Лекции по математике- часть 6. Операции над матрицами 3 Определители матриц 7

• Название: Операции над матрицами 3 Определители матриц 7
• Анкор: Лекции по математике- часть 6.doc
• Дата: 28.01.2017
• Размер: 1.01 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике- часть 6.doc
• Тип: Документы; #716
• страница: 5 из 8

Линейная независимость

Каждую строку матрицы А обозначим е_i = (a_i1 a_i2 …, a_in) (например,
е₁ = (a₁₁ a₁₂ …, a_1n), е₂ = (a₂₁ a₂₂ …, a_2n) и т.д.). Каждая из них представляет собой матрицу-строку, которую можно умножить на число или сложить с другой строкой по общим правилам действий с матрицами.

Линейной комбинацией строк e_l, e₂,...e_k называют сумму произведений этих строк на произвольные действительные числа:
e = _le_l + ₂e₂ +...+ _ke_k, где _l, ₂,..., _k - произвольные числа (коэффициенты линейной комбинации).
Строки матрицы e_l, e₂,...e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа _l, ₂,..., _m, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
_le_l + ₂e₂ +...+ _me_m = 0, где 0 = (0 0...0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть для определенности последний коэффициент _m  0. Тогда, разделив обе части равенства на _m, получим выражение для последней строки, как линейной комбинации остальных строк:
e_m = (_l/_m)e_l + (₂/_m )e₂ +...+ (_m-1/_m)e_m-1.
Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. _le_l + ₂e₂ +...+ _me_m = 0  _k = 0 k, то строки называют линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые можно линейно выразить все остальные ее строки или столбцы.
Докажем эту теорему. Пусть матрица А размера m х n имеет ранг r (r(А)  min {m; n}). Следовательно, существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть базисным. Пусть для определенности это минор



Строки этого минора также будем называть базисными.
Докажем, что тогда строки матрицы e_l, e₂,...e_r линейно независимы. Предположим противное, т.е. одна из этих строк, например r-я, является линейной комбинацией остальных: e_r = _le_l + ₂e₂ +...+ _r-1e_r-1 = 0. Тогда, если вычесть из элементов r-й строки элементы 1-й строки, умноженные на _l, элементы 2-й строки, умноженные на ₂, и т.д., наконец, элементы (r-1)-й строки, умноженные на _r-1, то r-я строка станет нулевой. При этом по свойствам определителя вышеприведенный определитель не должен измениться, и при этом должен быть равен нулю. Получено противоречие, линейная независимость строк доказана.
Теперь докажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любую строку можно выразить через базисные.

Дополним рассмотренный ранее минор еще одной строкой (i-й) и еще одним столбцом (j-м). В результате получим минор (r+1)-го порядка, который по определению ранга равен нулю:



Разложим его по элементам j-го столбца . Здесь последнее алгебраическое дополнение А_ij совпадает с базисным минором   0  А_ij  0. Поэтому можно разделить обе части последнего равенства на А_ij. Это позволит выразить из него элемент:.

Если зафиксировать номер строки (i), то получим, что для любого j элементы i-й строки линейно выражаются через элементы базисных строк: , т.е. любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных.

Теорема доказана.