Лекции по математике- часть 6. Операции над матрицами 3 Определители матриц 7
 Скачать 1.01 Mb.
|
Обратная матрицаМатрицу А-1 называют обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1 * А = А * А-1 = Е. Из определения следует, что обратная матрица является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А. Можно отметить, что понятие обратной матрицы аналогично понятию обратного числа (это число, которое при умножении на данное число дает единицу: а*а-1= а*(1/а) = 1). Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа. Чтобы решить вопрос о том, имеет ли квадратная матрица обратную, необходимо найти ее определитель. Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной, или особенной. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы: обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Докажем необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу А-1, т.е. А-1 * А = Е. Тогда |А-1 * А| = |А-1| * |А| = |Е| = 1. Следовательно, |А| 0. Докажем достаточность. Чтобы его доказать, необходимо просто описать способ вычисления обратной матрицы, который мы всегда сможем применить для невырожденной матрицы. Итак, пусть |А| 0. Транспонируем матрицу А. Для каждого элемента АТ найдем алгебраическое дополнение и составим из них матрицу  , которую называют присоединенной (взаимной, союзной):  .Найдем произведение присоединенной матрицы и исходной  . Получим  . Таким образом матрица В – диагональная. На ее главной диагонали стоят определители исходной матрицы, а все остальные элементы – нули: Аналогично можно показать, что  .Если разделить все элементы матрицы на |А|, то будет получена единичная матрица Е. Таким образом  , т.е.  .Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существует другая обратная матрица для А, отличная от А-1. Обозначим ее X. Тогда А * Х = Е. Умножим слева обе части равенства на А-1. А-1 * А * Х = А-1 * Е Е * Х = А-1 Х = А-1 Единственность доказана. Итак, алгоритм вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов: 1. Найти определитель матрицы |А| . Если |А| = 0, то матрица А - вырожденная, и обратную матрицу найти нельзя. Если |А| 0, то переходят к следующему шагу. 2. Построить транспонированную матрицу АТ. 3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и построить присоединенную матрицу  .4. Вычислить обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на |А|. 5. Можно проверить правильность вычисления обратной матрицы в соответствии с определением: А-1 * А = А * А-1 = Е. 
 0.   Проверку опустим. Можно доказать следующие свойства обращения матриц: 1) |А-1| = 1/|А| 2) (А-1)-1 = А 3) (Аm)-1 = (А-1)m 4) (АB)-1 = B-1 * А-1 5) (А-1)T = (АT)-1 |