Лекции по математике- часть 6. Операции над матрицами 3 Определители матриц 7

• Название: Операции над матрицами 3 Определители матриц 7
• Анкор: Лекции по математике- часть 6.doc
• Дата: 28.01.2017
• Размер: 1.01 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике- часть 6.doc
• Тип: Документы; #716
• страница: 1 из 8

Линейная алгебра 2

Матрицы 2

Операции над матрицами 3

Определители матриц 7

Обратная матрица 14

Ранг матрицы 17

Линейная независимость 22

Системы линейных уравнений 24

Методы решения систем линейных уравнений 28

Метод обратной матрицы 28

Метод решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей по формулам Крамера 29

Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 32

Линейная алгебра

Матрицы

Матрица размера m х n – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы принято обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы – теми же, но строчными буквами с двойной индексацией.

Например, рассмотрим матрицу А размерности 2 х 3:



В этой матрице две строки (m = 2) и три столбца (n = 3), т.е. она состоит из шести элементов a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца. При этом принимает значения от 1 до 2, а от одного до трех (записывается ). А именно, a₁₁= 3; a₁₂= 0; a₁₃= -1; a₂₁= 0; a₂₂= 1,5; a₂₃= 5.
Матрицы А и В одного размера (m х n ) называют равными, если они поэлементно совпадают, т.е. a_ij = b_ij для , т.е. для любых i и j (можно записать i, j).
Матрица-строка – это матрица, состоящая из одной строки, а матрица-столбец – это матрица, состоящая из одного столбца.

Например, - матрица-строка, а .

Квадратная матрица n-го порядка – это матрица, в число строк равно числу столбцов и равно n.


Например, - квадратная матрица второго порядка.

Диагональные элементы матрицы – это элементы, у которых номер строки равен номеру столбца (a_ij, i = j). Эти элементы образуют главную диагональ матрицы. В предыдущем примере главную диагональ образуют элементы a₁₁= 3 и a₂₂= 5.

Диагональная матрица – это квадратная матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Например, - диагональная матрица третьего порядка. Если при этом все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной (обычно обозначаются буквой Е). Например, - единичная матрица третьего порядка.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Например, - треугольная матрица третьего порядка.

Операции над матрицами

Над матрицами можно производить следующие операции:
1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число  называется матрица В = А, элементы которой b_ij = a_ij для любых i и j.

Например, если, то .
2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m х n называется матрица С = А + В, элементы которой с_ij = a_ij + b_ij для i, j.

Например, если то

.

Отметим, что через предыдущие операции можно определить вычитание матриц одинакового размера: разность А-В = А + (-1)*В.
3. Умножение матриц. Произведением матрицы А размера m x n на матрицу В размера n x p называется такая матрица С, каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е. .

Например, если

, то размер матрицы-произведения будет 2 x 3, и она будет иметь вид:

В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

На основе операции умножения для квадратных матриц определена операция возведения в степень. Целой положительной степенью А^m (m > 1) квадратной матрицы А называются произведение m матриц, равных А, т.е.


Подчеркнем, что сложение (вычитание) и умножение матриц определены не для любых двух матриц, а только для удовлетворяющим определенным требованиям к своей размерности. Для нахождения суммы или разности матриц их размер обязательно должен быть одинаковым. Для нахождения произведения матриц число столбцов первой из них должно совпадать с числом строк второй (такие матрицы называют согласованными).
Рассмотрим некоторые свойства рассмотренных операций, аналогичные свойствам операций над числами.

1) Коммутативный (переместительный) закон сложения:

А + В = В + А

2) Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

(А + В) + С = А + (В + С)

3) Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

(А + В) = А + В

А (В + С) = АВ + АС

(А + В) С = АС + ВС

5) Ассоциативный (сочетательный) закон умножения:

(АВ) = (А)В = А(В)

A(BС) = (АВ)С
Подчеркнем, что переместительный закон умножения для матриц в общем случае НЕ выполняется, т.е. AB  BA. Более того, из существования AB не обязательно следует существование ВА (матрицы могут быть не согласованными, и тогда их произведение вообще не определено, как в приведенном примере умножения матриц). Но даже если оба произведения существуют, они обычно разные.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно А (умножение на единичную матрицу здесь аналогично умножению на единицу при умножении чисел):

АЕ = ЕА = А

В самом деле,


Подчеркнем еще одно отличие умножения матриц от умножения чисел. Произведение чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. О матрицах этого сказать нельзя, т.е. произведение ненулевых матриц может равняться нулевой матрице. Например,


Продолжим рассмотрение операций над матрицами.

4. Транспонирование матрицы представляет собой операцию перехода от матрицы А размера m x n к матрице А^Т размера n x m, в которой строки и столбцы поменялись местами:

%.

Свойства операции транспонирования:

1) Из определения следует, что если матрицу транспонировать дважды, мы вернемся к исходной матрице: (A^T)^T = A.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак транспонирования: (А)^T = А^T.

3) Транспонирование дистрибутивно относительно умножения и сложения матриц: (AB)^T = B^TA^T и (A + B)^T = B^T + A^T.