнт. Визначити швидкість вантажу А в момент його підйому на висоту
1
h . Масу барабана В прийняти рівномірно розподіленою по його ободу. Блок С – суцільний диск вагою
3
P
. Массою траса – знехтувати. Рахувати, що в початковий момент часу система знаходилась у стані спокою.
Розв’язання
Дана задача розв’язується за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії матеріальної системи:



e
k
A
T
T
0
. Але на початку система перебувала у стані спокою, тому
0 0

T
і рівняння буде мати вигляд:


e
k
A
T
(а)

255
Рис. 3.23 1
P
– вага вантажу;
2
P
– вага барабана;
2
r
– радіус барабана;
3
P
– вага блока
(суцільний диск);
3
r – радіус блока;
2

k
M
об

– обертальний момент на барабані;
1
h
– висота підйому вантажу;
0 0

v
– стан спокою.
Кінетична енергія матеріальної системи дорівнює сумі енергій тіл, що складають систему:
c
B
A
T
T
T
T



(б)
Визначимо кінетичну енергію кожного тіла, виразимо її через задані параметри і шукану швидкість.
g
v
P
v
m
T
A
2 2
2 1
1 2
1 1


– тіло рухається поступально;
2 2
2 2

I
T
B

– тіло обертається навколо нерухомої осі;
g
r
P
r
m
I
2 2
2 2
2 2
2


– осьовий момент інерції тіла;
2 1
2
r
v


– кутова швидкість, виражена через шукану швидкість
1
v

256
g
v
P
r
g
v
r
P
T
B
2 2
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2



Аналогічно і для обертового тіла С:
2 2
3 3

I
T
C

;
g
r
P
r
m
I
2 2
2 3
3 2
3 3
3


;
3 1
3
r
v


;
g
v
P
r
g
v
r
P
T
C
4 2
2 2
1 3
2 3
2 1
2 3
3






Підставимо значення кінетичної енергії в вираз (б):


3 2
1 2
1 2
1 3
2 1
2 2
1 1
2 2
4 4
2 2
P
P
P
g
v
g
v
P
g
v
P
g
v
P
T
T
T
T
C
B
A









Визначимо праву частину виразу (а) – роботу діючих сил і моментів:
  




об
e
k
M
A
P
A
A
1
,
(с) де
 
1 1
1
h
P
P
A


– (знак мінус показує, що це робота сили опору, коли напрям сили і швидкості протилежні).


3 3
0 2
0






k
d
k
d
M
M
A
об
об







;
2 1
r
h


Підставимо роботу у вираз (с):


3 2
3 2
1 2
1 1
1 1
3 2
3 1
1 1
3 3
3 3
3
r
r
P
kh
h
h
P
r
kh
h
P
k
A
e
k








Підставимо сумарну кінетичну енергію і сумарну роботу у вираз (а):




3 2
3 2
1 2
1 1
3 2
1 2
1 3
3 2
2 4
r
r
P
kh
h
P
P
P
g
v




Звідки шукана швидкість дорівнює:




3 2
1 2
3 2
1 2
1 2
1 2
2 3
3 2
P
P
P
r
r
P
kh
gh
r
v





257
Запитання для самоконтролю
1.
Що таке кількість руху матеріальної точки і системи, яка її розмірність?
2.
Які міри руху існують в тілі, що рухається?
3.
Як визначити імпульс змінної і сталої сили?
4.
Сформулюйте теорему про зміну кількості руху матеріальної точки і системи.
5.
Напишіть теорему про зміну кількості руху точки в диференціальній формі.
6.
Сформулюйте закон збереження кількості руху матеріальної системи.
7.
Запишіть вираз кінетичної енергії точки і системи.
8.
Як визначається кінетична енергія тіл, що рухаються поступально, плоскопаралельно і обертаються?
9.
Сформулюйте теорему про зміну кінетичної енергії точки і напишіть її вираз у диференціальній і кінцевій формах.
10.
Яка розмірність кінетичної енергії?
11.
Як формулюється теорема про зміну кінетичної енергії системи?
12.
Запишіть теорему про зміну кінетичної енергії для деформованої механічної системи.
13.
Запишіть теорему про зміну кінетичної енергії для незмінної механічної системи.

258
РОЗДІЛ 14
МЕТОД КІНЕТОСТАТИКИ